第二章随机变量的分布和数字特征习题课

1、.第二章 随机向量的分布和数字特征的习题课一：选择题：1. 若随机变量的分布函数为与则a,b取值为 时,可使F=a-b为某随机变量的分布函数。A.3/5,-2/5 B.2/3,2/3 C.-1/2,3/2 D.1/2,-3/2分析：由分布函数在的极限性质,不难知a,b应满足a-b=1,只有选项A正确。 答案 选：A2. 设 X,且 = ,其分布函数为F,则对任意实数a, F=。 A.1-dB.-dC.F D.2F-1分析：是偶函数,可结合标准正态分布来考虑；dFF；F0.5；FF=1答案 选：B3.设XN,则随着的增大,P|X-| 。A.单调增大 B.单调减少 C.保持不变 D.增减不定 答案

2、 选：C4.设随机变量X与Y均服从正态分布,XN,YN,记PX4=,PY+5=,则 正确。A.对任意实数,均有= B. 对任意实数,均有答案 选： A5. 设是随机变量且,则对任意常数,成立。分析：答案 选：由,得显然二：题空题1.设在每次伯努里试验中,事件A发生的概率均为p,则在n次伯努里试验中,事件A至少发生一次的概率为 ,至多发生一次的概率为 。答案 填：1-; +np由伯努里概型的概率计算公式,据题意可知,事件A至少发生一次的概率为或,事件A至多发生一次的概率为=+2. 设随机变量Y在区间1,6上服从均匀分布,则方程有实根的概率为 。分析：方程有实根当且仅当0,即|Y|2,则P=d=0

3、.8 答案 填：0.83. 设 X ,对X的三次独立重复观察中, 事件 X 0.5出现的次数为随机变量Y,则PY=2=。分析：PX0.5=0.25,Y服从B分布,则PY=2=答案 填: 4. 设XB,YB,且PX1=,则PY1=。分析：由PX1=1-PX=0=,可得p=,则PY1=1-PY=0= 答案 填：5.设随机变量X服从均值为10,标准差为0.02的正态分布,设x为标准正态分布函数,已知2.5=0.993 8,则X 落在区间9.95,10.05内的概率为 。分析：P9.95x10.05=P9.95-10 x-1010.05-10=P-2.5/0.022.5=-= 2-1=2*0.9938

4、-1=1.9876-1=0.9876答案 填：0.98766. 设随机变量X的概率密度为 若k使得P X k =2/3,则k的取值范围是 。分析：答案 填：1,37. 设随机变量Xf=,-x+,则X F=。答案 填： 分析：当x0时,F=dd当x0时,F=ddd8. 设XU,则Y=在内的概率密度 。答案 填：分析：当0y4时,此时,=注：由于Y=在内是单调函数,可直接用公式做！9.设X的分布函数 ,则A=,P |x| =。答案 填：1； 10. 设X的分布函数F为：, 则X的概率分布为 。分析：其分布函数的图形是阶梯形,故x是离散型的随机变量答案： P=0.4,P=0.4,P=0.2.11.设

5、随机变量X的概率密度函数则 E=,=.分析：由X的概率密度函数可见XN,则E=1,=. 答案 填：1；.12. 设随机变量X服从参数为2的泊松分布,且Z=3X-2, 则E=. 答案 填：4 13. 设XN且P2X4=0.3,则PX0= 。 即,则答案 填：0.214.设随机变量X服从参数为1的指数分布,则 .分析：首先知道EX1,关键求Ee- 2X 答案 填：15. 设X表示10次独立重复射击命中目标的次数且每次命中率为0.4,则= 。分析：XB,则答案 填：18.416.设随机变量在区间上服从均匀分布；随机变量则。答案 填：17.设一次试验的成功率为,进行100此独立重复试验,当时 ,成功次

6、数的标准差的值最大,最大值为。解：据题意可知,即令,得且答案：18. 设,则。解：。 答案 填：19. 设随机变量服从参数为的泊松Poisson分布,且已知,则。分析：参数为的泊松Poisson分布的期望和方差均为。由,得到E-3EX+2=1,2310答案 填：120.设随机变量X的方差为2,则根据切比雪夫不等式有 。答案 填：21.设,则利用切贝谢夫不等式可知 。 据切贝谢夫不等式：由,得答案：填三：计算题：1.设随机变量X在区间2,5上服从均匀分布,求对X进行的三次独立观测中,至少有两次的观测值大于3的概率。解：P=d=, 则所求概率即为2.设某仪器有三只独立工作的同型号电子元件,其寿命单

