万有引力航天典型例题修改稿

1、万有引力与航天-例题考点一天体质量和密度的计算1解决天体(卫星)运动问题的基本思路(1)天体运动的向心力本源于天体之间的万有引力，即Mmv22m2rm4rGr2manm2rT(2)在中心天体表面或周边运动时，万有引力近似等于重力，即Mmmg(g表示天体表面的G2R重力加速度)2天体质量和密度的计算(1)利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.MmMgR2由于G2mg，故天体质量，RGMM3g天体密度V44GR.3R3(2)经过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r.Mm2234r，得出中心天体质量4r；由万有引力等于向心力，即Gr2m2M2TGT若已知天体半径R，则天体的平均密度MM

2、3r3V23；4GTR3R3若天体的卫星在天体表面周边围绕天体运动，能够为其轨道半径r等于天体半径R，则天体3密度GT2.可见，只要测出卫星围绕天体表面运动的周期T，即可估计出中心天体的密度例11798年，英国物理学家卡文迪许测出万有引力常量G，因此卡文迪许被人们称为能称出地球质量的人若已知万有引力常量G，地球表面处的重力加速度g，地球半径R，地球上一个昼夜的时间T12(地球自转周期)，一年的时间T(地球公转周期)，地球中心到月球中心的距离L1，地球中心到太阳中心的距离L2.你能计算出()A地球的质量mgR2地G232B太阳的质量m4L太2GT2234L1C月球的质量m月2GT1D可求月球、地

3、球及太阳的密度1天体质量的估计“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为200km的圆形轨道上运行，运行周期为127分钟已知引力常量1122G10Nm/kg，月球的半径为310km.利用以上数据估计月球的质量约为()1013A10kgB10kg1922C10kgD10kg2天体密度的计算“嫦娥三号”探测器已于2013年12月2日1时30分，在西昌卫星发射中心成功发射“嫦娥三号”携带“玉免号”月球车首次实现月球软着陆和月面巡视勘探，并睁开月表面貌与地质构造检查等科学探测已知月球半径为R0，月球表面处重力加速度为g0，地球和月球的半径之比为Rg4，表面重力加速度之比为g6，则地球和

4、月球的密度之比为()R000C4D6估计天体质量和密度时应注意的问题(1)利用万有引力供应天体做圆周运动的向心力估计天体质量时，估计的可是中心天体的质量，其实不是围绕天体的质量(2)差异天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面周边的卫星才有rR；计算天体密度时，4V3R3中的R只能是中心天体的半径考点二卫星运行参量的比较与计算1卫星的各物理量随轨道半径变化的规律2极地卫星和近地卫星(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星能够实现全球覆盖(2)近地卫星是在地球表面周边围绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为km/s.(3)两

5、种卫星的轨道平面必然经过地球的球心例2(2013广东14)如图1，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M和2M的行星做匀速圆周运动，以下说法正确的选项是()图1A甲的向心加速度比乙的小B甲的运行周期比乙的小C甲的角速度比乙的大D甲的线速度比乙的大3卫星运行参量的比较(2013海南5)北“斗”卫星导航定位系统由地球静止轨道卫星(同步卫星)、中轨道卫星和倾斜同步卫星组成地球静止轨道卫星和中轨道卫星都在圆轨道上运行，它们距地面的高度分别约为地球半径的6倍和倍以下说法正确的选项是()A静止轨道卫星的周期约为中轨道卫星的2倍B静止轨道卫星的线速度大小约为中轨道卫星的2倍1C静止轨道卫星的角速度大小

6、约为中轨道卫星的71D静止轨道卫星的向心加速度大小约为中轨道卫星的74同步卫星问题的相关解析已知地球质量为M，半径为R，自转周期为T，地球同步卫星质量为m，引力常量为G.相关同步卫星，以下表述正确的选项是()3GMT2A卫星距地面的高度为24B卫星的运行速度小于第一宇宙速度MmC卫星运行时碰到的向心力大小为GR2D卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度同步卫星的六个“必然”考点三卫星变轨问题解析1当卫星的速度突然增大时，Mmv2卫星将做离心运动，Gr2m，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运r动，走开原来的圆轨道，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道牢固运行时由vGM可知r其运行速度

