新课标通用创新教学设计案例精选高中代数北京师联教育科学研究所学苑音像出版社

1、责任编辑 :王 军封面设计 :师联平面工作室 编本书如有印刷装订错误 ,请与本社联系调换目录集 合新课标教 学设计 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 1 )同角三角函数基本关系式的应用新课标教学设计 ? ? (9)诱导公式新课标教学设计 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (21)已知三角函数值求角新课标教学设计?(31)函数的周期性新课标教学设计?(41)两角和与差的正弦及正切新课标教学设计 ? ? ? (50)倍角公式的应用新课标教学设计 ? ? ? ? ? ? ? (61)半角的正弦、余弦、正切新课标教学设计 ? ? ? ? (72)三角函数的积化和差新课标教学设计?(

2、84)三角变换中的求值问题新课标教学设计 ? ? ? ? (90)三角函数的最值问题新课标教学设计?(99)向量的加法与减法新课标教学设计 ? ? ? ? ? ? (107)实数与向量的积新课标教学设计 ? ? ? ? ? ? ? (114)( 119)( 126)平 移新课标教 学设计 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (129)余弦定理新课标教学设计 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (133)余弦定理新课标教学设计 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (143)函数题型及解法新课标教学设计 ? ? ? ? ? ? ? (152) 算术平均数与几何平均数新课标教学设计

3、? ? ? (175)集 合新 课 标 教 学 设 计1. 初步理解集合概念及其表示法 ,按指定的方法表示一些集合2.理解集合中元素的性质3.培养学生分析比较归纳的逻辑思维能力教学重点是集合概念及其表示法教学难点是正确理解集合概念师 :初中时我们已学习了哪些基本数集 ?生 :自然数集整数集有理数集实数集等师:当时是如何给出这些概念的 ,例如自然数集 ?生:自然数的全体组成自然数集师:如何表示自然数集?生 :在椭圆圈内填上一些自然数 , 点上三点 ,在圈下写上 然数师:初中已学过的数集就是今天要学习的 合 ”中的一种(板 书课题:1.1集合(一 )(温故而知新 ,以旧带新 ,便于引导学生在已有的

4、知识基础上去探求新知识 ,使学生对出现的概念不至于感到突然 ,符合学生的认识规律)1师 :上述每一个数集中的数是否确定 ?即是否有着明确的标准判断任何一个对象在或不在该数集中 ? 如 2,- 2 是 否 在自 然 数 集生 :2在自然数集中 ,而 - 2不在。说明数集中的元素是确定的。师:由上可知 ,任给一个数可以确定它要么在该数集中 ,要么不在该数集中 ,两者必居其一。这些在数集中的每一个数叫做数集中的元 素数集中的元素必须具有确定性 ,这是数集中元素的一个特性(启发学生对已有的知识进行深入分析、提 炼 ,使潜在的特性昭之于世)师 :非常大的一些自然数能形成一个数集吗 ?为什么 ?生:(议论

5、后 )不能因为非常大的自然数有多大不知道 ,不具有确定性(通过正反两方面的例子 ,使学生在对比中明确数集中元素的特 性这一 确定性的重要性)师:上述所讲都是一些数构成的集合那么 ,只有数才能形成集合吗 ?其实不然 ,构成集合的元素只要具有确定性即可。(通过分析数集中元素的特征展开联想分析探索,为集合概念引入由特殊到一般进行铺垫)师 :回答下列每组对象是否确定 ?对象是什么 ? 象?(1)所有的直角三角形(2)与一个角的两边距离相等的所有的点+2,52y-x,2x+2y本校高一学生(420名)(5)本 班第一小组 12人中共有 5个姓氏 :李陈黄张明生 :每组对象都能确定 ,按题号依次是 :一些

6、图形 ,一些点 , 一 些 整式,一 些人 ,一些姓氏2师:上述每一组对象都能予以确定 ,我们就认为每一组对象的全 体形成一 个 集 合 (简 称 集 )集 合 里 的 各 个 对 象 叫 做 这 个 集 合 的 元素(由特殊到一般得出集合的描述性概念 ,使数集的概念拓宽了)师 :你认为上述五个集合中的元素种类是否受限制 ?生 :集合中的元素种类可以是任意的 ,没有限制。师:对集合中的元素具有 意性 ”是集合元素的又一特性只要集中元素具有确定性即可(及时总结是人类进步的原因 ,也是数学工作者的工作手段)师 :大家对上述集合进行观察 ,每一个集合的元素是什么 ?元素 个数各具什么特征 ?生:(1

