常微分方程与偏微分方程概论课件

1、第一章 常微分方程与偏微分方程概论主要内容：常微分方程的基本知识，包括：方程的建立、解的概念、最基本的求解方法等；偏微分方程基本知识，包括数学物理方程的导出，初边值问题、方程的傅立叶变换等；略微详细介绍热传导方程。第一章 常微分方程与偏微分方程概论主要内容：1.1 常微分方程简介1.1.1 常微分方程的基本概念牛顿第二定律：其中：m是质量，r是位置向量，t是时间， F是作用于质点的力1.1 常微分方程简介其中：m是质量，r是位置向量，t是时间牛顿引力定律：其中：G是万有引力常数，M与m是一对相互吸引的质点，r是从M到m的向量，r|r|是与r同向的单位向量牛顿引力定律：其中：G是万有引力常数，M

2、与m是一对相互吸引的这就是描述行星运动的微分方程微分方程中未知函数只出现一个自变量。求解方程，可引入极坐标变换，令 u = 1r这就是描述行星运动的微分方程微分方程中未知函数只出现一个则得到下面的二阶常系数线性微分方程：u0 , q0是由初始条件确定的2个常数。则得到下面的二阶常系数线性微分方程：u0 , q0是由初始条1.1.2 一些典型的常微分方程一、可分离变量的方程具有如下形式：可转化为1.1.2 一些典型的常微分方程可转化为两边对x积分（如果可能的话）得 G(y) + C1 = F(x) + C2即 G(y) = F(x) + C两边对x积分（如果可能的话）得二、齐次方程具有如下形式作

3、变量替换，令 u = yx y = ux是可分离变量的方程二、齐次方程作变量替换，令 u = yx y = 三、线性变系数方程具有如下形式（一阶）相应的齐次方程显然是个可分离的方程三、线性变系数方程相应的齐次方程显然是个可分离的方程积分得通解 yh(x) = Cexp-P(x)其中：定义积分因子则 m(x) yh(x) = C积分得通解定义积分因子两边求导对于q(x) 0 时 m(x) y(x)= C 不成立。但由上面的推导，可有两边求导对于q(x) 0 时 m(x) y(x)= C 对上式积分得即有对上式积分得即有伯努利方程作变换，令 u = y1-n伯努利方程作变换，令 u = y1-nn

4、 阶常系数线性微分方程其中，a0,an均为常数。先考虑齐次情形令 y = elx 代入得n 阶常系数线性微分方程其中，a0,an均为常数。令 解这个方程得 l = l1,ln 若 lilj , i j方程通解为若某个lj是 h 重根，则对应还有如下的h个解可以证明上面两种形式的解都是线性无关的，它们的任意线性组合都是齐次方程的通解。解这个方程得若某个lj是 h 重根，则对应还有如下的h个解可下面考虑非齐次情形，任取上述一个根，令令 dzdx = u下面考虑非齐次情形，任取上述一个根，令令 dzdx = 这样，方程降了一阶，但还是常系数，经过有限次降阶、积分，可得非齐次方程的一个特解 y = y

5、0(x)则，原方程通解为这样，方程降了一阶，但还是常系数，经过有限次降阶、积分，可得1.2 偏微分方程的导出与定解1.2.1 偏微分方程的概念未知函数含有多个自变量，方程中出现多元函数对不同自变量的各阶偏导数，这样的微分方程称为偏微分方程（数学物理方程）。几乎所有的研究对象，包括天文、物理等领域的物体运动、状态变化等都不可能只受一个因素的影响，它们往往与位置、时间、温度等诸多因素相关，因此必须用偏微分方程才能描述和求解。1.2 偏微分方程的导出与定解但是，偏微分方程十分复杂，即使是线性的也会复杂到难以处理的程度。至于非线性方程，也只能针对具体问题，提出个别的解决方法。所以，在数学上无法建立起偏

