几种常用的连续型随机变量

1、几种常用的连续型随机变量给出一个新概念：广义概率密度函数。设连续型随机变量的概率密度函数为(x), 的广义概率密度函数, 或者说 , 一个函数数 a, 使得(x)=af(x)(1)那么任何与之成正比的函数f(x)是 的广义概率密度函数f(x)( x), 都叫做, 说明存在着一实而知道了广义概率密度函数, 的概率密度函数就可以根据性质( x)dx1,求出将(1)式代入得:( x)dxaf (x)dx1则 a1f (x)dx因此 , 知道了广义概率密度函数就等于知道了一般的概率密度函数状就可以了解概率密度的性质了. 因此也不必关于那个常数是什么, 我们只需关心函数的形.4.4 指数分布指数分布的概

2、率密度函数为e xx0( x)其它它的图形如下图所示:exx它的期望和方差如下计算:Ex ( x)dxxex dxxdex00 xe x0exdx1ex100E 2x2 ( x) dxx2 e xdxx 2d e x002x|0 x22x e2xe dxE20DE2( E)2211222指数分布常用来作为各种寿命 分布的近似 .4.5 -分布x 的某次方 xk如果一个随机变量只取正值 , 且在正半轴的广义概率密度函数的形式是乘上指数函数-x即e ,f (x)xk exx 0(k1,0)0其它那么就称 服从 -分布了 . 上式中之所以要求k-1, 0, 是因为广义积分f (x)dxx k exd

3、x0只有在这种条件下才收敛 .此外 , 传统上为了方便起见 , 用另一个常数r =k+1, 因此广义概率密度函数写为f (x)xr 1e xx0(r0,0)其它0而真实的概率密度函数(x)= af(x), 可以给出常数a 由下式计算 :a1x r1e x dx0这样 , 计算的关键就是要计算广义积分x r 1ex dx , 作代换 t=x,则 x=t/, dx=dt/,0r 1t 11r 1xtr 1t则x e dxedtrt e dt ,000问题就转成怎样计算广义积分t r 1e t dt ,这个积分有一个参数 r0,在 r 为一些特定0的参数时 , 如当 r =1 时 , 上面的广义积分

4、还是可以计算的, 但是当 r 为任意的正实数时, 此广义积分就没有一般的公式,一般的原函数表达式. 在这种情况下数学家常用的办法就是定义一个新的函数 .比如说 ,在中学学的三角函数就无法用一个加减乘除的公式表示, 因此就发明了 sin,cos 这样的记号来代表三角函数. 同样 , 上面的广义积分的取值只依赖于参数r , 每给定一个r 值就有一个积分值与之对应 ,因此也可以定义一个函数 , 叫 -函数 , 定义为(r )t r 1et dt0因此 , 分布的概率密度函数的形式为r(x)x r 1e xx 0(r 0,0)(r )0其它记作 (,r)函数的一个重要性质是( r1)r(r ) (r0

5、) 成立证 :(r 1)t r e t dtt r de tt r e t |0e t dt r000rt r 1e t dtr(r )0bbb上式用到了定积分的分部积分公式udvuv|avduaa(1)t11tdtet|01此外 , (1)=1,因e0则 (2)= (1+1)=1, (3)=2 (2)=2, (4)=3 (3)=3 21=3! ，一般地有 (n 1) n!-分布的数学期望和方差计算如下:r1rExx r 1 e x dxx r e x d( x)0(r )0 (r )1t r e t dt(r )02x2rx r 1 ex dxE(r )01t r1 e t dt2 ( r

6、)0DE2(E)2( r1)r2( r 1)r( r )1(x) r1xd ( x)2(r )e0(r2)(r1) r ( r )(r 1)r2( r )2 (r )2r 2r22当 r =1 时 , -分布就是指数分布, 当 r 为正整数时 ,r(x)x r 1e xx0( r 1)!0其它为 r 阶爱尔朗分布或称厄兰分布(Erlang ), 在排队论中用到, 如 , 在接完一个电话之后又接了 r 次电话所需要的时间, 在设备出了一次故障之后又出了r 次故障的时间.当 r =n/2(n 是正整数 ), =1/2 时 ,1nx1nx 2e 2(x)2 2( n)02x0其它2称为具有 n 个自