7、)中的元素是直角三角形 ,有无数多个,也有无数多个(3)中的元素是整式 ,有 4个(4)中的元素是学生 ,有 420个(5)中的元素是姓氏 ,有 5个师:回答正确其个数特征是 :类似于 (1)(2)中的集合 ,含有无限个元素 ,具有这 种特征的集合我们称为无限集 ;类似于 (3)(4)(5)中的集合 ,含有有限个元素 ,具有这种特征的集合叫有限集(通过问题得出概念 ,使学生在问题中牢记概念的实质)师:请各举一个有限集无限集的例子生 : (回答 )? ?师 :你认为 (5)中集合的元素个数为什么不是 12个而只有 5个 ?(再一次通过提问去揭示集合的又一特性)生:因为有些姓氏相同师:从(5)中你

8、认为集合的元素能重复吗?生:不能师:由此可见 ,集合中的元素应该分别表示不同的对象 ,而相同3的对象归入某一个集合时 ,只能算作集合的一个元素集合中元素一特性师 :上述姓氏集合是由陈李黄张明五个元素组成的能否说由陈李黄张明姓氏组成的集合与由明张黄李陈姓氏组成的集合是同一个集合 ?生:应该是同一个集合们称其为序性”综合上述,集合中的元素有几个特性?生 :确定性互异性无序性任意性(通过设问,及时归纳总结,有利于学生掌握知识)师:上面研究了集合的概念及有关集合中元素的性质 ,下面我们一起将集合表示出来(承上启下一语带出需解决的问题)师 :初中我们是如何表示数集的 ?师:这种表示集合的方法即为图示法此

9、外 ,还有一种表示法是将所有元素一一列出 ,写在大括号内 ,称为列举法(顺手牵羊,自然产生)例如上述 (3)之集合可表示为 x 2 ,3x+ 2,5y2 - x,x2+ y2请同学们用此法表示 (5)之集合。生:明陈张黄李师:你能用列举法写出(4)之集合吗?生 :能。只要将全校高一学生名字一一列在大括号内就能做到 ,但很麻烦师 :你能用列举法写出自然数集合吗 ?(上述两问为描述法表示集合设下埋伏)生:能即 1,2,3? 师 :是否所有的集合 ,其元素都能无遗漏地一一列举出来呢 ?例如(1)(2)中的集合4(将集合中所有元素表示出来这个难点给予学生 ,使学生明白只有列举法是不够的)生 :(议论后

10、 )很难表示师:有一些集合 ,其元素不能无遗漏地一一列举出来 ,或 不便于不需要一一列举出来 ,这就要根据其属性来确定集合的元素这样的集合表示法可采用另一方法:把集合中元素的公共属性描述出来,写在大括号内这种表示集合的方法叫描述法此时往往在大括号内先写上这个集合的元素的一般形式 ,再划一条竖线 ,在竖线右边写上这个集合的元素的公共属性。如 , 集合 (1)可表为 x|x是直角三角形 ,集 合 (2)可 表为 x|x是到角两边距离相等的点 在 不至于引起混淆的情况下 ,用 描述法表示集合还可以有简单的形式如集 ,集合(2)可表示为到角两边距离相等 的点 (适当注入也是需要的)例 2 用描述法表示

11、下列集合(1)x - 3 所有解(2)抛物线 y = x 2 + 1上所有的点(3)直角坐标系下第一象限的点(通过练习使学生初步掌握描述法表示集合)生甲:第 (1)题为 x| x- 3 |生丙 :第 (3)题为 点 |点在第一象限 。师 :第 (2)题的表示对吗 ?抛物线上的点是 y 值吗 ?生: (x,y)|y= x 2 + 1)题用描述法能表示得更清楚吗? HYPERLINK l _bookmark1 师 :由上可知 ,集合的表示有列举法描述法和图示法。你认为 什么情况下用列举法方便描述法呢 ?5生 :若元素个数较少或元素有明显的规律性 ,则采用列举法 ;若有些集合不能用列举法 ,或 表示

12、起来不大方便时则用描述法(通过这一回答 ,让学生明白两种方法使用的场合 , 同时培养学生的 概括能力)练习 1 下列表示的集合或叙述正确否 ?为什么 ?(1)x|x是美丽的小鸟 (2)1,1,2(4)1,2与(1,2)是同一个集合 ,集合中都有两个元素 素须具有确定性 ,而 美丽的标准是不确定的(2)的 表 示 不 正 确因 集 合 中 的 元 素 必 须 是 互 异 的 ,应 写 成1,2(3)的叙述是正确的 ,因集合中元素排列是无序的(4)是错误的叙述这两个集合中 ,集合1,2含二个元素 ,而 集合(1,2)中含一个元素(5)也是错误的叙述(x,y)| y= 1是无限集 ,表示直 线上的许

