中考数学二轮复习专题二解答重难点题型突破题型五几何图形探究题试题230

1、题型五几何图形研究题种类一几何图形静态研究1(2017成都)问题背景：如图，等腰ABC中，ABAC，1BAC120，作ADBC于点D，则D为BC的中点，BAD2BAC60，于是BC2BD3；ABAB迁移应用：如图，ABC和ADE都是等腰三角形，BACDAE120，D，E，C三点在同一条直线上，连接BD.求证：ADBAEC；请直接写出线段AD，BD，CD之间的等量关系式；拓展延伸：如图，在菱形ABCD中，ABC120，在ABC内作射线BM，作点C关于BM的对称点E，连接AE并延伸交BM于点F，连接CE，CF.证明CEF是等边三角形；若AE5，CE2，求BF的长.2(2017许昌模拟)在正方形AB

2、CD中，对角线AC、BD交于点1O，动点P在线段BC上(不含点B)，BPE2ACB，PE交BO于点E，过点B作BFPE，垂足为F，交AC于点G.当点P与点C重合时(如图)，求证：BOGPOE；BF经过观察、测量、猜想：_，并结合图证明PE你的猜想；把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变(如图)，若ACBBF，求PE的值(用含的式子表示)3(2014河南)(1)问题发现如图，ACB和DCE均为等边三角形，点A，D，E在同素来线上，连接BE.填空：AEB的度数为_；线段AD，BE之间的数量关系为_拓展研究如图，ACB和DCE均为等腰直角三角形，ACBDCE90，点A，D，E在同素来线上，CM为DC

3、E中DE边上的高，连接BE，请判断AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明原由解决问题如图，在正方形ABCD中，CD2，若点P满足PD1，且BPD90，请直接写出点A到BP的距离.4(2017长春改编)【再现】如图，在ABC中，点D，E分1别是AB，AC的中点，可以获得：DEBC，且DE2BC.(不需要证明)【研究】如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，判断四边形EFGH的形状，并加以证明；【应用】(1)在【研究】的条件下，四边形ABCD中，满足什么条件时，四边形EFGH是菱形？你增加的条件是：_.(只增加一个条件)如图，在四边形ABCD

4、中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，对角线AC，BD订交于点O.若AOOC，四边形ABCD面积为5，求阴影部分图形的面积.5(2016新乡模拟)问题背景：已知在ABC中，AB边上的动点D由A向B运动(与A，B不重合)，同时，点E由点C沿BC的延伸线方向运动(E不与C重合)，连接DE交AC于点F，点H是线段AF上AC一点，求HF的值初步试一试如图，若ABC是等边三角形，DHAC，且D，E的运动速度相等，小王同学发现可以过点D做DGBC，交AC于点G，先证GHACAH.再证GFCF，从而求得HF的值为_；类比研究如图，若在ABC中，ABC90，ADHBAC30，AC且点D，E的

5、运动速度之比是31，求的值；HF延伸拓展BC如图，若在ABC中，ABAC，ADHBAC36，记ACACm，且点D，E的运动速度相等，试用含m的代数式表示HF的值(直接写出结果，不用写解答过程).种类二几何图形动向研究1(2015河南)如图，在RtABC中，B90，BC2AB8，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为.(1)问题发现当0时，AE180时，AE_；当BDBD_；(2)拓展研究AE试判断：当0360时，的大小有无变化？请仅就图BD的状况给出证明问题解决当EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长2已知，点O是等边ABC内的任

6、一点，连接OA，OB，OC.如图，已知AOB150，BOC120，将BOC绕点C按顺时针方向旋转60得ADC.DAO的度数是_；用等式表示线段OA，OB，OC之间的数量关系，并证明；设AOB，BOC.当，满足什么关系时，OAOBOC有最小值？请在图中画出吻合条件的图形，并说明原由；若等边ABC的边长为1，直接写出OAOBOC的最小值.3(2013河南)如图，将两个完好相同的三角形纸片和重合放置，其中C90，BE30.操作发现如图，固定ABC，使DCE绕点C旋转当点D恰好落在AB边上时，填空：线段DE与AC的地址关系是_；设BDC的面积为S1，AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是_；(2