7、比原轨道时增大卫星的发射和回收就是利用这一原理例3在完成各项任务后，“神舟十号”飞船于2013年6月26日回归地球如图2所示，飞船在返回地面时，要在P点从圆形轨道进入椭圆轨道，Q为轨道上的一点，M为轨道上的另一点，关于“神舟十号”的运动，以下说法中正确的有()图2A飞船在轨道上经过P的速度小于经过Q的速度B飞船在轨道上经过P的速度小于在轨道上经过M的速度C飞船在轨道上运动的周期大于在轨道上运动的周期D飞船在轨道上经过P的加速度小于在轨道上经过M的加速度5变轨中运行参量的比较2013年12月2日，我国探月探测器“嫦娥三号”在西昌卫星发射中心成功发射升空，此翱翔轨道表示图如图3所示，地面发射后奔向

8、月球，在P点从圆形轨道进入椭圆轨道，Q为轨道上的近月点以下关于“嫦娥三号”的运动，正确的说法是()图3A发射速度必然大于km/sB在轨道上从P到Q的过程中速率不断增大C在轨道上经过P的速度小于在轨道上经过P的速度D在轨道上经过P的加速度小于在轨道上经过P的加速度6变轨中运行参量的比较如图4所示，搭载着“嫦娥二号”卫星的长征三号丙运载火箭在西昌卫星发射中心点火发射，卫星由地面发射后，进入地月转移轨道，经多次变轨最后进入距离月球表面100km、周期为118min的工作轨道，开始对月球进行探测，则()图4A卫星在轨道上的运动速度比月球的第一宇宙速度小B卫星在轨道上经过P点的速度比在轨道上经过P点时的

9、大C卫星在轨道上运行周期比在轨道上短D卫星在轨道上的运行周期比在轨道上长考点四宇宙速度的理解与计算1第一宇宙速度又叫围绕速度mv2GMm推导过程为：由mgR1R2得：v1GMgRkm/s.R2第一宇宙速度是人造地球卫星在地面周边围绕地球做匀速圆周运动时拥有的速度3第一宇宙速度是人造卫星的最大围绕速度，也是人造地球卫星的最小发射速度注意(1)两种周期自转周期和公转周期的不相同(2)两种速度围绕速度与发射速度的不相同，最大围绕速度等于最小发射速度(3)两个半径天体半径R和卫星轨道半径r的不相同(4)第二宇宙速度(走开速度)：v2km/s，使物体挣脱地球引力拘束的最小发射速度(5)第三宇宙速度(逃逸

10、速度)：v3km/s，使物体挣脱太阳引力拘束的最小发射速度例4太空起，历经6年，行程“伽利略”木星探测器，从1989年37亿千米，终于到达木星周围此后在t秒内绕木星运行10月进入N圈后，对木星及其卫星进行观察，最后坠入木星大气层烧毁设这N圈都是绕木星在同一个圆周上运行，其运行速率为v，探测器上的照相机正对木星拍摄整个木星时的视角为(如图5所示)，设木星为一球体求：图5(1)木星探测器在上述圆形轨道上运行时的轨道半径；(2)木星的第一宇宙速度7第一宇宙速度的理解与计算某人在一星球表面上以速度v0竖直上抛一物体，经过时间t后物体落回手中已知星球半径为R，那么沿星球表面将物体抛出，要使物体不再落回星

11、球表面，抛射速度最少为()2vRvRB.0C.0tt8宇宙速度的理解与计算2011年中俄联合推行探测火星计划，由中国负责研制的“萤火一号”火星探测器与俄罗斯研制的“福布斯土壤”火星探测器一起由俄罗斯“天顶”运载火箭发射前11往火星已知火星的质量约为地球质量的9，火星的半径约为地球半径的2.以下关于火星探测器的说法中正确的选项是()A发射速度只要大于第一宇宙速度即可B发射速度只有达到第三宇宙速度才能够C发射速度应大于第二宇宙速度而小于第三宇宙速度D火星探测器围绕火星运行的最大速度为地球第一宇宙速度的23考点五双星或多星模型绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图6所示，双星系

12、统模型有以下特点：图6(1)各自所需的向心力由相互间的万有引力相互供应，即Gm1m221Gm1m222L2m11L2m22r，r(2)两颗星的周期及角速度都相同，即T1T2，12(3)两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r1r2L12mr2(4)两颗星到圆心的距离r、r与星体质量成反比，即1m2r1L3(5)双星的运动周期T2Gm1m2234L(6)双星的总质量公式m1m2T2G例5宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只碰到相互之间的万有引力作用相互绕转，称之为双星系统在浩荡的银河系中，多数恒星都是双星系统设某双星系统A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图7所示若AOOB，则()图7A星球A的质