13、多点 ,而x +y= 1表示有 限集 ,只有一个元素错误在于描述 法的代表元没写另一个错因在于对描述法的省略形式何时适用还 不清楚(通过正反练习 ,使学生对所学的集合的概念、元素的特征及用描述法列举法表示集合的方法更加巩固)练习 2 用列举法表示下列集合 :(1)绝对值小于 4的非正的整数(2)所 有的正偶数(3)a-b,a+b,a2+2b622 + 12 - 3x+ 2 = 0。(1) - 3,- 2,- 1,0(3)a-b,a+ b,a(通过上述列举法表示集合的练习 ,巩固不同类型的列举法的表示方法 (通过上述列举法表示集合的练习 ,巩固不同类型的列举法的表示方法 ,使之明白 ,不 仅有限

14、集可用列举法表示 ,有规律的无限集也可用列举法表示。)(1)平方等于 1 的数(2)方 程 x 2 - 3x+ 2 = 解(3)抛物线 y = x 2 上的点 (3)(x,y)y|= x 2 (通过此例让学生掌握由描述法表示集合的不同类型 :序对集 点集数集或有限集无限集的表示方法)师:(小结 )本节课学习了一始 (原始概念 ),二 集 (有限集无 限 集),三法 (描述法列举法图示法 ),四性 (确定性互异性无序性 任意性 )。1,3,4,6题中的集合法表示?两种方法各有什2.用列举法表示集合 (x ,y)x|+ y= 2,x,y是自然数 3.用描述法表示集合 71. 略2.(1,1)3.x

15、|x = 1 n ,n是小于 6的自然数 1.本教案需用两课时完成第一课时以初中学过的数集为导入,通 过对于数集的深入分析和延拓 ,自然引入了集合的概念通过容揭示集合中元素的几个特性,加深对集合概念的 理解。而集合的表示法则通过比较、分析 ,分别介绍了列举法和描述法描述法较难掌握 ,先 初步介绍 ,然后在第二课时重点解决 ,使 学生掌握之第二课时重点解决用描述法表示集合及两种方法表示的适用场合 ,且能灵活运用。另外掌握元素与集合的关系、符号及常用数集符号2.本节课能力培养侧重放在培养分析比较归纳的逻辑思维 能力上3. 这节课集合中元素的有关特性在课本上虽没有直接指出 ,但课本中都有举例,教师的

16、作用在于启发学生揭示其实质,并归纳为性”。8新课标教学设计1. 使学生能准确地应用同角公式化简三角函数式2.能较灵活地应用同角公式对三角恒等式进行证明3.培养学生的观察能力 ,根据题目特点选择适当方法观察题目特点 ,正确使用公式 ,选择适当方法。师:上次课我们研究了同角公式和它的一些简单应用 ,回忆一下研究的过程 ,我们是从三角函数的六个定义式出发 ,观察并且可用代数方法证明而得到了同角的八个关系式 ,也就是同角公式。下面请一个同学说一说都有哪些关系式,k Z 2sinc= 1,| R, k,k Z ,|R,2+k,kZ2 + = 1, Rsec 2 ,+ kn,k Z tan9sc 商关系t

17、an = sin + k,k Z , | R, cos2sin,| R, k,k Z 师 :很好。我们学习同角公式 ,不仅要记准这八个公式 , 还要熟悉它们各自的变形比如公式EQ * jc3 * hps42 oal(sup 3(),)sin=stan2 = 1 + 2co.s那么,cos 又可以写成什么形式呢 ?请一位同学回答师 :很好 . 对这八个公式的变形也要很熟悉 ,应用起来才会得心应手。上节课我们见过几个例题 ,这 些例题告诉我们 ,假若给了角 的一个三角函数值 ,则 可求其余的三角函数值这实际上是同角公式的一个应用那么除了这种情况以外 ,同角公式还有其他的应用吗?今天我们就一起研究一

18、下同角公式的其他应用(边说边板书 )例 1 化简下列各式 :2 + ta cs2c- 1(其中 为第四象限的角 ) ;(2)1+ ik - 1 - EQ * jc3 * hps42 oal(sup 4(),1)i sin(其中 为第二象限的角 ) 。师:(1)题你打算怎样做 ?(生思考 )(程度比较好的同学能够说出 1 + tan此时,有的同学已经在小声说:1 + tan 2 可以化简。)师:有的同学已经有思路了 = sce。生:1 = sce。师 :准确吗 ?生:(思考 )应是 | sec|师:对这时1+tan2=s=|sec|这是依据的哪个公式 ?生 : a 2 | a|。 ?生 (齐答