7、)猜想论证当DEC绕点C旋转到图所示的地址时，小明猜想(1)中S1与S2的数量关系依旧成立，并试一试分别作出了BDC和AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想；(3)拓展研究已知ABC60，点D是其角均分线上一点，BDCD4，DEAB交BC于点E(如图)，若在射线BA上存在点F，使SDCFSBDC，请直接写出相应的BF的长.4(2017郑州模拟)【问题情境】数学课上，李老师提出了以下问题：在ABC中，ABCACB，点D是AB边上任意一点，将射线DC绕点D逆时针旋转与过点A且平行于BC边的直线交于点E.请判断线段BD与AE之间的数量关系小颖在小组合作交流中，公布自己的建议：“我们不如从特别

8、状况下获得解决问题的思路，尔后类比到一般状况”小颖的想法获得了其他成员一致的赞同【问题解决】如图，当60时，判断BD与AE之间的数量关系；解法以下：过D点作AC的平行线交BC于F，构造全等三角形，经过推理使问题获得解决，请你直接写出线段BD与AE之间的数量关系：_.【类比研究】(2)如图，当45时，请判断线段BD与AE之间的数量关系，并进行证明；如图，当为任意锐角时，请直接写出线段BD与AE之间的数量关系：_.(用含的式子表示，其中090)5(2017烟台)【操作发现】如图，ABC为等边三角形，现将三角板中的60角与ACB重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转(旋转角大于0且小于30)，旋转后

9、三角板的素来角边与AB交于点D，在三角板斜边上取一点F，使CFCD，线段AB上取点E，使DCE30，连接AF，EF.求EAF的度数；DE与EF相等吗？请说明原由；【类比研究】如图，ABC为等腰直角三角形，ACB90，先将三角板的90角与ACB重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转(旋转角大于0且小于45)，旋转后三角板的素来角边与AB交于点D，在三角板另素来角边上取一点F，使CFCD，线段AB上取点E，使DCE45，连接AF，EF，请直接写出研究结果：求EAF的度数；线段AE，ED，DB之间的数量关系题型五第22题几何图形研究题种类一几何图形静态研究1迁移应用：证明：BACDAE120，DAB

10、CAE，DAEA在DAB和EAC中，DABEAC，DABEAC;ABAC,图)解：结论：CD3ADBD.原由：如解图，作AHCD于H.DABEAC，BDCE，3在RtADH中，DHADcos302AD，ADAE，AHDE，DHHE，CDDEEC2DHBD3ADBD；拓展延伸：证明：如解图，作BHAE于H，连接BE.四边形ABCD是菱形，ABC120，ABD，BDC是等边三角形，BABDBC，E、C关于BM对称，BCBEBDBA，FEFC，A、D、E、C四点共圆，ADCAEC120，FEC60，EFC是等边三角形，解：AE5，ECEF2，AHHE2.5，FH4.5，在RtBHF中，BFH30，H

11、F4.5BFcos30，BF333.22(1)证明：四边形ABCD是正方形，P与C重合，OBOP，BOCBOG90，PFBG，PFB90，GBO90BGO，EPO90BGO，GBOEPO，GBOEPO在BOG和POE中，OBOP，BOGPOE(ASA)；BOGPOEBF1解：猜想.PE2证明：如解图，过P作PMAC交BG于M，交BO于N，PNEBOC90，BPNOCB.OBCOCB45，NBPNPB，NBNP.MBN90BMN，NPE90BMN，MBNNPE，MBNNPE在BMN和PEN中，NBNP，MNBPNEBMNPEN(ASA)，BMPE.1BPE2ACB，BPNACB，BPFMPF.P

12、FBM，BFPMFP90.在BPF和MPF中，BPFMPEPFPF，BPFMPF(ASA).PFBPFM11BF1BFMF.即BF2BM.BF2PE.即PE2；解：如解图，过P作PMAC交BG于点M，交BO于点N，BPNACB，PNEBOC90.1由(2)同理可得BF2BM，MBNEPN，BMBNBMNPEN，.PEPNBN在RtBNP中，tan，PNBM2BFBFtan.tan，即PEtan，PEPE23解：(1)ACB和DCE均为等边三角形，CACB，CDCE，ACBDCE60，ACDBCE.在ACD和BCE中，ACBCACDBCE，CDCEACDBCE(SAS)ADCBEC.DCE为等边