13、量必然大于星球B的质量B星球A的线速度必然大于星球B的线速度C双星间距离必然，双星的质量越大，其转动周期越大D双星的质量必然，双星之间的距离越大，其转动周期越大（选做）9双星模型(2013东山20)双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为()TTTT(选做）10多星模型宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，平时

14、可忽略其他星体对它们的引力作用设四星系统中每个星体的质量均为m，半径均为R，四颗星牢固分布在边长为a的正方形的四个极点上已知引力常量为G.关于四星系统，以下说法正确的选项是()A四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动aB四颗星的轨道半径均为2GmC四颗星表面的重力加速度均为R22aD四颗星的周期均为2a42Gm万有引力与航天-例题-答案例1解析对地球表面的一个物体m0来说，应有Gmm02GmmgRm0g地，选项A正确对地球绕太阳运动来说，有太地2，因此地球质量m地2RGL222344L2m地2L2，则m太2，B项正确对月球绕地球运动来说，能求地球的质量，不知道月球TGT22的相关参量及月球

15、的卫星的运动参量，无法求出它的质量和密度，C、D项错误答案AB1答案D解析由GMm2m(Rh)(2RhT)2，解得月球的质量22kg，选项D正确10变式题组232M4(Rh)/GT，代入数据得：M2答案B解析设星球的密度为Mm得GMgR2，MM3g，由G2mg，联立解得：，RV44GRR33则：gR0Rg代入上式，解得：3正确，将4，6，选项B0g0RR0g002例2答案AMmv22GM解析由万有引力供应向心力得mm2rmam4，vG2r2r，变形得：ar2rTGMGM，T2r3T和M成减函数关系，而a、v、和M成r，r3，只有周期GM增函数关系，应选A.变式题组3答案A4答案BD解析天体运动

16、的基本源理为万有引力供应向心力，地球的引力使卫星绕地球做匀速圆周运22GMmv4mr动，即F万F向m2.当卫星在地表运行时，F万2mg(R为地球半径)，设同步rTR卫星离地面高度为h，则F万GMm2Fma向mg，因此C错误，D正确由GMm2Rh向Rhmv2GMGMGMm2Rh3GMT2，B正确由24m，得Rh得，vOB，故A错误vARA，vBRB，B正确联立得G(mAB23，m)L又由于T2，故T2L3G，可知C错误，D正确mAmB答案BD变式题组9答案B解析双星靠相互的引力供应向心力，则有2m1m24GL2m1r1T22m1m24GL2m2r2T2并且r1r2L解得T2L3Gm1m2当两星总

17、质量变为原来的k倍，两星之间距离变为原来的n倍时T2n3L3Gkm1m2n3Tk应选项B正确10ACD解析其中一颗星体在其他三颗星体的万有引力作用下，合力方向指向对角线的交点，围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，由几何知识可得轨道半径均为22a，故A正确，B错误；在星体表面，依照万有引力等于重力，可得mmGmG2mg，解得g2，故C正确；由万有引RR2222a力定律和向心力公式得Gm22Gmm42a，T2a2aa222，故D正确T42Gm高考模拟明确考向1(2014新课标18)假设地球可视为质量平均分布的球体已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g，地球自转的周期为T，引力

18、常量为G.地球的密度为()2(2014福建14)若有一颗“宜居”行星，其质量为地球的p倍，半径为地球的q倍，则该行星卫星的围绕速度是地球卫星围绕速度的()倍倍倍倍3(2014天津3)研究表示，地球自转在逐渐变慢，3亿年前地球自转的周期约为22小时假设这种趋势会连续下去，地球的其他条件都不变，未来人类发射的地球同步卫星与现在的对照()A距地面的高度变大B向心加速度变大C线速度变大D角速度变大4冥王星与其周边的另一星体卡戎可视为双星系统，质量比约为71，同时绕它们连线上某点O做匀速圆周运动由此可知，冥王星绕O点运动的()1A轨道半径约为卡戎的71B角速度大小约为卡戎的7C线速度大小约为卡戎的7倍D

19、向心力大小约为卡戎的7倍练出高分一、单项选择题1(2013江苏单科1)火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，依照开普勒行星运动定律可知()A太阳位于木星运行轨道的中心B火星和木星绕太阳运行速度的大小向来相等C火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方D相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积22013年6月13日，神舟十号与天宫一号成功实现自动交会对接假设神舟十号与天宫一号都在各自的轨道做匀速圆周运动已知引力常量为G，以下说法正确的选项是()A由神舟十号运行的周期和轨道半径能够求出地球的质量B由神舟十号运行的周期能够求出它离地面的高度C若神舟十号的轨道半径