19、):能师 :怎样取消绝对值符号 ?说出依据。生:题目 中给出条件 为第四象限的角 ,而角 在第四象 限时 ,|se 师:很好csc 2 - 1你能化简吗 ?生:能师:自己在笔记本上完成(老师巡视 ,大部分同学基本做完时 ,请一位同学写到黑板上 )= 1 1 1|cos| + ta |cos| cos象限的角,所以|cos|=t,c|os|=-cos co =原式 co =原式 = 1cos2 2 2 22=12cos cos 2 22222师 :这位同学做完了 ,看一下自己做的结果与黑板上是否一致 ?生 (有的说 ):不一致师 :谁错了 ?错在哪 ?我们先看同学甲做的第一步有错吗 ?生甲:我做

20、错了师 :错在哪 ?生甲 : csc2- 1 =|cos| 而不应放在分母师:好同学甲自己发现错误了你能把握黑板上错的地方改 生甲:能师:好你上来改其他同学检查一下自己写的是否正确(一会儿,学生甲改完 ,回 到座位上)师 :我们看同学甲的改错 :11 2csc2 + ta csc2 - 1 = 1co 因为 为第四象限的角 ,所以1 11 1- cos sin 2 原式 = cos 22- 2 cos 2 cos 2 2 = tan=师 :这次对了吗 ?生:(齐答 )对了师 :这告诉我们 ,公式要记熟、记准 ,不要记错 ,否 则 ,题目是做不 对的。此外 ,他的化简过程我们可以再简化一下吗 ?

21、生:可以生甲:11可以写成22利用公式直接出结果师:由此题可以看出 ,一些同学对正割余割的写法还不太熟练有时可以把正余割化为正余弦 ,有时则不必化师 :下面看 (2)题 ,注意角的范围 ,注意值的符号 ,自己先在练习 本上做 ,第一要准确 ,第二才是速度(巡视 )(请一位同学到黑板上来做 ) 。1 + si 1- sin 为第二象限的角 ) 为第二象限的角 )2 2-2 2-cEQ * jc3 * hps42 oal(sup 10(),)EQ * jc3 * hps42 oal(sup 10(s),in)2-(1+EQ * jc3 * hps42 oal(sup 10(),)EQ * jc3

22、* hps42 oal(sup 10(),)=2n+= - con+1= ( - 2sincos)cos2 2 = - 2ta。师:做这道题有困难吗?生:没有题时,要注意正确使用同角公式,有绝对值符号时依据条件选取正负号这是同角公式的又一应用下面我们看它的第三个应用(边说边板书 )例 2证明恒等式 :(2)(1 -sin (3) 1EQ * jc3 * hps42 oal(sup 6(cos),-sni) = 1 EQ * jc3 * hps42 oal(sup 6(),c)EQ * jc3 * hps42 oal(sup 6(),os)n;(5) (注:后四道题可陆续给出 )师 :证明恒等式

23、常见的有哪些方法 ?生:(齐答 )一边推 ;两头挤哪边开始入手呢 ?生:从麻烦的复杂的一边推到简单的一边哪边入手呢? 生:从左边师 :你能独立完成吗 ?生:能(低头演算 )师 :出来的举手(大 部分举手 )请一位同学说一下思路。生 :从左边入手 ,利用乘法对加法的分配律乘开 ,稍加整理便可得右师:非常好这就是所谓的 边推 那么 头挤 ”是什么呢 ?生:左= A,右 = A,左右两边都可得到同一个式子 ,则左右两边相等生:两边都比较复杂的时候师:我们看 (2)题请一位同学口述证明过程成立师 :清楚吗 ?生:清楚师:好这是我们常用的两种方法实际上有些题目也常常采cos。 可;要证和它等价的这个式子

24、成立 ,只 需证和这个式子再等价的式子成 立? ? 这样 反复下去 ,得到一个显然成立的式子 ,因而原式成立(3)式中的左右两边繁简程度相似 ,因此不宜用一边推 ;就我们 的知识,用两头挤的方法也不妥,因此我们考虑用分析法分析与证明 要想证明原式 ,只 需证明(1- sin)(1 +sin)= cos2,2:1-sin2 22 2函数的平方关系知,上述分析过程的最后一个式子是成立的 ,由 此反推回去 ,就证明了原式 (3)而这是显然的 ,因而原式 (3)成立生 :不写这些文字 ,行吗 ?师 :不行 ! 那样就成为下面形式 :2,1 - sin2 = c,所以原式成立这种写法不是分析法 ,逻辑上