13、三角形，CDECED60.点A，D，E在同素来线上，ADC120，BEC120，AEBBECCED60；ADBE；(2)AEB90，AEBE2CM.原由：ACB和DCE均为等腰直角三角形，CACB，CDCE，ACBDCE90.ACDBCE.在ACD和BCE中，CACBACDBCE，CDCEACDBCE(SAS)ADBE，ADCBEC.DCE为等腰直角三角形，CDECED45.点A，D，E在同素来线上，ADC135，BEC135，AEBBECCED90.CDCE，CMDE，DMME.DCE90，DMMECM，AEADDEBE2CM；3131(3)点A到BP的距离为或.22原由以下：PD1，点P在

14、以点D为圆心，1为半径的圆上BPD90，点P在以BD为直径的圆上点P是这两圆的交点当点P在如解图所示地址时，连接PD、PB、PA，作AHBP，垂足为H，过点A作AEAP，交BP于点E，四边形ABCD是正方形，ADB45.ABADDCBC2，BAD90.BD2.DP1，BP3.BPDBAD90，A、P、D、B在以BD为直径的圆上，APBADB45.PAE是等腰直角三角形又BAD是等腰直角三角形，点B、E、P共线，AHBP，由(2)中的结论可得：BP2AHPD.32AH1.AH31；2当点P在如解图所示地址时，连接PD、PB、PA，作AHBP，垂足为H，过点A作AEAP，交PB的延伸线于点E，同理

15、可得：BP2AHPD.32AH1.AH31.2综上所述：点A到BP的距离为3131.2或24解：【研究】平行四边形原由：如解图，连接AC，1E是AB的中点，F是BC的中点，EFAC，EF2AC，1同理HGAC，HG2AC，综上可得：EFHG，EFHG，故四边形EFGH是平行四边形【应用】(1)增加ACBD，1原由：连接AC，BD，同(1)知，EF2AC，1同【研究】的方法得，FG2BD，ACBD，EFFG，四边形EFGH是平行四边形，?EFGH是菱形；如解图，由【研究】得，四边形EFGH是平行四边形，F，G是BC，CD的中点，FGBD，FGBD，CFGCBD，CFG，S4S1S1BCD2SBC

16、D4CFG，同理：SABD4SAEH，5四边形ABCD面积为5，SBCDSABD5，SCFGSAEH4，5同理：SDHGSBEF4，55S四边形EFGHS四边形ABCD(SCFGSAEHSDHGSBEF)522，设AC与FG，EH订交于M，N，EF与BD订交于P，111FGBD，FG2BD，CMOM2OC，同理：ANON2OA，OAOC，OMON，易知，四边形ENOP，FMOP是平行四边形，S?EPONS?FMOP，15S阴影2S四边形EFGH4.5解：(1)ABC是等边三角形，AGD是等边三角形，ADGD，由题意知：CEAD，CEGD，DGBC，GDFCEF，GDFCEF在GDF与CEF中，

17、GFDEFC，GDCEGDFCEF(AAS)，CFGF，DHAG，AHGH，ACAGCG2GH2GF2(GHGF)2HF，AC2；HF如解图，过点D作DGBC交AC于点G，则ADGABC90.BACADH30，AHDH，GHDBACADH60，HDGADGADH60，DGH为等边三角形GDGHDHAH，ADGDtan603GD.由题意可知，AD3CE.GDCE.DGBC，GDFCEF.GDFCEF在GDF与CEF中，GFDEFC，CEGDGDFCEF(AAS)，GFCF.1ACGHGFAHCF，即HFAHCF，HFAC，即2；2HFACm1.原由以下：HFm如解图，过点D作DGBC交AC于点G

