控制工程第二章-控制系统的数学基础和数学模型

1、第二章 控制系统的数学基础和数学模型基本要求1.掌握拉氏变换、拉氏反变换的定义、定理。2.了解数学模型的基本概念。能够运用动力学、电学及专业知识，列 写机械系统、电网络系统的微分方程。3.掌握传递函数的概念、特点，会求传递函数的零、极点。4.掌握各个典型环节的特点，传递函数的基本形式及相关参数的物理 意义。掌握闭环系统中前向通道传递函数、开环传递函数、闭环传递函数的定义及求法。掌握干扰作用下，系统传递函数的求法和特点。了解传递函数框图的组成及意义；能够根据系统的微分方程，绘制系统传递函数框图，并实现简化，从而求出系统的传递函数。7.了解相似原理的概念。本章重点1.拉氏变换定理。2.列写系统的微

2、分方程。3.传递函数的概念、特点及求法。4.典型环节的传递函数。5.系统的方框图及其化简。本章难点1.列写系统微分方程。2.系统的方框图及其化简。拉普拉斯(Laplace)变换js0js0F (s)L(t) f (t)estdtf(t)：原函数（实域、时间域） F(s)：象函数（s 域、复数域）s：复变量，s=+je st : 拉氏算子2.基本函数的拉氏变换 ( t ( t)xi ( t)序号原函数 f (t)象函数F(s)1单位脉冲函数 (t)12单位阶跃函数 1(t)1 s3K常数ks4t 单位斜坡函数1s25t nn!sn16e at 1 s a7sints 2 28costss 2 2

3、u ( t)eu ( t)e-at1sint0tsint0kkkr ( t )r ( t )cost0cost0拉氏变换的主要性质1.线性性质设Lf1(t)=F1(s)，Lf2(t)=F2(s)，k1，k2为常数，则f1(t)k2f2 (t)f1 (t)k2f2 (t) (s) k2 (s)2.微分性质若Lf(t)=F(s)，且f(0)=0，（初始条件为零）则df (t)sF(s)dt3.积分定理若Lf(t)=F(s)，且初始条件为零，则Lf(t)dt1 F (s)s4.平移定理若Lf(t)=F(s 则L ef (t)dt F(sa)5.初值定理若Lf(t)=F(s)，则f (0t0f (t)

4、 lims F(s)s6.终值定理若Lf(t)=F(s)，则有f () tf (t) lim sF(s)s07.延迟定理若Lf(t)=F(s)，对任一正实数a，则有Lfta) f a)est easF(s)拉氏变换的主要性质1.线性性质设Lf1(t)=F1(s)，Lf2(t)=F2(s)，k1，k2为常数，则f1(t)k2f2 (t)f1 (t)k2f2 (t) (s) k2 (s)2.微分性质若Lf(t)=F(s)，且f(0)=0，（初始条件为零）则df (t)sF(s)dt3.积分定理若Lf(t)=F(s)，且初始条件为零，则Lf(t)dt1 F (s)s4.平移定理若Lf(t)=F(s

5、则L ef (t)dt F(sa)5.初值定理若Lf(t)=F(s)，则f (0t0f (t) lims F(s)s6.终值定理若Lf(t)=F(s)，则有f () tf (t) lim sF(s)s07.延迟定理若Lf(t)=F(s)，对任一正实数a，则有Lfta) f a)est easF(s)拉氏反变换定义:f(t)=L-1F(s),将象函数变换成原函数s：复变量F(s)：象函数（s域、复数域）f(t)：原函数（实域、时间域）系统的数学模型数学模型就是描述系统的输出、输入与系统本身结构与参数之间的数学表达式。微分方程建立数学模型的方法有： 理论分析（解析法试验的方法获取线性系统与非线性系