25、不对用分析法写就必须写上这些文字(以后会讲到也可以用箭头 ”)师 :以上讲的是用分析法证明恒等式 ,不用分析法行吗 ?生:证明左 - 右 = 0,也能证出左 =右师:对这也是一种方法 ,同学自己证一下生:(低头演算 )(指定一个同学到黑板上来写 )。师:看看自己是否都做错了通过这三个题 ,我们感觉到根据不同的题目 ,可 以选择适当的方法三角恒等式的证明往往是一题多解,注 意开阔思路 ,选择适当的方法由于三角恒等式的证明方法较多,还 要注意技巧的应用下面我们看 (边 说边板书 )师:这式子左边有哪些函数?生 :正切函数余切函数师 :式子右边呢 ?生 :(齐答 )正余割函数 ,正、余弦函数。 (生

26、思考 )生 :正、余切函数 ,正、余割函数都可以用正、余弦函数表示。这样就把原来的六种形式简化为两种形式了师:非常好这就是常说的 割化弦 ”,同学自己完成这个题 目的证明(生低头演算 ,这时老师可以把证明过程用投影仪投到屏幕上)3 3 6 6证 左 = sin + cos =sin 3 3 6 6cos sin sin3 3 3 3 3 3 3 3sin 3 c 1=sin 3 co3s= sec 所以原式成立,用到了立方和公式 ,其师,用到了立方和公式 ,其1在此题中出现了两次同2+ c= 11在此题中出现了两次同2+ c,1 = tanco ,2 - tan2 ,1 = s csc,c2-

27、co2s,1 = c sse,EQ * jc3 * hps42 oal(sup 6(),)EQ * jc3 * hps42 oal(sup 6(),)EQ * jc3 * hps42 oal(sup 6(an),)EQ * jc3 * hps42 oal(sup 6(),)。生 :左边的 1可以用 sec来代替师 :代换一个 1 ,还是两个都代换 ?生:(思考一会 )代换一个师:代换哪一个呢 ?生:哪一个都可以(老说)左 = se EQ * jc3 * hps18 oal(sup 9(2),) - ta2n+ se+ ta= (sec+ t EQ * jc3 * hps42 oal(sup 3

28、(),se)(s-etEQ * jc3 * hps42 oal(sup 3(),)n-tn+1)1 + isn= co =右。所以原式成立生 : )左式起不到化简的作用。生()也起不到化简的作用的选择这个题是采用了换1”的技巧证明恒等式,要注意充分利用题目中的条件师:哪位同学小结一下证明恒等式的常用方法 ? 析法” 据是什么呢?生:(齐答 )同角公式师:我们现在学习了同角公式的哪几方面应用 ?(生思考 )生:化简三角函数式和证明三角恒等式师:这是我们这节课掌握的两个应用上次课还学习了一个应 生 :已知一个角 的一个三角函数值 ,求其它五个三角函数值。3?)师:随着我们学习知识的不断增多 ,同角

29、公式还会有多种用处 ,以用同角公式解三角方程等等,大家要牢固掌握 ,并逐步做到灵活应用今天的课就到这里 讲了一个应用 :已 知角 值这节课主要是讲另等式 的一个三角 函数值 ,求 其他 几 个 三 角 函 数外两 个应 用:化简三角函数式和证明三角恒化简三角函数式时,选取的两个例题都是让学生根据题目已给角 的象限 ,自 己判断取什么符号的题目主要考虑是 :如果有的学a (a 0,)a复习 a的所在象限决定选取正负号的问题学生掌握得更牢固a复习 a的所在象限决定选取正负号的问题学生掌握得更牢固角 ,在这里是一个强化 ,以期使证明恒等式时,由于前两种方法同学们比较熟悉 ,因 此 ,选了两个具有明显

30、题目特征的书上例 6和 例 8,学 生比较容易理解在讲 字不写 ,因此 ,在这里就强调 :该写的文字不能省略在不断学习的 的证明 ,给出了证法二 ,这对于开阔学生思路很有益处 ,从多种方法才可能选择出比较简捷的方法在讲完几种基本证法后 ,为了强化学生对公式的变形的作用的是1妙用的妙用时 ,先 把同角公式中与 1有关的六个式子带着大家重温一下 ,每一个式子里都是哪两个三角函数值的平方和或平方差为1,要胸中有数 ,这样 ,拿到一个具体的题目 ,根据题目特征 ,一眼就可知道把个,这 就要求学生有所预见 ,或者碰壁后再改换其他方法在这里可以看出 ,对于公式要记熟 , 对于公式的变形也要很熟悉 ,做起题