18、，易得ADAG，ADEC，AGDACB.在ABC中，BACADH36，ABAC，AHDH，ACBB72，GHDHADADH72.AGDGHD72，GHBCGHDBHGDACB，ABCDGH.m，DHACGHmDHmAH.DGBCBC由ADGABC可得m.ADABACFGGDDGBC，m.FGmFC.FCECACGHFGm(AHFC)m(ACHF)，即HFm(ACHF)HFm1m.种类二几何图形动向研究1解：(1)当0时，RtABC中，B90，AC2222ABBC（82）845，点D、E分别是边BC、AC的中点，AE255AE45225，BD824，.BD42如解图，当180时，可得ABDE，A

19、CBCAEAC455，；AEBDBDBC82AE当0360时，的大小没有变化，BDECDACB，ECADCB，又ECAC5，DCBC2AEEC5ECADCB，；BDDC2当D在AE上时，如解图，AC45，CD4，CDAD，AD2222ACCD（45）480168，ADBC，ABDC，B90，四边形ABCD是矩形，BDAC45；当D在AE延伸线上时，如解图，连接BD，过点D作AC的垂线交AC于点Q，过点B作AC的垂线交AC于点P，AC45，CD4，CDAD，AD2222ACCD（45）480168，原图中点D、E分别是边BC、AC的中点，111DE2AB2(82)242，AEADDE826，由(

20、2)可得AE56125，BD5.BD2525综上所述，BD的长为45或5.2解：(1)AOB150，BOC120，AOC90，由旋转的性质可知，OCD60，ADCBOC120，DAO360609012090；222线段OA，OB，OC之间的数量关系是OAOBOC.如解图，连接OD.BOC绕点C按顺时针方向旋转60得ADC，ADCBOC，OCD60.CDOC，OCD是等边三角形，OCODCD，CODCDO60，AOB150，BOC120，AOC90，AOD30，ADO60.DAO90.在RtADO中，DAO90，222OAADOD，222OAOBOC；(2)当120时，OAOBOC有最小值作图如

21、解图，将AOC绕点C按顺时针方向旋转60得AOC，连接OO.AOCAOC，OCOACA60.OCOC，OAOA，ACAC，AOCAOC.OCO是等边三角形OCOCOO，COOCOO60.AOBBOC120，AOCAOC120.BOOOOA180.B，O，O，A四点共线OAOBOCOAOBOOBA市价最小；当等边ABC的边长为1时，OAOBOC的最小值为AB3.3解：(1)DEC绕点C旋转使点D恰好落在AB边上，ACCD，BAC90B903060，ACD是等边三角形，ACD60，又CDEBAC60，ACDCDE，DEAC；1B30，C90，CDAC2AB，BDADAC，依照等边三角形的性质，AC

22、D的边AC、AD上的高相等，BDC的面积和AEC的面积相等(等底等高的三角形的面积相等)，即S1S2；DEC是由ABC绕点C旋转获得，BCCE，ACCD，ACNBCN90，DCMBCN1809090，ACNDCM，ACNDCM在ACN和DCM中，CMDN90，ACDCACNDCM(AAS)，ANDM，BDC的面积和AEC的面积相等(等底等高的三角形的面积相等)，即S1S2；如解图，过点D作DF1BE，易求四边形BEDF1是菱形，BEDF1，且BE、DF1上的高相等，此时SDCF1SBDE；过点D作DF2BD，ABC60，F1DBE，F2F1DABC60，1BF1DF1，F1BD2ABC30，F

23、2DB90，F1DF2ABC60，DF1F2是等边三角形，DF1DF2，BDCD，ABC60，点D是角均分线上一点，1DBCDCB26030，CDF1180BCD18030150，CDF236015060150，CDF1CDF2，DF1DF2在CDF1和CDF2中，CDF1CDF2，CDCDCDF1CDF2(SAS)，点F2也是所求的点，ABC60，点D是角均分线上一点，DEAB，1DBCBDEABD26030，又BD4，1343BEED24cos30223，43434383BF13，BF2BF1F1F2333，4383故BF的长为3或3.4解：(1)当60时，ABC、DCE是等边三角形，ECDC，ACBC，ACBDCE60，ACBACDDC