20、比天宫一号大，则神舟十号的周期比天宫一号小D飘扬在天宫一号内的宇航员处于平衡状态（删）3一人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，若是该卫星变轨后仍做匀速圆周运动，动1能减小为原来的4，不考虑卫星质量的变化，则变轨前、后卫星的()A向心加速度大小之比为41B角速度大小之比为21C周期之比为18D轨道半径之比为124随着我国登月计划的推行，我国宇航员登上月球已不是梦想若是我国宇航员登上月球并在月球表面周边以初速度v0竖直向上抛出一个小球，经时间t后小球回到出发点已知月球的半径为R，引力常量为G，则以下说法正确的选项是()v0A月球表面的重力加速度为t2v0R2B月球的质量为GtC宇航员在月球表面获得0

21、R的速度即可能走开月球表面围绕月球做圆周运动vtRtD宇航员在月球表面周边绕月球做匀速圆周运动的绕行周期为v05小型登月器连接在航天站上，一起绕月球做圆周运动，其轨道半径为月球半径的3倍某时刻，航天站使登月器减速分别，登月器沿如图1所示的椭圆轨道登月，在月球表面停留一段时间完成科考工作后，经快速启动仍沿原椭圆轨道返回当第一次回到分别点时恰与航天站对接登月器快速启动时间能够忽略不计，整个过程中航天站保持原轨道绕月运行已知月球表面的重力加速度为g0，月球半径为R，不考虑月球自转的影响，则登月器能够在月球上停留的最短时间约为()图1ARBRg0g0CRDRg0g062012年，天文学家首次在太阳系外

22、找到一个和地球尺寸大体相同的系外行星P，这个行星围绕某恒星Q做匀速圆周运动测得P的公转周期为T，公转轨道半径为r.已知引力常量为G，则()234rA恒星Q的质量约为GT2234rB行星P的质量约为GT2C以km/s的速度从地球发射的探测器能够到达该行星表面D以km/s的速度从地球发射的探测器能够到达该行星表面72012年7月，一个国际研究小组借助于智利的甚大望远镜，观察到了一组双星系统，它们绕两者连线上的某点O做匀速圆周运动，如图2所示此双星系统中体积较小成员能“吸食”另一颗体积较大星体表面物质，达到质量转移的目的假设在演变的过程中两者球心之间的距离保持不变，则在最初演变的过程中()图2A它们

23、做圆周运动的万有引力保持不变B它们做圆周运动的角速度不断变大C体积较大星体圆周运动轨迹半径变大，线速度也变大D体积较大星体圆周运动轨迹半径变大，线速度变小二、多项选择题8为了对火星及其周围的空间环境进行探测，我国发射了一颗火星探测器假设探测器在离火星表面高度分别为h12的圆轨道上运动时，周期分别为12和hT和T.火星可视为质量分布均匀的球体，且忽略火星的自转影响，万有引力常量为G.仅利用以上数据，能够计算出()A火星的质量B探测器的质量C火星对探测器的引力D火星表面的重力加速度9一行星绕恒星做匀速圆周运动由天文观察可得，其运行周期为T，速度为v，引力常量为G，则()v3TA恒星的质量为2G23

24、4vB行星的质量为GT2vTC行星运动的轨道半径为22vD行星运动的加速度为T10我国于2013年6月11日17时38发散射“神舟十号”载人飞船，并与“天宫一号”目标翱翔器对接如图3所示，开始对接前，“天宫一号”在高轨道，“神舟十号”飞船在低轨道，各自绕地球做匀速圆周运动，距离地面的高度分别为h1和h2(设地球半径为R)，“天宫一号”的运行周期约为90分钟则以下说法正确的选项是()图3A“天宫一号”跟“神舟十号”的线速度大小之比为h2h1Rh22B“天宫一号”跟“神舟十号”的向心加速度大小之比为2Rh1C“天宫一号”的角速度比地球同步卫星的角速度大D“天宫一号”的线速度大于km/s三、非选择题