31、来才会灵活运用最后 ,让 学生把一节课 (或一单元 )的内容小结一下 ,说得不确切要的一个学习方法 ,只有学生自己的不断回顾 ,才能找到新旧知识之 间的联系 ,才能使学生不仅学会数学 ,而且会学数学学 ,教师才能交给学生一把开启数学知识宝库的钥匙诱导公式新课标教学设计学生掌握诱导公式的推导方法和记忆方法2. 会运用这些公式求解任意角的三角函数的值 ,并会进行一般的三角关系式的化简和证明3. 培养学生观察问题解决问题抽象概括问题的能力 ,并注意完善学生的基本数学思想和数学意识诱导公式的推导师:我们前面学习过诱导公式一 ,请说出诱导公式一及其文字叙述。它在转化任意角的三角函数中所起的作用是什么 ?

32、生 :(学生口述的同时 ,教 师板书诱导公式一)sin(k360+ ) = si,cos(k360+) = cos,tan360+ ) = ta, cosk360+) = cos。 ( k Z)文字叙述 :终边相同的角的同一个三角函数的值相等的三角函数中所起的作用是:把求任意角的三 的问题)试求出sin2016的值生 :由公式一 ,sin2016= sin 36 216)= si 1 (至此 ,绝大多数同学已无法再演算下去了。)(以旧知识的复习 , 导出新的问题 ,使学生新的求知欲得到激发 ,渴望得到回答 ,以达到以旧带新 ,以旧拓新的目的。)师 :能否导出一些新的公式来解决这类问题 ?可先看

33、这道具体90之间的角的三角函数值可以通过查表求得那么 ,能 否借助一个工具 ,在 090之间找到一个角 , 诱导 ,使学生进入愤悱状态。)点,则36由于 OP OPM,所 以 有 MP= MP又因为 sin216= MP,sin36= MP,而MP与 MP的长度相同、方向相反 ,所以有 sin问题你能把以上几何变换的过程 ,用 三 角关 系 式表示 出 来吗 ? (向式化 渡。实际上我们先经过了一次将三角问题几何化 利用正弦线) 换,转化为求角在090之间的三角函数问题?(迁移作用)(师适当提示 :观察余弦线的数量关系)生:?通过这样的变换转化求值 ?2,可(师适当提示 :方法 2,可cosc

34、os得出。 ) sin,co=co生:?似的变换求出三角函数的值能否把这种变换求值的方法 ,总结成公式形式?的求解 师 :(适当提示 :先把,到公式的形成是一种质的飞跃) 的求解 师 :(适当提示 :先把co(s180+) = - co , co(s180co(s180+) = - co , co(s180+) =cos。生 :(板书 )sin(180+) = - sin,ta(n180+) =tan ,师 :这组公式通常称为诱导公式二。观察其结构特征 :同名函数关系 ;符号规律 :右边符号与 180+ 角所在象限师 :这组公式通常称为诱导公式二。观察其结构特征 :同名函的原三角函数值的符号相

35、同(为总结公式的记忆方法打基础) 90之间角的三角函数值来求出解答?(横向联想,公式二的归纳过程,会 对学生的思维产生正向的影响)(师提示 :由对称性找出角的终边间的关系 ,再证出三角函数线的数量关系 ,正切余切函数的诱导公式可由同角三角函数的基本关系式推出。)生:? (讨论的同时 ,完成图 2)师:(板书 )sin(-)=sin(-)=,。生 :(板书完成 )生 :(板书完成 )(及时评价反馈。)师:这组公式通常称为诱导公式三观察其结构特 征: 同名函数关系 ;符号规律是 :右边符号与 - 所 在的 第四象限角的原三角函数值的符号相同师:(板书 ),co(s180- ) = ,co(s180

36、- ) =,ta(n180- ) =生 :(完成板书 ) sin(180- ) =sin,ta(n180- ) = - tan,co(s180- ) = - cos。(师及时评价(师及时评价反馈)师 :这组公式通常称为诱导公式四。观察其结构特征 :同名函角函数值的符号相同师:由于 3 - 角与 - 角的终边相同 ,它们的同一三角函数 n(360-)=-sin,co(s360-)=co,ta(n360- )= - tan,co(60- )= - cos们,可 以求出任意角的三角函数值为使公式更具一般性 ,不妨大胆猜测:若公式 中 的 角 为 任 意 角 ,公 式 是 否 仍 能 成 立 ? (推

