2021届全国卓越名校联盟新高考原创预测试卷十八数学

1、2021届全国卓越名校联盟新高考原创预测试卷（十八）数学祝考试顺利注意事项：考试范围：高考范围。2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不 清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当 马上报告监考老师，否则一切后果自负。4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡 上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷 类型A后的方框涂黑。5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案

2、标号涂 黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。如需改动，先划掉原来的答案，然后再写 上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案用 0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选 修题答题区域的答案一律无效。8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草

3、稿纸一并依序排列上交。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.己知集合4=8 = x|y = C,则4口8= ）A. 1,2B. 0,1,2C. -2,-1D.-2-1,0【答案】D【解析】【分析】先利用定义域的求法，求得集合8的范围，然后求两个集合的交集.【详解】因为A = -2,-1,0,1,2 , 5 = 中0,由题意和等差中项的性质列出方程，由等比数列的通 项公式化简后求出q,由等比数列的通项公式化简所求的式子，化简后即可求值.-30-【详解】设等比数列%的公比为q,且9o,.丹，%成等差数列， 2:.2xa5=a3 +

4、a4,则%寸=% + V，化简得q2q 1 = 0,解得q =生叵, 则力与1,5g y/5 + l=q = % +6 a3 +a52故选：A.【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式，以及等差中项的性质的应用，意在考查学生对 这些知识的理解掌握水平，属于基础题.哈尔滨市为创建文明城，试运行生活垃圾分类处理，将生活垃圾分为厨余、可回收和其他三 类，分别记为。，J并且设置了相应的垃圾箱：“厨余垃圾箱”、“可回收垃圾箱”和 “其他垃圾箱”，分别记为A，3, C,为调查居民生活垃圾分类投放情况，随机抽取某小区三类垃圾箱中共计500kg生活垃圾，数据统计如图.则估计生活垃圾投放错误的概率为（）23 A.

5、50B.9C.50D.23 A.50B.9C.50D.10【答案】D【解析】【分析】-30-ABca2001040b1512020c155030先计算投放正确的概率，再求出投放错误的概率即可.【详解】根据题意，投放正确的概率为200+120 + 30? 750010【详解】根据题意，投放正确的概率为200+120 + 30? 75001073故投放错误的概率为1 -m=记故选：D.【点睛】本题考查简单随机事件的概率求解，属基础题.若（x-4）（l + 3x）6的展开式中Y的系数为-45,则实数。的值为（2A.一32A.一3【冬案】DB. 21 C.一41 D.-3【解析】【分析】 将多项式的乘

6、法式展开，结合二项式定理展开式通项，即可求得。的值.【详解】(xa)(l + 3x)6 = x(l + 3x)6a(l+3x所以展开式中炉的系数为cl-aC =135-540。= 45 ,解得”上 3故选：D.属于基础题.【点睛】本题考查了二项式定理展开式通项的简单应用，指定项系数的求法,属于基础题.8,阿基米德（公元前287年一公元前212年）是占希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家.据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆 柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面枳的三分之二”.他 特别喜欢这个结论，要求后人在他的墓碑上刻

7、着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，表面积为54%的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为-30-30-B. 16乃B. 16乃C. 36万644 D.3【答案】C 【解析】 【分析】设球的半径为R,根据组合体的关系，圆柱的表面积为S = 2乃川+x27? = 54，解得球的半径A = 3,再代入球的体枳公式求解.【详解】设球的半径为R 根据题意圆柱的表面积为S = 2兀R? + 2兀R x 2A = 54不，解得R = 3,乃 63 -33乃 63 -33X不X4 - 33故选：C 【点睛】本题主要考查组合体的表面积和体积，还考查了对数学史了解，属于基础题.如

8、图是计算l + ； + g +捺的值的程序框图，则图中处可以填写的语句分别是（/输出S/输出S/A,= + 2, z16【答案】A【解析】【分析】 由1 + ； + = +2所有项的分母构成公差为2的等差数列，并求出1,3,5,31的项数，即可得出答案.-30-【详解】式子1 + : + : +:中所有项的分母构成公差为2的等差数列，31 = l + (Z l)x2, = 16,则 1,3,5,31 共 16项故选A.【点睛】本题主要考杳了补全循环结构的框图，涉及到等差数列的判断以及项数的确定，属 于中档题.(n.己知在平面直角坐标系中，。(0,0) , M 1,5，N(o/)，。(2,3),