7、位：小时均服从同一指数分布,其参数为1/600,求在仪器使用的最初200小时内,至少有一只电子元件损坏的概率。解：设随机变量表示第i只元件的使用寿命,i=1,2,3,则P 200=d得所求概率为： 1 - 3. 设随机变量X的概率密度函数,求随机变量Y=1-的概率密度函数。解：Y的分布函数为 =则 =注：由于是单调函数,可直接用公式做！4. 设随机变量X的概率密度 = , x0,求Y=的概率密度。解：当y1时,0当y1时,由于,则知当y1时,=0, 当y1时,=注：由于Y=在内是单调函数,可直接用公式做！5. 设随机变量X的概率分布为P=0.2,P=0.3,P=0.5,写出其分布函数F。 答案

8、：当x1时,F=0; 当1x2时,F=0.2; 当2x3时,F=0.5;当3x时,F=16.设随机变量X在区间1,2上服从均匀分布,求Y=的概率密度f。答案：当时,f=,当y在其他范围内取值时,f=0.7.对某地抽样调查的结果表明,考生的外语成绩按百分制计近似服从正态分布,平均72分,且96分以上的考生数占2.3%。求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率。解：设X表示考生的外语成绩,且XN,则P96=1-P=1-=0.023,即 =0.977,查表得=2,则 =12,即且XN,故P=P=2-1=0.682excel计算的函数为 NORMINV8. 设测量误差XN,求在100次独立重复测量中

9、至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率,并用泊松分布求其近似值精确到0.01。解：由于XN,则P=1- P=21-=0.05且显然YB,故P=1- P=1-设=np=1000.05=5,且YP,则P=1- P=1-=0.8753489. 设一大型设备在任何长为t的时间内,发生故障的次数N服从参数为t的泊松分布,求：1相继两次故障之间的时间间隔T的概率分布；2在设备已无故障工作8小时的情况下,再无故障工作8小时的概率。解：1 只需求出T的分布函数F：当 t0时,F=P=0当 t0时,F=P=1-Pt= 1-PN=0= 可见T服从参数为的指数分布。2P16|T 8=10.设X服从参数为2的指

10、数分布,求证：Y=1-在0,1上服从均匀分布。证明： 由X的分布可见其有效取值范围是0,+,则Y的有效取值范围是0,1,从而：当y0时,F=0; 当y1 时,F=1;当0y1, F=P= P1-y =PX=1-=1-=y对F关于y求导数即得Y的密度函数： 故Y在0,1上服从均匀分布。11. 从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗,设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,其概率均为0.4,用X表示途中遇到红灯的次数,求X的分布律、分布函数和数学期望。解：显然XB,其分布律为,i=0,1,2,3,分布函数为： , E=12. 设,求随机变量的期望。解：由,可知13.设且与同分布,与独立,求：1值；

11、2的期望。解：1由设且与同分布,与独立,可知当时,即与相矛盾,因而,即, 即即,即,不合题意,舍去2。14. 由自动线加工的某种零件的内径毫米服从正态分布,内径小于10或大于12的为不合格品,其余为合格品,销售每件合格品获利,销售每件不合格品亏损。设销售利润元与销售零件的内径的关系为问平均内径取何值时,销售一个零件的平均利润最大？解：由,即且,可知由得令,即即即,平均内径取时,销售一个零件的平均利润最大。15. 设一部机器在一天内发生故障的概率为,机器发生故障时,全天停止工作。一周五个工作日,若无故障,可获利10万元；若发生一次故障,仍可获利5万元；若发生两次故障,获利为零；若至少发生三次故障,要亏损2万元。求一周内的利润期望。解：设一周共五个工作日,机器发生故障的天数且则：所以一周内的利润期望为万元。16.设商店经销某种商品的每周需求量服从区间上的均匀分布,而进货量为区间中的某一个整数,商店每售一单位商品可获利500元,若供大于求,则削价处理,每处理一单位商品亏损100元,若供不应求,则从外部调剂供应,此时每售出一单位商品仅获利300元,求此商店每周最小进货量为多少,可使获利的期望不少于9280元。解：设一商店经销某种商品的每周进货量为且 当时, 当时,即 且 令,即,即,取。答：此商店每周最小进货量为21个单位