7、由度的 -分布 , 是数理统计中最重要的几个常用统计量之一.一个重要结论 , 当有若干个参数 都相同的相互独立的服从-分布的随机变量相加得到新的随机变量 , 则此新的随机变量也服从-分布 , 其 参数仍然不变 , 而 r 参数则是各个随机变量的 r 参数相加 .即如果 (,r ), (,r ), ,(,r )两两相互独立, 则1122nn=1+2+n(,r1+r 2+rn)此性质最常用到的地方, 就是当有 k 个相互独立的服从自由度为随机变量 1,2, ,k 相加得到的随机变量=1+2+k服从自由度为分布2n1,n2, ,nk 的 -分布的n=n1 +n2+nk 的 -4.6 正态分布正态分布

8、也叫高斯分布，是最常用0(x)的一种分布，用来描述许多误差或者大量随机变量之和的分布。标准正态分布在讨论正态分布之前，先讨论标准正态分布。说随机变量 服从标准正态分布，是指它的概率密度函数为-101x1x20 ( x)e 22证明0 (x)dx1如下：1x20 ( x) dxe 2dx2令 ux2du ,则, dx2上式 =1e u 2 du12上式利用了普阿松广义积分公式e x dx普阿松积分公式的证明：2假设 Ie x dx则 I 2e x2dxe y2dye ( x2 y2 ) dxdy积分范围在整个平面，作极坐标变换，令x r cos, yr sin, dxdy rdrd2r 21r

9、2上式 =因此erdrd2 e|0I002由于 0(x)为偶函数 , 因此 E=0,x 2x2DE2e 2 dx2bbbudvvdu利用定积分的分部积分公式uv|aaax 2x2令 ve2 , 则 dvxe2xx2xx21x2Dd e 2e 2 |e 2 dx 1222因此标准正态分布的数学期望为0, 方差为 1.一个一般定理 , 如果 则 E=E+, 的分布函数为(x), =x+, 0,F ( x)PxPxPxF ( x)对两边求导得与 的概率密度间的关系为:1x( x)现在 , 当 服从标准正态分布时 , 将其乘上一个正的常数再加上一个常数 , 得到的随机变量就服从一般的正态分布, 其概率

10、密度为1( x ) 2e 22(x)22如果随机变量的概率密度函数为上式, 则记 N(,),(x)0-x0(x)0 x出师表两汉：诸葛亮先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分， 益州疲弊， 此诚危急存亡之秋也。然侍卫之臣不懈于内，忠志之士忘身于外者，盖追先帝之殊遇，欲报之于陛下也。诚宜开张圣听，以光先帝遗德，恢弘志士之气，不宜妄自菲薄，引喻失义，以塞忠谏之路也。宫中府中，俱为一体；陟罚臧否，不宜异同。若有作奸犯科及为忠善者，宜付有司论其刑赏，以昭陛下平明之理；不宜偏私，使内外异法也。侍中、侍郎郭攸之、费祎、董允等，此皆良实，志虑忠纯，是以先帝简拔以遗陛下：愚以为宫中之事，事无大小，悉以咨之，然后施

11、行，必能裨补阙漏，有所广益。将军向宠，性行淑均，晓畅军事，试用于昔日，先帝称之曰愚以为营中之事，悉以咨之，必能使行阵和睦，优劣得所。“能 ”，是以众议举宠为督：亲贤臣， 远小人， 此先汉所以兴隆也； 亲小人， 远贤臣， 此后汉所以倾颓也。 先帝在时，每与臣论此事， 未尝不叹息痛恨于桓、 灵也。 侍中、尚书、 长史、 参军，此悉贞良死节之臣，愿陛下亲之、信之，则汉室之隆，可计日而待也。臣本布衣，躬耕于南阳，苟全性命于乱世，不求闻达于诸侯。先帝不以臣卑鄙，猥自枉屈，三顾臣于草庐之中，咨臣以当世之事，由是感激，遂许先帝以驱驰。后值倾覆，受任于败军之际，奉命于危难之间，尔来二十有一年矣。先帝知臣谨慎，故临崩寄臣以大事也。受命以来，夙夜忧叹，恐托付不效，以伤先帝之明；故五月渡泸，深入不毛。今南方已定，