6、微分方程研究的一般性理论。但是，偏微分方程十分复杂，即使是线性的也会复杂到难以处理的程1.2.2 几个典型的数学物理方程热传导方程（温度分布）扩散方程（化学物质在溶液中的浓度）其中 a0，a2 = kQ ，k是传热系数，Q是热容量。1.2.2 几个典型的数学物理方程其中 a0，a2 = k拉普拉斯方程调和方程当物体的温度处于热稳定状态（真空中静止的电磁场。经典的引力场、或流体的某种稳定状态）拉普拉斯方程调和方程波动方程当声波在空气中传播时，如果 u 表示压强的小扰动，a0 是声音（电磁波或其他波动）在空气中的传播速度波动方程1.2.3 初边值问题对于最典型的求解问题是初始值问题柯西问题即：求波

7、动方程的解 u ，使其满足初始条件u0(x, y, z)和u1(x, y, z),表示在t = 0时波的形状和关于t 的变化率。1.2.3 初边值问题u0(x, y, z)和u1(x, y一维情形弦振动方程初始条件作变换 x = x - at , h = x + at方程变为一维情形弦振动方程初始条件作变换且通解为 u = f (x - at) + g (x + at)其中f与g是任意两个具有连续二阶导数的函数。并由初始条件，就得到下面弦振动的达朗贝尔（dAlembert）公式且通解为高维情形，把(x，y，z)记 x = (x1, x2, x3), x= (x1, x2, x3 )利用傅立叶变

8、换（Fourier）其中 x x = x1 x1 + x2 x2 + x3 x3高维情形，把(x，y，z)记且当 f 满足一定条件时有Fourier逆变换另外有且当 f 满足一定条件时有Fourier逆变换另外有对于下面方程，利用Fourier变换对于下面方程，利用Fourier变换变成解常微分方程的初值问题，解得其中做Fourier逆变换，得泊松（Poisson）公式变成解常微分方程的初值问题，解得其中其中ds1（dsat）是球面 | l |=1（| l |=at）的面积元素。其中ds1（dsat）是球面 | l |=1（| l |=a1.3 热传导方程初值问题的求解两边关于x 做Fouri

9、er变换1.3 热传导方程初值问题的求解两边关于x 做Fourier解常微分方程得若记且有从而解常微分方程得若记同理同理代入得其中通常称K(x - x ,t - t)为热传导方程基本解，且当f(x,t)0、j(x)适合一定条件时，可证明泊松公式是给出的初值问题解。代入得1.4 二阶偏微分方程的分类与化简1.4.1 二阶偏微分方程的分类三个典型的二阶偏微分方程的标准形式：（波动方程）（热传导方程）（位势方程）1.4 二阶偏微分方程的分类与化简（波动方程）其中 ：f是 (x1,xm)或 (x1,xm,t)的函数，a为常数， 是Laplace算子。二阶偏微分方程的一般形式：其中 aij= aji、b

10、、c、f 都是 (x1,xm)的函数。其中 ：f是 (x1,xm)或 (x1,xm,t)的用A表示矩阵（aij)i,j=1,2,.,m对于波动方程，取 m = n+1, t = xn+1用A表示矩阵（aij)i,j=1,2,.,m对于热传导方程，取 m = n+1, t = xn+1对于热传导方程，取 m = n+1, t = xn+1对于位势方程，取 m = n对于位势方程，取 m = n如果A是个常系数矩阵，由于它是对称的，所以，一定存在一个正交矩阵 T ，使得 TTAT是对角阵，且对角线上的元素就是A的特征值。位势方程：A的特征是都是正（或负）的，即A是正定的或负定的；热传导方程：A的特

11、征值有一个为0，其它的都为正（或负）的，即A是非负（或非正）的；波动方程：A的特征值除了一个为正（负）外，其它的都是负（正）的，即A是不定的。如果A是个常系数矩阵，由于它是对称的，所以，一定存在一个正交设 x0(x01,.,x0m)是空间中一点，A(x0)表示矩阵A在x0点的值定义：若A(x0)的m个特征是全是正（或负），称方程在x0点是椭圆型的；若A(x0)的特征是除了一个为0外全是正（或负）的，称方程在x0点是抛物型的；若A(x0)的特征值除了一个为负（或正）外，其它 m-1个全是正（或负）的，称方程在x0点是双曲型的。如果对于区域W上每一个点，方程是椭圆型的，则称方程在区域W上是椭圆型的