25、11(2014北京23)万有引力定律揭穿了天体运动规律与地上物体运动规律拥有内在的一致性(1)用弹簧秤称量一个相关于地球静止的小物体的重量，随称量地址的变化可能会有不相同的结果已知地球质量为M，自转周期为T，万有引力常量为G.将地球视为半径为R、质量平均分布的球体，不考虑空气的影响设在地球北极地面称量时，弹簧秤的读数是F0.a若在北极上空高出地面h处称量，弹簧秤读数为1，求比值F1的表达式，并就h%R的情FF0形算出详尽数值(计算结果保留两位有效数字)；2b若在赤道地面称量，弹簧秤读数为F的表达式F2，求比值F0(2)设想地球绕太阳公转的圆周轨道半径为r、太阳的半径为RS和地球的半径R三者均减

26、小为现在的%，而太阳和地球的密度平均且不变仅考虑太阳和地球之间的相互作用，以现实地球的1年为标准，计算“设想地球”的一年将变为多长高考模拟明确考向1答案B解析物体在地球的两极时，Mm，物体在赤道上时，mgm(2Mm4mg0G2T)2RG2，又MRR3R3，联立以上三式解得地球的密度23g0.应选项B正确，选项A、C、D错误ggGT02答案C解析卫星绕行星做匀速圆周运动的向心力由行星对卫星的万有引力供应设地球质量为M，半径为R，依照GMmmv2vGM，同理该“宜居”行星卫星的环2得地球卫星的围绕速度为RRRGpMp绕速度vqR，故v为地球卫星围绕速度的q倍选项C正确3答案AGMm2解析2m4地球

27、的自转周期变大，则地球同步卫星的公转周期变大由2(Rh)，RhT得h3GMT22R，T变大，h变大，A正确4由GMm2ma，得aGM2，r增大，a减小，B错误rrGMmmv2GM，r增大，v减小，C错误由r2，得vrr2D错误由可知，角速度减小，T4答案A解析本题是双星问题，设冥王星的质量、轨道半径、线速度分别为m1、r1、v1，卡戎的质量、轨道半径、线速度分别为m2、r2、v2，由双星问题的规律可得，两星间的万有引力分别给两星供应做圆周运动的向心力，且两星的角速度相等，m1m2m12r1m22r2(L故B、D均错；由G2Lr1m21v1r1m21为两星间的距离)，因此，故A对，C错r2m17

28、vrm1722练出高分1答案C解析火星和木星在各自的椭圆轨道上绕太阳运动，速度的大小不能能向来相等，因此B错；太阳在这些椭圆的一个焦点上，因此A错；在相同时间内，火星与太阳连线在相同时间内扫过的面积相等，木星与太阳连线在相同时间内扫过的面积相等，但这两个面积不相等，因此D错本题答案为C.2答案A解析神舟十号和天宫一号都绕地球做匀速圆周运动，GMm2万有引力供应向心力，则有Rh223m(Rh)42，得T4Rh，已知周期和轨道半径，又知道引力常量G，能够求出TGM地球质量M，A对只知道周期而不知道地球质量和轨道半径无法求出高度，B错由T2Rh34可知轨道半径越大，则周期越大，若神舟十号的轨道半径比

29、天宫一号大，则GM神舟十号的周期比天宫一号大，C错飘扬在天宫一号内的宇航员和天宫一号一起做匀速圆周运动，不是处于平衡状态，D错3答案C解析依照E12得v2Ek，因此卫星变轨前、后的速度之比为v12Mmmv2，kmvmv2.依照Gr2r221r11Mmv2得卫星变轨前、后的轨道半径之比为r2v124，选项D错误；依照Gr2ma，得卫星变轨前、ar216Mm2后的向心加速度大小之比为1，选项A错误；依照Gm22a2r21rr，得卫星变轨前、后1的角速度大小之比为1r238B错误；依照T2r3，选项，得卫星变轨前、后的周期之112T121比为T218，选项C正确4答案B解析依照竖直上抛运动规律可得t

30、2v02v0GMmv22，g，A项错误；由2mgmm()2RgtRRT020Rt2vR2vR可得：MGt，vt，T20，故B项正确，C、D项错误2v5答案A解析由题可知，月球半径为R，则航天站的轨道半径为3R，设航天站转一周的时间为T，则2GM月m0RGM月mm4m0T63有22(3R)，对月球表面的物体有g02，联立两式得.登月3RTRg0器的登月轨道是椭圆，从与航天站分别到第一次回到分别点所用时间为沿椭圆运行一周的时间T和在月球停留时间t之和，若恰好与航天站运行一周所用时间相同时t最小，则有：tmin3R34R3RRTT，由开普勒第三定律有：2，得T4222，则tminTTg，TTg00因此只有A对6AMm223解析依照万有引力供应向