6、统(1)系统微分方程的规范化形式如下：non1ax(n)(t) non1x(n1) (t) a (t) a (t)o1o0obx(m)(t)bx(m1)(t)b o1o0o(t) b x (t)mim1nm1i0ioij或oijj0 x(j)(t) bii 0 x(i)(t)若系数ai,bi是常数，则方程是线性定常的，相应的系统也称为线性定常系统，若系数是时间的函数， 则该方程为线性时变的，相应的系统也称为线性时变系统。（2）线性系统性质线性系统的一个最重要的特性就是满足叠加原理。系统t)系统系统xi2(t)系统t) a2xi2(t)t)2(t)t)+a22(t)非线性系统饱和非线性非线性系统

7、的线性化具有本质非线性特性的系统：忽略非线性因素或用非线性理论去处理。非本质非线性特性的系统:切线法，或称微小偏法处理。机械/电气系统微分方程1机械系统任何机械系统的数学模型都可以应用牛顿定律来建立。都可以使用质量、弹性和阻尼三个要素来描述。y(t)铣刀 工件iitfi(t)动力滑台f (t)1）机械平移系统工作台 kx ff外力；x位移； m质量；c粘性阻力系数； k弹簧刚度2）机械旋转系统BJ k J TT扭转力；转角；J转动惯量；BJ回转粘性阻力系数； kJ扭转弹簧刚度例1 写出下图机械系统的微分方程y(t)kcy(t)kcmky(t)cy(t)f(t)mf(t)外力；y(t)位移；k弹

8、簧刚度；c粘性阻力系数；m质量m解： maf (t) ky(t)t)my(t)my(t)t)ky(t) f (t)惯性力+阻尼力+弹簧力=外力2电气系统电阻、电感和电容器是电路中的三个基本元件。通常利用基尔霍夫定律来建立电气系统的数学模型。基尔霍夫电流定律： i(t) 0ALR(t)o(t)o Rii(t)C (t)u iR RuiRRRuL L dtiL 1LuL dtuc 1 idt Cic dui1dt1例2R1LR1L1L2u(t)i ( t)1Ci2(t)uc(t)解：u(t) (t)dtuc(t)(1)uc (t) 1di2 (t)dti2(2)uc (t)C -i2 (3)列写系

9、统微分方程的步骤：(1)分析系统工作原理和系统中各变量间的关系，确定系统的输出 量与输入量；(2)从系统的输入端开始，依据物理学定律，依次列写组成系统各 元件的动力学方程，其中要考虑相邻两元件间的负载效应；(3)将各方程式中的中间变量消去，求出描述输入量和输出量之间 关系的微分方程，并将与输入有关的各项放在方程右边，与输 出有关的各项放在方程左边，各阶导数项按降幂排列，即得系 统微分方程的标准形式；(4)在列写元件的微分方程或求出系统的微分方程时，对非线性项 应加以线性化。传递函数传递函数的定义线性定常系统的传递函数定义为：当全部初始条件为零时，输出量xo(t)的拉氏变换Xo(s)与输入量xi

10、(t)的拉氏变换Xi(s)之比叫做系统的传递函数G(s)。表示 为：G(s) X o(s)G(s)X i(G(s)Xi (s)Xo(s)传递函数的求法1.解析法(1)根据定义求取设线性定常系统输入为xi(t)，输出为xo(t)， 描述系统的微分方程的一般形式为 :n1oa xo(n)(t)a n1o(t) a (t) bx (m)(t)b (t) b(t)0omi1i0i式中，nm ；an，bm均为系统结构参数所决定的定常数（n，0omi1i0im=0、1、2、3）。m如果变量及其各阶导数初值为零（初始条件为零），取等式两 边拉氏变换后得:mn(an sn an1sn1 s )Xo( bm s

11、 bm 1s m 1 b1 s b ) i ( s )1根据传递函数的定义，即得系统的传递函数G(s)为:1G(s) Lxo (t) Lxi (t)Xo(s)Xi (s)（2）传递函数的零、极点系统的传递函数G(s)是以复变数s作为自变量的函数经因子分解 后，G(s)可以写成如下一般形式：G(s) l(s z1 )(s z2 )(s zm )l为常数(s p1)(s p2 )(s pn )s 点。z j (j=1，2，m)时，均能使G(s) 0 ，故称为 G(s)的零s (i1，2，n)时，均能使G(s)的分母为0，G(s)取极值，limG(s)=(i=1，2，n)sG(s)的极点2.实验法p