37、 广 到一般性)si180si180+) an(180+)=生:?师 :大胆猜测 ,还要小心求证没有大胆猜测 ,就没有事物的发展和进步 ;(鼓励猜想 ),没有经过证明的结论总是危险的我们可先以公式二为例 ,证 明究竟谁猜的对(要证明猜测的结论 ,学生情绪 进一步高涨)(投影图3)生:?co180+) co180+) - sni= cos。),公式二仍然成立类似于公式二师 :由此可见 ,公式二仍然成立类似于公式二的推证方法 ,可以证明公式三也成立而 18 - 可以写成 18 +(-),3 又与 - 角终边相同 ,容易推出 ,对任意角 ,公式三四五也都成立验证过程由同学们在课下完成(给学生留有细心

38、体验发现的空间)(到此完成了又一次的升华)师 :本节课推得的公式较多 ,如何记忆这些公式呢 ?(机械记忆 显然不可行。)由推证公式的过程可知 ,其 结构具有一定的规律性 : 等号两边的函数名称 相同 ; 符号规律 :把 看作锐角时 ,等号右边 的符号与 k360+(k Z)(第一象 限角 )- (第 四象限角 )180+(第三象限角 18 - (第二象限角 )360- (第四象限角 )所在象限的原三角函数值的符号相同(可回顾图 2)述,这些公式可以概括如下:k360+(kZ),-,18,360- 的三角函数值 ,等于 的同名三角函数值 ,前面加上一个把 看成锐角时原函数值的符号。,用红色标出x

39、轴)由于把看作锐角时,k36+ ,0,-,360- 均可看 作由 x 轴出发加或减 得到的 ,所 以 这五组诱导公式又可称为 平诱导 ”公式按如下方法记忆 :水平诱导名不变 ;符号看象限何表示上述公式 ?生:?(师个别提问。及时 反馈 。这样可提高 学生的学 习积极性 和学习效率)可以解决哪些问题?(自问自答)作用 1:求 值。一般可按如下步骤进行 :用公 式 公式 一三一任意负角的三角函数三一用 公式三三四、五以上步骤可简化为 :负化正 ;正化主 ;主化锐角可查表例1 求下列各三角函数值(2)ta202 ;)(2)ta202 ;3(3)co - 51;(4)cos 19 。 6 解 (1)s

40、 -= - sin 5 = = - sin 5= - s2 -)= - s2 -。33。3角 ,则 - 为第四象限角。由诱导公式三较大 ,仍将它看成锐3,“ 负化正”为 - sin 41;再33,恰 为特殊角 ,就不必查表了3,恰 为特殊角 ,就不必查表了(2)tan2025=tan(536+ 2)=tan 225=ta180+ 4 =师:新学公式 ,不得跳步(3)(4)小题请同学完成(各 位 = co(s180- 21)= - cos21= - 0.9336。EQ * jc3 * hps42 oal(sup 20(7),6)EQ * jc3 * hps42 oal(sup 20(),6)EQ

41、 * jc3 * hps42 oal(sup 20(),)EQ * jc3 * hps42 oal(sup 20(),)反 师 :运用熟练后 ,还可以总结出简练快捷的求值方法(提出更作用 2:化 简或证明。可把复杂问题化简单 ,直到解决问题。分析:本题既要看代数结构 ,三角结构 ,还 要观察角的结构请同学观察 :(3)求 和可得到解答5 5 。又因为 为第四象限角 ,所以 cos= EQ * jc3 * hps42 oal(sup 12(),) 因此3345 3345 5 + (-5 + (-。(说明:以上过程可由学生先解 ,然 后老师及时反馈)例 3 求证 := 1)= 1师 :请同学注意观

42、察此题的代数结构、三角结构和角的结构 ,然后独立完成(一名同学板演 ,同时老师巡视)证 sni(2 - EQ * jc3 * hps42 oal(sup 6(),)(n-EQ * jc3 * hps42 oal(sup 6(-),-)EQ * jc3 * hps42 oal(sup 6(),)-) )= -(sin-EQ * jc3 * hps42 oal(sup 6(),)EQ * jc3 * hps42 oal(sup 6(),)(-ca)=1(师及时反馈)师 :(小结 )诱导公式 (二 )(五 )的推导方法类似 ,应抓住角的终 边位置对称 (关于原点y 轴x 轴对称 )的特点及三角函数的

43、数量关系同角三角函数的关系把握五组公式的结构特征: Z),- 18 ,360- 所在象限的原三角函数值的符号(回 顾图 2 - 记忆:水平诱导名不变 ;符号看象限应用:(1计)算求值步骤可简单记为 :负化正 ,正化主 ,主化锐角可 查表(2)化简证明要分析题目的三个结构 数结构三角结构 和角的结构实践中,总结出更简捷的方法和解题步骤(鼓励学生不断实践和总结 ,以达到更好地使公式内化的目的。 )课堂练习 :课本 P158练习第 3题课外题 :课本 P163习题十三第 4(1)(4)第,5题一本节课的教学过程 :,引出新课;3.将解题过程抽象化概括化 ,推 出公式 4. 类比推出公式二 , 从而推