9、动点P(x,y)满足不等式0m方两VI，04丽丽1，则卬=丽丽的最大值为()A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】【分析】利用向量的坐标求法求出各个向量的坐标，利用向量的数量积公式求出各个数量积代入已知 不等式得到夕的坐标满足的不等式，将而何的值用不等式组中的式子表示，利用不等式的 性质求出范闱.个I【详解】解：由题得：OM=Q，5), OP = (x,y) , ON = (0,1),。= (2,3).02x+y2,所以 04(2x+)，) + 2”40QW1. o(。户02x+y0，0）相交于4,8两点，M（4,2）crB. 6是弦人5B. 63C.一2【答案】D【解析】【分析】

10、设人（与）。5（三,%）,根据AB的中点尸的坐标，表示出斜率，从而得到关于。、b的关系 式，再求离心率即可.-30-【详解】因为倾斜角为土的直线与双曲线C 二=1(40，0)相交于A, B两 4cr lr点，所以直线的斜率k = tang = l,设人(司,凹),5(天,为)，则工冬=1cr b-cr b-由一得(-1)(占 + &) = ()LK)()1 + K)a2b2则 * =上占一占 cr y + y2因为M(4,2)是弦A6的中点， X + x2 = 8, M + K = 4因为直线的斜率为1 / 8/.1 =-cr 4Hn b2 1 ,1 nLJJ = ,Z? = aa2 22所以

11、?=+/?2= 1 + - a2=/（%）的图象关于-1对称，由数列小是公差不为0的等差数列，且/（）=/（51），可得的。+的】=-2,又斯是等差数列，月以 ni+t71OO = 5o+51= - 2,则斯的前100项的和为一 4）=一 100故选B.【点睛】本题考杳函数的对称性及应用，考查等差数列的性质，以及求和公式，考杳运算 能力，属于中档题.15.己知定义在R上的函数/W是奇函数且满足了（3 x） = /（x）, /（1） = -3,数列J满足5“=2%+ （其中S “为%的前“项和），则/（%） + /（4）= 2）两式相减得:凡=24-241T+ 1,即4=24_1, 4T = 2

12、（%-1）（之2）4-1是公比为2的等比数列，-30-/ 4 = 1 2, / ci5 = -3 L ci6 = -63/(%)+/&) = /(3x101)+3x21) = /(l)+0)= /(l) = 3故选c二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.设。=+2 J爹，b=2+J7,则4, 的大小关系为.【答案】ab【解析】【分析】先分别将平方，再进行大小比较即可.【详解】。=+2JI，b=2+J7两式的两边分别平方，可得 =11+4,分=11+4,显然J7.所以4Vb.故答案为：a.b【点睛】此题主要考杳了无理数的大小的比较，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取 近似值法、比较

13、平方法等.属于基础题.向平面区域(国)，)10 K x 1,0 %+1+% -以=3+%,Tv% 0，解得0.故答案为（一*-4）d（O,2）.【点睛】本题主要考杳了导数的几何意义：求切线，求切线时要注意设过点作切线还是在点 处的切线，前者需要设出切点，后者给出的点即为切点，属于易错题型.过点M（-L0）引曲线C ：），= 2d +办+。的两条切线，这两条切线与轴分别交于A, 5两点，若则。=.27【答案】一一4-30-【解析】【分析】由=两切线的斜率互为相反数，设切点，求导列关于t的方程求出t值即可求解【详解】设切点坐标为(t,2t3 + at + a), v vz = 6x2 + a,/.

14、 6t2 + a = +at + a 即 Jt + 1327=。，解得一彳2a+6x4t3 + 6F=0,解得 ,0或t= 27=。，解得一彳2a+6x 2)27 故答案为-4【点睛】本题考查导数的几何意义，转化|ma| 二 |mb|两切线的斜率互为相反数是突破点，熟练掌握切线的求法，准确计算是关键，是中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共60分.2L己知在6c中.A6,C所对的边分别为。也j若02=8，45C的面积为 2G(1)求角C的大小；若 c = 2

15、J?,求 sin A+sin B 的值.【答案】(1) -： (2)-32【解析】【分析】(1)由三角形的面积为2右得到;。加比。=2。，由余弦定理以及+尸c?=8得到2abeos C = 8 ,进而可求出tanC,得到角C； (2)由(1)的结果，先求出。匕，根据c = 2jJ,即可求出。+ /?,再由正弦定理可得.a .八 asinC bsinC nri 一八，,二十smA + smB =+,即可求出结果.-30-【详解】（1）由AA5C的面枳为2途可得gabsinC = 2W， 乙Fh f/2 +/?2 -c2 = 8 及余弦定理可得 2Z?cos C = 8 ,故 taiiC = yC