12、i ，称pi (i=1，2，n)为例试写出具有下述微分方程式的传递函数。d 3 y5 dt 3d22 dt2dt2 6dt7x解：取拉氏变换并求商得G(s) Y (s) 6s 7X (s)5s3 2s2 s 2传递函数的性质1.传递函数是通过输入和输出之间的关系来描述系统本身特性的，而 系统本身特性与输入量无关；2.传递函数不表明所描述系统的物理结构，不同的物理系统，只要它 们动态特性相同，就可用同一传递函数来描述。这样的系统称为相 似系统；3.传递函数可以是有量纲的，也可以是无量纲的；传递函数是复变量s的有理分式。传递函数多项式分子中s的阶数m 小于分母中s的阶数n,mn。传递函数分母多项式

13、中s的最高幂数代表了系统的阶数，如s的最高幂数为n则该系统为n阶系统。2.42.4典型环节的传递函数1.比例环节微分方程： xo (t) Kxi (t)G(s) KXi(s)s)K齿轮传动副例1图示为齿轮传动副，xi、xo分别为输入、输出轴的转速z2为齿轮齿数。求系统传递函数。解： xo z2此方程经Laplace变换后得传递函数为：G(s) Xo (s) Xi(s)z2K为齿轮传动比，也就是齿轮传动副的放大系数或增益。2.惯性环节 KxiG(s) Xo(s)Xi(s) K Ts1式中，T为时间常数，K质量阻尼弹簧环节例2 图示为质量阻尼弹簧环节,求略去质量 m 影响时，系统的传递函数。解：系

14、统微分方程为：o kxi此方程经LaplaceT为惯性环节的时间常数。G(s) Xo(s) k1Xi(s)cskTs 13.微分环节xo (t) (t)G(s) X0 (s)Xi (s)(s)Xo(s)Ts式中T为微分时间常数。Ts4.积分环节 T(t)dt传递函数：G(s) Xo (s) 1Xi (s)Ts(s)Xo(s)1Ts式中T为积分时间常数。1Ts5.振荡环节oT2ot)1(t) xo (t) xi (t)2 22nT 2 s 2 s 2 2 s nnn式中n 为阻尼比。例3 图示为质量阻尼弹簧环节，求系统的传递函数。质量阻尼弹簧环节解：d2x mdt2cdt)ms2X(S) csX

15、(s) kX(s) kX (s)ooooooG(s) X o (s)1X i (s)ms 2 cs k2nnnnG(s)nn km2mk km2mks2 2s 2例4 如图所示为电感L、电阻R与电容C的串、并联线路，ui为输入，uo 为输出，求系统传递函数。解：电路的动力学方程为：1ui 1uouo RiRCdt将后两式代入前一式，得：iLiRui LRo uoG(s) Uo (s)Ui (s)LCs221L s 1Rnn或：G(s)nnn式中：n s2 2s 21LC1L21LC1L2RC6. 延时环节延时环节是输出滞后输入时间，但不失真地反映输入的环节其微分方程为：xo (t) xi (t

16、)式中，为延迟时间。传递函数：Lx(t)Lx(tX (s)essG(s)oLxi (t)iLxi (t)i Xi (s)8种典型环节的传递函数如下：（1）比例环节:（2）（3）G(s) KG(s) TsG(s) T s 1（4）二阶微分环节:（5）积分环节:G(s)T2s2G(s) 1ss1,(0 1)（6）惯性环节:G(s) 1(Ts 1) 2nnG(s)nnn（7）振荡环节:s2 2 s 2（8）延迟环节:G(s) es系统的方框图及其联接G1(S) GG1(S) G2(S)Xi(s)Xi(s)X(s)X o(s)G2(S)G1(S)XX o(s)G(s) Xo (s) Xo (s)X(s