44、出公式三、四、五 ;8.例题小结练习作业二本节课的指导思想 加以证明出结论其简捷节约时间的特点是显而易见的但总有一种把知识作为 果”传授给学生的感觉 ,学生只要接受反复练习就算完成了 化 ”的过程而利用环节 15,把 从实践经验 (解题 ) 上升到理论高度 (公式 ) ,再 由理论 (公式 )去指导实践 (解题 )的过程 ,展现给学生;也使学生的数学思想和数学意识得到了提高 ;培养了学 题的持续不断的活动”思维永远是从问题开始的。所以本节课采用了逐步设疑诱导解疑,指导学生去 现”的方法 ,使学生始终处在 兴趣盎然的状态 ,课 堂气氛活跃另外 ,本 节课公式的验证方法 ,是以学生已经掌握了 角函

45、数线”为基础的,这样可以加强几何直观 ,便于理解和应用在环节 4, 结构特征 ,理 解求值的步骤 ,以便学生掌握和熟练应用新课标教学设计1.使学生掌握已知三角函数值求角 (给值求角 )的方法和步骤2.通过启发学生总结给值求角的步骤 ,培养学生归纳类比总结的能力3.培养学生严谨的科学态度 ,促进良好个性品质发展重点是给值求角的基本方法难点在于归纳给值求角的基本步骤一复习引入师 :我们学习了 5组诱导公式 ,如何概括这 5组公式 ?的同一三角函数值 ,前面加上一个把 看成锐角时原函数值的符号。 (这应在诱导公式那一节有所渗透 ,或曾经留给同学思考过)同,180-的 终边与 的终边关于 y 轴成轴对

46、称图形 ,180+ 的终边与 的终 边 关于原点成中心对称图形 ,360- 和 - 终边相同 ,与 的终边关于 x轴成轴对称图形师 : 是什么样角 ?生:使三角函数有意义的任意角师 :如果把 看作是锐角 ,那么- 各是第几象限角 ?它们的三角函k36+(k Z),18,360数值与 的 同一 三角函 数值 有联系? 与 的同一三角函数值相等或互为相反数。(如图 1,帮助学生形象思维与记忆)记忆诱导公式的符号什么功能呢 ?三角函数转化为090间角的三角函数 ,然后就可以查表求值了师 :这些任意角的终边和某个锐角 0对称关系,那么同一三角函数值之间有没有关系?些角的三角函数值要么等于 0 的同一三

47、角函数值 ,要么等于这个值的相反数 ,相等还是相反由这些角所在象限决定师:可以这样说 ,这些角的三角函数值的绝对值等于 0 的同一三角函数值。每个角 都可通过一个锐角 0 求得这个角的三角函数值 (当值存在时 ) ,这 个值由 唯一确定。那么反过来 ,知道某个角 的某个三角函数值 ,要反求 , 这个 怎么求 ? 是否唯一 ? 这与我 们本节课要研究的知识有关二讲授新课(板书)已知三角函数值求角师:我们先来研究给正弦值求角(板书 )例 1 求满足下列条件的角 的取值集合。锐角,且sin=12 。师 :满足这个条件的角 有几个 ?生 :只有一个 , 是 。6师 :除了 EQ * jc3 * hps

48、42 oal(sup 19(),),还有其他锐角的正弦值等于 EQ * jc3 * hps42 oal(sup 19(),) 吗 ?生 :没有。因为在区间 (0, EQ * jc3 * hps42 oal(sup 17(),)上 ,角 的正弦 值随着角 的增 大而增大 ,所以符合已知条件的角只有 。6师:那么由 是锐角 ,又 sin = 且在 (0,EQ * jc3 * hps42 oal(sup 16(),2)上正弦值随着2 )上符合条件的锐角只有 6 ,故所求角角的增大而增大2 )上符合条件的锐角只有 6 ,故所求角 的集合为 (板书 ) EQ * jc3 * hps42 oal(sup 12(),6) 。(2) 是某个三角形的内角 , 且 sin= 12师 :满足这个条件的角还是唯一的一个角 吗 ?6生 :因为 是三角形的内角 ,所以 (0, ) ,而在这个范围内正12561256。师 :那么这两个角有什么关系 ?生 :这两个角的和是 。师:也就是说 , 5 可以写成 - ,这与前面图