16、 = y ；（2） V C = , 2abeosC = 8, /. ab = 8 3又/+一/ = 83=271,可得4 + 6 = 64 Ta b c /曰人 . asmC bsinC （； x smC 3由正弦定理， = = ,得suiA + sin =+= （a + b） =-sinA sinB siiiCc cc 2【点睛】本题主要考杳解三角形，熟记正弦定理和余弦定理即可，属于基础题型.22.某工厂A, B两条生产线生产同款产品，若该产品按照一、二、三等级分类，则每件可分别 获利10元、8元、6元，现从A, 8生产线的产品中各随机抽取100件进行检测，结果统计如 下图：（I）根据已知数

17、据，判断是否有99%的把握认为一等级产品与生产线有关?（II）求抽取的200件产品的平均利润；（III）估计该厂若产量为2000件产品时，一等级产品的利润.附：独立性检验临界值表（参考公式：K（参考公式：K7 + H）其中 = + Z?+c+d)P(K*k)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001-k。0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828-【答案】（D没有99%的把握认为一等级的产品与生产线有关；（ED 8.1元；（in） 5500元-30-【解析】【分析】（I）根据题意列出2X2

18、列联表，算出K?的值，根据独立性检验临界值表得出结论.（II）根据频率分布条形图求出200件产品总利润，从而求出平均利润.（IID根据题目条件，由样本频率估计总体概率，则该工厂生产产品为一等级的概率估计值20 + 35、11200 -40从而可求出答案.【详解】解：（D根据已知数据可建立2X2列联表如下:一等品非一等品总计A生产线20801008生产线3565100总计55145200n(ad -be)2(o + b)(c + d)(o + c)(b + d)200 x(20 x65-80 x35/= 1800 64355x145x100 x100319而 5.643 = x+?.y = x+

19、mz .由，o ） 一得4x?+ 6/x + 3/r-12 = 0.（）厂 + 3）厂=127其 = 36府一16（3加2-12）= 12（加1 16） 0 ,解得:4/nZ?0）的左、右焦点为的坐标满足圆。方程cr lr（x-/2）2 +（y-l）2 =1,且圆心。满足|Q用+ |QK| = 2a.-30-（1）求椭圆G的方程；（2）过点P（O,1）的直线：），=京+ 1交椭圆G于A、3两点，过与垂直的直线A交圆。于C、。两点，M为线段CD中点，若/XMAS的面积 处,求女的值.5【答案】（1） L+L = i,（2）k = 0. 42【解析】【分析】（1）根据心的坐标满足圆。方程（x Jl

20、T + Cy 1尸=1可得到。的值，圆心。满足QFQF = 2a,故圆心。在椭圆上，将其代入可得椭圆方程；（2）由题意可知，QM与直线人平行，故点M到直线A5的距离即为点。到直线AB的距离, 从而可以用k表示出点M到直线A5的距离，再用人计算出弦长AB，从而得出关于女的方 程，进而得出结果.【详解】解：（1）因为心的坐标满足圆。方程（xJT）2 + （y 1下=1,故当y = 0时，x =正,即2（虚,0）,故c = 6,因为圆心。满足|。国+ |。国=2a,所以点。（J21）在椭圆上， TOC o 1-5 h z 砧4211a = 2b = 5/2故有+ = 1a = 2b = 5/2联立方

21、程组b2 ,解得,a2=b2 + 2所以椭圆方程为二+二=1;42（2）因为直线交圆。于。、。两点，M为线段CO中点，所以QM与直线垂直,-30-又因为直线乙与直线垂直, 所以0M与直线人平行，所以点M到直线AB的距离即为点Q到直线AB的距离,即点M到直线AB的距离为d = 1，7T7F设点4（石,%）,6（凡里）s+r=i联立方程组彳42,卜=女0+1）解得（1 + 2K）/ +4区一2 = 0 ，_ -4k由韦达定理可得=1 + 2犷由韦达定理可得 Vl+F132K+8 jV12|,(1 + 2所以4MAB的面枳为- Vl+F132K+8 .| _ 6/2(1 + 2公尸 5+k5I 8K

