主应力及主切应力

1、第讲主应力及主切应力第1页，共21页。第十章 应力状态分析主要内容Main Content应力状态基本概念 斜面上任一点应力状态分析 求和约定和应力张量 主应力及主切应力 球应力及偏差应力 第2页，共21页。10.4 主应力及主切应力10.4.1 主应力的概念通过坐标变换可以找到只有正应力的坐标面，此坐标轴称为主轴，此应力称为主应力，该坐标面为主平面。 第3页，共21页。第4页，共21页。第5页，共21页。主应力的求解如果取微分面ABC为主微分面，即该微分面上只有主应力而没有切应力。这时，作用在此面上的全应力就是主应力。用 表示主应力，则它在各坐标轴上的投影为 第6页，共21页。代入到斜面应力

2、方程中有整理后可得又有（*）（*）第7页，共21页。由上面四个方程可求出主应力s及其方向余弦l、m、n。显然，前三个方程构成一个齐次方程组，显然不能有l = m = n = 0这样的解。如要方程组有其他解时，必须取该方程组的系数行列式为零，即 第8页，共21页。展开此行列式，得令则有第9页，共21页。三次方程式称为应力状态特征方程。此方程的三个根就是三个主应力，而这三个主应力均为实根。由因式分解可知 由代数学可知，具有相同的根的方程是全等方程，因此该式与应力状态特征方程全等。有展开后得第10页，共21页。应力张量不变量 对同一点应力状态，三个主应力的数值是一定的，而与过该点的坐标系的选择无关，

3、不管应力分量怎样随坐标系改变。那么I1、I2、I3 是不随坐标系改变的，分别称为一次、二次和三次应力常量，或称为应力张量不变量。第11页，共21页。主应力的特点三个主应力所作用的主微分面是相互垂直的将主应力s1代入（*）式中的任何两个方程，并与（*）式联立，可以求解出主应力s1的方向余弦l1、m1、n1，同理，可以求解出主应力s2及s3的方向余弦l2、m2、n2及l3、m3、n3 。每两个主应力的方向余弦之间满足以下关系第12页，共21页。三个主应力均为实根 主应力具有极值性质三个主应力中的最大值赋给s1，最小值赋给s3，并按大小顺序排列s1s2s3，则过该点任意微分斜面上的正应力中，s1为最

4、大值，s3为最小值。 第13页，共21页。主坐标系因为三个主应力两两相互垂直，若取坐标轴与主应力方向一致，则构成主坐标系，其坐标轴称为主轴。s2s12(y)3(z)1(x)s3第14页，共21页。在主坐标系下斜面上的应力为或正应力为主应力张量第15页，共21页。10.4.2 主切应力和最大切应力 主切应力任意微分斜面上的切应力也有极大值和最大值。极值切应力又称为主切应力。 在主坐标系下，任意微分斜面上的切应力上式中消去n，得到tn与l、m的函数关系 第16页，共21页。当微分面转动时，切应力随之变化。我们所求的是，当l、m、n为何值时，微分面上的切应力取极值。由二元函数f(x,y)求极值的方法可求得微分面上的切应力的极值。 第17页，共21页。对此方程组求解分不同情况当s1s2s3时，1） ，此解指主微分面上切应力为零2） 时， 3） 时， 4） 时，此种情况不可能成立。 5）若方程中消去m，则有 第18页，共21页。l0m0n0第19页，共21页。当s1s2s3时，则切应力在通过该点的任何微分面