余弦定理在生活中应用

1、关于余弦定理在生活中的应用第1页，共23页，2022年，5月20日，19点33分，星期四1、向量的数量积：2、勾股定理：AaBCbc证明：余弦定理的着推导过程第2页，共23页，2022年，5月20日，19点33分，星期四余弦定理的着推导过程思考题：若 ABC为任意三角形，已知角C，BC=a,CA=b,求AB边c.ABCabc解：第3页，共23页，2022年，5月20日，19点33分，星期四余弦定理的推导过程定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减 去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。余弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和

2、其他两个角。推导公式：第4页，共23页，2022年，5月20日，19点33分，星期四ABCabc余弦定理的证明证明：以CB所在的直线为X轴，过C点垂直于CB的直线为Y轴，建立如图所示的坐标系，则A、B、C三点的坐标分别为：坐标法第5页，共23页，2022年，5月20日，19点33分，星期四余弦定理的证明bAacCB证明：以CB所在的直线为X轴，过C点垂直于CB的直线为Y轴，建立如图所示的坐标系，则A、B、C三点的坐标分别为：坐标法第6页，共23页，2022年，5月20日，19点33分，星期四余弦定理的证明ABCabcD当角C为锐角时证明：过A作AD CB交CB于D在Rt 中在 中三角法第7页，

3、共23页，2022年，5月20日，19点33分，星期四余弦定理的证明当角C为钝角时证明：过A作AD CB交BC的延长线于D在Rt 中在 中bAacCBD第8页，共23页，2022年，5月20日，19点33分，星期四例.已知b=8,c=3,A=600求a. a2=b2+c22bccosA =64+9283cos600 =49 定理的应用解：a=7第9页，共23页，2022年，5月20日，19点33分，星期四余弦定理在实际生活中的应用 正、余弦定理在测量、航海、物理、几何、天体运行等方面的应用十分广泛，解这类应用题需要我们吃透题意，对专业名词、术语要能正确理解，能将实际问题归结为数学问题.求解此类

4、问题的大概步骤为： （1）准确理解题意，分清已知与所求，准确理解应用题中的有关名称、术语，如仰角、俯角、视角、象限角、方位角等；第10页，共23页，2022年，5月20日，19点33分，星期四（2）根据题意画出图形；（3）将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识建立数学模型，然后正确求解，演算过程要简练，计算要准确，最后作答.第11页，共23页，2022年，5月20日，19点33分，星期四1.测量中余弦定理的应用例1某观测站在目标南偏西方向，从出发有一条南偏东走向的公路，在处测得公路上与相距31千米的处有一人正沿此公路向走去，走20千米到达，此时测得距离

5、为千米，求此人所在处距还有多少千米？分析：根据已知作出示意图， 分析已知及所求，解，求角. 再解，求出，再求出，从而 求出（即为所求）.第12页，共23页，2022年，5月20日，19点33分，星期四解：由图知，在 中，由余弦定理，得.即.整理，得， 解得 或 （舍）.故 （千米）.答：此人所在D处距还有15千米.评注：正、余弦定理的应用中，示意图起着关键的作用，“形”可为“数”指引方向，因此，只有正确作出示意图，方能合理应用正、余弦定理.东北第13页，共23页，2022年，5月20日，19点33分，星期四 2.航海中余弦定理的应用例2在海岸处，发现北偏东方向，距为海里的处有一艘走私船，在处北

6、偏西方向，距为2海里的处的缉私船奉命以海里/小时的速度追截走私船.此时走私船正以海里/小时的速度从处向北偏东方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船，并求出所需要的时间？分析：注意到最快追上走私船， 且两船所用时间相等，可画出 示意图，需求的方位角及由到 所需的航行时间.第14页，共23页，2022年，5月20日，19点33分，星期四解：设缉私船追上走私船所需时间为小时，则有 ，在 中， ， ， ，根据余弦定理可得.根据正弦定理可得. ，易知方向与正北方向垂直，从而.在 中，根据正弦定理可得： ， ， ，则有 ， 小时 分钟.所以缉私船沿北偏东 方向，需 分钟才能追上走私船.评注：认真分析

7、问题的构成，三角形中边角关系的分析，可为解题的方向提供依据.明确方位角是应用的前提，此题边角关系较复杂要注意正余弦定理的联用.第15页，共23页，2022年，5月20日，19点33分，星期四3.航测中余弦定理的应用例3飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内，已知飞机的高度为海拔m，速度为km/h，飞行员先看到山顶的俯角为，经过秒后又看到山顶的俯角为，求山顶的海拔高度（精确到m）.分析：首先根据题意画出图形， 如图，这样可在和中解出山顶到 航线的距离，然后再根据航线的 海拔高度求得山顶的海拔高度.第16页，共23页，2022年，5月20日，19点33分，星期四解：设飞行员的两次观测点依次为 A和B，

8、山顶为 ，山顶到直线的距离为 .如图，在 中，由已知，得 ， ， .又 （km）,根据正弦定理，可得 ，进而求得， （m）,可得山顶的海拔高度为 （m）.评注：解题中要认真分析与问题有关的三角形，正确运用正、余弦定理有序地解相关的三角形，从而得到问题的答案. 第17页，共23页，2022年，5月20日，19点33分，星期四4.炮兵观测中余弦定理的应用例4我炮兵阵地位于地面处，两观察所分别位于地面点和处，已知米，目标出现于地面点处时，测得，（如图），求炮兵阵地到目标的距离（结果保留根号）.分析：根据题意画出图形，如图，题中的四点、可构成四个三角形.要求的长，由于，只需知道和的长，这样可选择在和中应用定理求解.第18页，共23页，2022年，5月20日，19点33分，星期四第19页，共23页，2022年，5月20日，19点33分，星期四综上，通过对以上例题的分析，要能正确解答实际问题需：（1）准确理解有关问题的陈述材料和应用的背景；（2）能够综合地，灵活地应用所学知识去分析和解决带有实际意义的与生产、生活、科学实验相结合的数学问题.第20页，共23页，2022年，5月20日，19点33分，星期四定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减 去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。推导公式：小结：第21页，共23页，2022年，5月20日，