22、+ 2I 8K+ 2/(l + 2k)两边同时平方，化简得，28Kt-47-18 = 09解得4=2或二=二（舍）28故 k = 5/2【点睛】本题考查了椭圆的定义、方程，直线与椭圆的位置关系等问题，设而不求、韦达定-30-理是解题中的常见方法.设函数 /（x） = ：-&11工丫， k0.（1）求/（X）的单调区间和极值；（2）证明：若/（x）存在零点，则/（龙）在区间（1,%上仅有一个零点.【答案】（1 ）单调递减区间是（0,4）,单调递增区间是（,必）；极小值 /（）= I；1。（2）证明详见解析.【解析】试题分析：本题主要考杳导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值

23、和最值、函数零点问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算 能力.（I）先对/（X）求导，令/。） = 0解出工，将函数的定义域断开，列表，分析函数的 单调性，所以由表格知当x=时，函数取得极小值，同时也是最小值：（1【）利用第一问 的表，知/（JF）为函数的最小值，如果函数有零点，只需最小值以1一二“）0,从而解出 之6,下面再分情况分析函数有几个零点.试题解析：（【）由/（x） = 5-女hix，（女0）得广（吁.由/（x）= o 解得 x = JF.X）与fx）在区间（0,转）上的情况如下：X展+)/（X）,+应11口好 2/-30-所以，AM的单调递减区间是（o,

24、JF）,单调递增区间是（JE+8）；八X）在X = 4处取得极小值于（&） = A；.（H）由（I ）知，“刈在区间（0,+s）上的最小值为了（）=二2.因为f（X）存在零点，所以1nNo,从而kNe.当 二e时，刈在区间（1,J）上单调递减，且/（五）=0,所以x =是f（x）在区间（1, JZ上的唯一零点.当我e时，八刈在区间（0,6）上单调递减，且7（1） = ；0, /（如=一0, 乙乙所以“X）在区间（1, JZ上仅有一个零点.综上可知，若/W存在零点，则75）在区间上仅有一个零点.考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值、函数零点问题.已知函数/（x） =

25、lnxx .（1）求“X）的单调区间与最值；（2）若x（0,xo）,不等式rV 21nxorl20恒成立，求。的取值范围.【答案】 单调递增区间为（0,1）,单调递减区间为（L”），f（x）=-lj（x）无最小值; y,i【解析】【分析】（1）对f（x）求导，利用导函数的正负可得原函数的单调性及最值.（2）利用（1）的结论得到x%x+21nx + l,将所求不等式进行分类参数后得到 _ 2 In 丫 一 1（0）,利用上述结论可得厂5-24-+211】+ 1-2山-1=1,再说明等号可以成立，即可得到结果.-30-11 _ v-【详解】（1）因为/W = lnxX,所以r（M = 1 = ,X

26、（O,转） X X所以当X（O,1）时，/（x）0；当X（l,xo）时，/（x）0,则八幻的单调递增区间为（0,D,单调递减区间为（1,48）故皿x=/Q）= -l，/（M无最小值（2）由（1）可知Inx-xW-l，即x2lnx+L则氏皿备）+ 1，即丘x+21nx+lr*pA 7 In x 1若x%”一21nxG l20 ，（x0）xe.“1 o-Ki x2eA -21nx-l x + 21nx + l-21nx-l t因为x-eA + 21nx+l ,所以=1（当且仅当Ve、= l时，等号成立），而/= 士显然有解. e故,即。的取值范围为（一8,1【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调

27、区间及最值，考查了解决不等式恒成立问题的方法技巧，其中利用/F+2111工+1进行放缩是难点，属于较难题型.二、选考题：共10分,请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做 的第一题计分.选修44：坐标系与参数方程.在极坐标系中，曲线C的方程为夕cos2d = asmd（40）,以极点为原点，极轴所在直线2为x轴建立直角坐标，直线/的参数方程为广（/为参数），/与C交于A/，Ny = 22两点.（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线/的普通方程：（2）设点尸（2,-1）：若|PM|、|MN|、|PN|成等比数列，求。的值【答案】（1）曲线C的直角坐标方程为f =4），（。0）,直线/的普通方程为x+y- 1 = 0 ； (2) a = l-30-【解析】【分析】（1）由极坐标与直角坐标的互化公式和参数方程与普通方程的互化，即可求解曲线的直角坐标 方程和直线的普通方程；（2）把/的参数方程代入抛物线方程中，利用韦达定理得乙牲= 8+2”，可得 到|处|=,一修，1PM=小俨叫=小根据因为|pm|，|mn|，|尸|成等比数列,列出方程, 即可求解.【详解】由题意，曲线C的极坐标方程可化为02cos =。Psma（a0）,又由4.八，可得曲