17、)12 G (s)G12(s)Xi (s)X(s)Xi (s)系统的传递函数是各串联环节的传递函数之积:G(s)i(s)ni 1n2.并联2.并联G2(sG2(s)G1(s)X1(s)+ XoX1(s)+ Xo(s)X2(s) +G(s)=G1(G(s)=G1(s)+G2(s)G(s) Xo (s) X1 (s)X2 (s) X1 (s) X 2 (s) 2(s)2Xi (s)X(s)Xi (s)Xi (s)1系统的传递函数是各并联环节的传递函数之和:1nG(s)i(s)ni13.反馈联接3.反馈联接EE(s)G(s)Xi(s)Xo(s)1GsHssGsB(sB(s)H(s)G(s) Xo (

18、s)E(s)H (s) B(s) Xo (s)开环传递函数Gk (s)G(s)H(s)B(s)E(s)Xo (s)G (s) BBXo (s) Xo (s)E(s)G(s)Xi (s)E(s) B(s)1B(s)E(s)1 G(s)H(s)(5)单位反馈G(sG(s)G(s) Xo (s) G(s)Xo(s)Xi(6)负反馈与正反馈(s)1G(s)+-负反馈：反馈信号减弱输入信号，使误差信号减小；G(s)G(s)1G(s)正反馈：反馈信号加强输入信号，使误差信号增大。G(s)G(s)1G(s)G2( G2( s)G1( s)Xi ( s) +-N ( s)+Xo ( s)HH( s)在输入量X

19、i(s)的作用下可把干扰量N(s)看作为零，系统的输出为XR(s)，则X (s) (s)(s) G1(s)G2(s)X (s)RR1G (s)(s)H(s)i12在干扰量N(s)作用下可把输入量Xi(s)看作为零，系统的输出为XN(s)，则X(s) (s)N (s)G2 (s)N (s)NN3)系统总的输出量：1G1(s)H(s)X (s) X(s) X(s) G2 (s)(s) (s) N (s)oR1 G (s) G (s)H(s)1i若G1 (s)G2 (s)H (s) 112X N (s) N (s)负反馈能有效的抑制被反馈回路所包围的干扰。1.分支点G(sG(s)XG(s)G(s)1

20、X2G(s)G(s)前移X3 (X2 )G(s)G(s)后移X3 ()X3X2)X1G(s)X2GX1G(s)X2G(s)12.相加点X1 +(X1 +(-)X2+X3(-)G ( s)G ( s)G( s)后移XG( s)X2+X3(-)X+X3(-)X2G( s)X1 + (-) 1G(s)G(s)前移X23.梅逊公式若系统的传递函数方框图同时满足以下两个条件： (1)整个方框图只有一条前向通道； (2)各局部反馈回路间存在公共的传递函数方框GB (s) XoXi(s)(s)前向通道的传递函数之积1 + 每一反馈回路的开环传递函数之积括号内每一项的符号是这样决定的：在相加点处，对反馈信号为

21、 相加时取负号，对反馈信号为相减时取正号。4.方框图的简化步骤若方框图中仅有多个无交叉回路，则按照先里后外的原则，逐个简化，直至简化成一个方框的形式。若方框图中有交叉的连接，用如下的 方法:1)若系统的传递函数方框图同时满足以下两个条件，可以运用梅逊公 式化简:条件1，整个系统方框图中只有一条前向通道；条件2，各局部反馈回路间存在公共的传递函数方框。2)若系统的传递函数方框图不同时满足以上两个条件，则可通过相加 点、分支点的前后移动等法则，将系统传递函数方框图化为同时满 足以上两个条件的形式，然后应用梅逊公式即可。若系统的传递函数方框图不同时满足以上两个条件，可通过相加点、分支点的前后移动等法则，将交叉消除，简化成无交叉的多回路形式。然后由里到外进行变换直至变换成一个单一回路或一个方框的形式，最后写出系统的传递函数。例化简下图的方框图Xi (s) +GH2-GBGXo(s)分析特点：(1)反馈与相加；(2)两反馈交错，交联。+-+B (s)1+23AH1简化方法：分支点前移，使AB，可移动一个支路，也可移两个支路；G3G21+ G2G3G21+ G2G3H2G1H2 i (s)+ (s) +