12、。类似有抛物型的和双曲型的。设 x0(x01,.,x0m)是空间中一点，A(x0)表定理：如果方程的二阶项系数aij 是常数，即A是常数矩阵，且它属于椭圆型 （抛物型、双曲型）方程，那么一定可以通过一个非奇异的自变量代换，把方程的二阶项化为三个标准形式。定理：如果方程的二阶项系数aij 是常数，即A是常数矩阵，且1.4.2 二阶偏微分方程的化简定义：称m维空间中的一张曲面S=j (x1,xm)=0为二阶偏微分方程一般形式的特征曲面，如果曲面S的每一个点，有定义：对于固定点 x0 = (x10,xm0) ，如果过该点的方向 l = (a1, am) 满足特征方程则称 l 为该点的特征方向。1.4

13、.2 二阶偏微分方程的化简定义：对于固定点 x0 = 由于 表示曲面j(x1,xm)=0的法向，所以特征曲面就是每点的法向为该点特征方向的曲面。怎样求特征方向和特征曲面，总假设 ai2 = 1即取ai为特征方向的方向余弦。由于 表示曲面j(x1,x例：热传导方程的特征方程为 a12 + a22 + a32 = 0由假设有 a02 + a12 + a22 + a32 = 1从而 a02 = 1因此特征曲面为超平面 t = 常数例：热传导方程例：对于两个自变量的二阶线性偏微分方程其特征方程为 a11a12 + 2a12a1a2 + a22a22 = 0 满足上述关系的方向(a1, a2)为特征方向

14、，其特征线 j(x, y) = 0例：对于两个自变量的二阶线性偏微分方程满足 a11jx2 + 2a12jx jy + a22jy2 = 0 *求解这个方程。对 j(x,y) = 0微分并代入上式 jxdx + jydy = 0 jx = - jydydx a11dy2 - 2a12dxdy + a22dx2 = 0 *偏微化为常微，求出 * 的一族积分曲线j1(x, y) = C则，z = j1(x, y)是*方程的解。满足偏微化为常微，求出 * 的一族积分曲线求*的积分曲线，将它分解为两个方程此时在(x0, y0)的近旁有三种情况，记 0 = a122-a11a22 = 0 0求*的积分曲

15、线，将它分解为两个方程此时在(x0, y0)的即，在 (x0,y0)近旁0 此时*有两族不同的实积分曲线 j(x,y) = C和 y(x,y) = C引入自变量 x= j(x,y) , h= y(x,y) *由*可看出-jx jy、 -yx yy是二次方程 a11l2 + 2a12l+ a22 = 0 两个不同实根，从而即，上述自变量变换是可逆的。即，在 (x0,y0)近旁0 此时*有两族不同的实积分由于ux = uxxx+uhhxuy= uxxy+uhhyuxx = uxxxx2+2uxhxxhx+uhhhx2+uxxxx+uhhxxuxy = uxxxxxy+uxh(xxhy +xyhx)

16、 + uhhhxhy + uxxxy+uhhxyuyy = uxxxy2+2uxhxyhy+uhhhy2+uxxyy+uhhyy原方程化为 b11uxx+ 2b12uxh+ b22uhh+ c1ux+ c2uh+Du = f由于其中b11= a11xx2 + 2a12xxxy + a11xy2 b12 = a11xxhx + a12 (xxhy +xyhx )+ a22xyhy b22 = a11hx2 + 2a12hxhy + a11hy2 由*和*知 b11=b22=0, * = b122 - b11b12= *J2故b120从而原方程化为其中如果令 x= (s + t) 2 , h=(s - t) 2方程最终化为如果令1.5 与图像处理有关的偏微分方程的例子几个常用的与图像