北京版高考数学总复习专题8.4直线、平面垂直的判定与性质（讲解练）教学讲练

1、8.4直线、平面垂直的判定与性质数学 北京专用考点直线、平面垂直的判定与性质考点清单考向基础1.线面垂直的判定与性质类别文字语言图形语言符号语言判定如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直(即线线垂直线面垂直)l如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面b性质如果一条直线和一个平面垂直,则这条直线垂直于平面内任意一条直线(即线面垂直线线垂直)ab垂直于同一个平面的两条直线平行ab类别文字语言图形语言符号语言判定两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直AOB是二面角-l-的平面角,且AOB=90,则如果一个平面过另一个

2、平面的垂线,则这两个平面互相垂直(即线面垂直面面垂直)2.面面垂直的判定与性质性质如果两个平面垂直,则其中一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面(即面面垂直线面垂直)l如果两个相交平面同时垂直于第三个平面,那么它们的交线垂直于第三个平面l考向突破考向一线面垂直的判定与性质的应用例1(2017课标文,10,5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CD的中点,则()A.A1EDC1B.A1EBDC.A1EBC1D.A1EAC解析A1B1平面BCC1B1,BC1平面BCC1B1,A1B1BC1,又BC1B1C,且B1CA1B1=B1,BC1平面A1B1CD,又A1E平面A1B1CD,B

3、C1A1E.故选C.答案C例2(2015安徽,5,5分)已知m,n是两条不同直线,是两个不同平面,则下列命题正确的是()A.若,垂直于同一平面,则与平行B.若m,n平行于同一平面,则m与n平行C.若,则在内与平行的直线D.若m,n,则m与n垂直于同一平面解析若,垂直于同一个平面,则,可以都过的同一条垂线,即,可以相交,故A错;若m,n平行于同一个平面,则m与n可能平行,也可能相交,还可能异面,故B错;若,不平行,则,相交,设=l,在内存在直线a,使al,则a,故C错;从原命题的逆否命题进行判断,若m与n垂直于同一个平面,由线面垂直的性质定理知mn,故D正确.答案D考向二面面垂直的判定与性质的应

4、用例3如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,点E是棱PC的中点,平面ABE与棱PD交于点F.(1)求证:ABEF;(2)若PA=AD,且平面PAD平面ABCD,试证明AF平面PCD;(3)在(2)的条件下,线段PB上是否存在点M,使得EM平面PCD?(直接给出结论,不需要说明理由) 解析(1)证明:因为底面ABCD是正方形,所以ABCD.又因为AB平面PCD,CD平面PCD,所以AB平面PCD.又因为A,B,E,F四点共面,且平面ABEF平面PCD=EF,所以ABEF.(2)证明:在正方形ABCD中,CDAD,因为平面PAD平面ABCD,且平面PAD平面ABCD=AD,CD平面A

5、BCD,所以CD平面PAD.又AF平面PAD,所以CDAF.由(1)可知ABEF,又因为ABCD,所以CDEF.因为点E是棱PC的中点,所以点F是棱PD的中点.在PAD中,因为PA=AD,所以AFPD.又因为PDCD=D,所以AF平面PCD.(3)不存在.方法1证明线面垂直的方法1.线面垂直的定义.2.线面垂直的判定定理(ab,ac,b,c,bc=Ma).3.平行线垂直平面的传递性(ab,ba).4.面面垂直的性质(,=l,a,ala).5.面面平行的性质(a,a).6.面面垂直的性质(=l,l).方法技巧例1S是RtABC所在平面外的一点,且SA=SB=SC,D为斜边AC的中点.(1)求证:

6、SD平面ABC;(2)若AB=BC,求证:BD平面SAC.解题导引 证明(1)如图所示,取AB的中点E,连接SE,DE, 在RtABC中,D,E分别为AC,AB的中点,DEBC,BCAB,DEAB,SA=SB,SEAB.又DE,SE平面SDE,且SEDE=E,AB平面SDE.又SD平面SDE,ABSD.在SAC中,SA=SC,D为AC的中点,SDAC.又AC,AB平面ABC,且ACAB=A,SD平面ABC.(2)由于AB=BC,D为AC的中点,所以BDAC,由(1)可知,SD平面ABC,且BD平面ABC,SDBD,又SD,AC平面SAC,且SDAC=D,BD平面SAC.方法2证明面面垂直的方法

7、1.利用判定定理.在审题时要注意直观判断哪条直线可能是垂线,充分利用等腰三角形底边上的中线垂直于底边,勾股定理的逆定理等.2.用定义法证明.只需判定两平面所成的二面角为直二面角.3.客观题中也可应用“两个平行平面中的一个平面垂直于第三个平面,则另一个平面也垂直于第三个平面”进行证明.例2如图,在三棱锥P-ABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点.已知PAAC,PA=6,BC=8,DF=5.求证:平面BDE平面ABC.解题导引 证明因为D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点,PA=6,BC=8,所以DEPA,DE=PA=3,EF=BC=4.又因为DF=5,所以DF2=DE2+EF2,

8、所以DEF=90,即DEEF.因为PAAC,DEPA,所以DEAC.因为ACEF=E,AC平面ABC,EF平面ABC,所以DE平面ABC.又DE平面BDE,所以平面BDE平面ABC.方法3翻折问题的处理方法平面图形翻折为空间图形问题的解题关键是看翻折前后线线位置关系的变化,根据翻折的过程找到翻折前后线线位置关系中没有变化的量和发生变化的量,这些不变的量和变化的量反映了翻折后的空间图形的结构特征.例3(2020届北大附中模拟,17)如图1,在平行四边形ABCD中,AB=3,BC=2,过A点作CD的垂线,交CD的延长线于点E,AE=.连接EB,交AD于点F,将ADE沿AD折起,使得点E到达点P的位

9、置,如图2.(1)证明:平面BFP平面BCP;(2)若G为PB的中点,H为CD的中点,且平面ADP平面ABCD,求三棱锥G-BCH的体积. 图1图2解析(1)证明:在题图1的RtBAE中,AB=3,AE=,所以AEB=60.在RtAED中,AD=2,AE=,所以DAE=30.所以AFE=90,即BEAD.所以在题图2中,PFAD,BFAD.又因为ADBC,所以PFBC,BFBC.又因为PF,BF平面BFP,PFBF=F,所以BC平面BFP,又因为BC平面BCP,所以平面BFP平面BCP.(2)解法一:因为平面ADP平面ABCD,平面ADP平面ABCD=AD,PF平面ADP,PFAD,所以PF平面ABCD.取BF的中点O,连接BD,GO,则GOPF,所以GO平面ABCD,即GO为三棱锥G-BCH的高.又GO=PF=PAsin 30=,所以三棱锥G-BCH的体积V=SBCHGO=SBCD=.解法二:因为平面ADP平面ABCD,平面ADP平面ABCD=AD,PF平面ADP,PFAD,所以PF平面ABCD.因为G为PB的中点,所以三棱锥G-BCH的高等于PF,因