高中数学新课程创新教学设计案例-平面向量的基本定理

1、38 平面向量的基本定理教材分析平面向量的基本定理是说明同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合，它是平面向量坐标表示的基础，也是平面图形中任一向量都可由某两个不共线向量量化的依据这节内容以共线向量为基础，通过把一个向量在其他两个向量上的分解，说明了该定理的本质教学时无须严格证明该定理，只要让学生弄清定理的条件和结论，会用该定理就可以了向量的加法法、减法法、实数数与向量量的积的的混合运运算称为为向量的的线性运运算，也也叫“向向量的初初等运算算”由由平面向向量的基基本定理理，知任任一平面面内的直直线型图图形都可可表示为为某些向向量的线线性组合合，这样样在证明明几何命命题时，可可先把

2、已已知和结结论表示示成向量量形式，再再通过向向量的运运算，有有时能很很容易证证明几何何命题因此，向向量是数数学中证证明几何何命题的的有效工工具之一一为降降低难度度，目前前要求用用向量表表示几何何关系，而而不要求求用向量量证明几几何命题题平面向量的的基本定定理的理理解是学学习的难难点，而而应用基基本向量量表示平平面内的的某一向向量是学学习的重重点教学目标1. 了解解平面向向量基本本定理的的条件和和结论，会会用它来来表示平平面图形形中任一一向量，为为向量坐坐标化打打下基础础2. 通过过对平面面向量基基本定理理的归纳纳、抽象象和概括括，体验验数学定定理的产产生、形形成过程程，提升升学生的的抽象和和概

3、括能能力3. 通过过对平面面向量基基本定理理的运用用，增强强向量的的应用意意识，进进一步体体会向量量是处理理几何问问题的强强有力的的工具之之一任务分析这节课是在在学生熟熟悉向量量加、减减、数乘乘线性运运算的基基础上展展开的，为为了使学学生理解解和掌握握好平面面向量的的基本定定理，教教学时，常常应用构构造式的的作图方方法，同同时采用用师生共共同操作作，增强强直观认认识，归归纳和总总结出任任意向量量与基本本向量的的线性组组合关系系，并且且通过适适当的练练习，使使学生进进一步认认识和理理解这一一基本定定理教学设计一、问题情情景1. 在AABCDD中，（11）已知知，试试用，来表示示，；（2）已知知，

4、试试用，表示向向量，.2. 给定定平面内内任意两两个不共共线向量量e1，e2，试作作出向量量3e112ee2，e12ee23. 平面面内的任任一向量量是否都都可以用用形如1e12e2的向量量表示？二、建立模模型1. 学生生回答（1）由向向量加法法，知；由向向量减法法，知，0（2）设AAC，BBD交于于点O，由由向量加加法，知知2. 师生生总结以，为为基本向向量，可可以表示示两对角角线的相相应向量量，还可可表示一一边对应应的向量量，估计计任一向向量都可可以写成成的线性性表达任意改成另另两个不不共线向向量，作基本本向量，也也可表示示其他向向量3. 教师师启发通过了e112ee2，e12ee2的作法

5、法，让学学生感悟悟通过改改变11，2的值，可可以作出出许多向向量1e12e2在此此基础上上，可自自然形成成一个更更理性的的认识平平面向量量的基本本定理4. 教师师明晰如图，设ee1，e2是平面面内两个个不共线线的向量量，是是这一平平面内的的任一向向量在平面内任任取一点点O，作作e1，e2，；过点CC作平行行于直线线OB的的直线，与与直线OOA交于于M；过过点C作作平行于于直线OOA的直直线，与与直线OOB交于于N这这时有且且只有实实数11，2，使1e1，2e2由于于，所以以1e12e2，也就就是说任任一向量量都可可表示成成1e12e2的形式式，从而而有平面向量的的基本定定理如如果e11，e2是

6、一平平面内的的两个不不平行向向量，那那么该平平面内的的任一向向量，存存在唯一一的一对对实数1，2，使11e12e2我们把不共共线向量量e1，e2叫作表表示这一一平面内内所有向向量的一一组基底底，有序序实数对对（11，2）叫在基底底e1，e2下的坐坐标三、解释应应用例题1. 已知知向量ee1，e2（如图图38-3），求求作向量量2.5e113ee2注：可按加加法或减减法运算算进行2. 如图图38-4，不共线线，tt（tR），用用，表示解：练习1. 已知知：不共共线向量量e1，e2，求作作向量e12ee22. 已知知：不共共线向量量e1，e2，并且且e13ee21e12e2，求实实数11，23.

7、已知知：基底底a，bb，求求实数，满满足向量量等式：3xaa（110yy）b（4yy7）aa2xxb4. 在ABCC中，点GG是ABCC的重心心，试用用，表示5. 已知知：ABBCDEEF为正正六边形形，试用用a，bb表示向向量6. 已知知：M是是平行四四边形AABCDD的中心心，求证证：对于于平面上上任一点点O，都都有.四、拓展延延伸点评这篇案例由由向量加加、减、数数乘运算算过渡到到平面向向量的基基本定理理，引入入比较自自然，合合理，使使学生由由感性认认识上升升为理性性认识这这种既重重结果又又重过程程的教学学理念符符合新课课程标准准的精神神同时时，有关关向量基基本定理理的应用用的例、习习题的设设计也较较有梯