数学建模案例分析课件

1、一、汽车刹车距离问题美国的某些司机培训课程中的驾驶规则：背景与问题 正常驾驶条件下, 车速每增10英里/小时， 后面与前车的距离应增一个车身的长度。 实现这个规则的简便办法是 “2秒准则” 便携式数控切割机/ ： 后车司机从前车经过某一标志开始默数 2秒钟后到达同一标志，而不管车速如何判断 “2秒准则” 与 “车身”规则是否一样；建立数学模型，寻求更好的驾驶规则。一、汽车刹车距离问题美国的某些司机培训课程中的驾驶规则：背景问题分析常识：刹车距离与车速有关10英里/小时(16公里/小时)车速下2秒钟行驶29英尺( 9米)车身的平均长度15英尺(=4.6米)“2秒准则”与“10英里/小时加一车身”

2、规则不同刹车距离反应时间司机状况制动系统灵活性制动器作用力、车重、车速、道路、气候 最大制动力与车质量成正比，使汽车作匀减速运动。车速常数反应距离制动距离常数问题分析常识：刹车距离与车速有关10英里/小时(16公里/假 设 与 建 模 1. 刹车距离 d 等于反应距离 d1 与制动距离 d2 之和2. 反应距离 d1与车速 v成正比3. 刹车时使用最大制动力F，F作功等于汽车动能的改变;F d2= m v2/2F mt1为反应时间且F与车的质量m成正比假 设 与 建 模 1. 刹车距离 d 等于反应距离 d 反应时间 t1的经验估计值为0.75秒参数估计 利用交通部门提供的一组实际数据拟合 k

3、模 型最小二乘法 k=0.06计算刹车距离、刹车时间车速(英里/小时) (英尺/秒)实际刹车距离（英尺）计算刹车距离（英尺）刹车时间（秒）2029.342（44）39.01.53044.073.5（78）76.61.84058.7116（124）126.22.15073.3173（186）187.82.56088.0248（268）261.43.070102.7343（372）347.13.680117.3464（506）444.84.3 反应时间 t1的经验估计值为0.75秒参数估计 利用“2秒准则”应修正为 “t 秒准则”模 型车速(英里/小时)刹车时间（秒）201.5301.8402.1

4、502.5603.0703.6804.3车速（英里/小时）010104040606080t（秒）1234“2秒准则”应修正为 “t 秒准则”模 型车速刹车时间201二、划艇比赛的成绩问题赛艇 2000米成绩 t (分)种类 1 2 3 4 平均单人 7.16 7.25 7.28 7.17 7.21双人 6.87 6.92 6.95 6.77 6.88四人 6.33 6.42 6.48 6.13 6.32八人 5.87 5.92 5.82 5.73 5.84艇长l 艇宽b (米) (米) l/b 7.93 0.293 27.0 9.76 0.356 27.411.75 0.574 21.018.

5、28 0.610 30.0空艇重w0(kg) 浆手数n 16.3 13.6 18.1 14.7对四种赛艇（单人、双人、四人、八人）4次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现与浆手数有某种关系。试建立数学模型揭示这种关系。问题准备调查赛艇的尺寸和重量l /b, w0/n 基本不变二、划艇比赛的成绩问题赛艇 2000米成绩问题分析 前进阻力 浸没部分与水的摩擦力 前进动力 浆手的划浆功率分析赛艇速度与浆手数量之间的关系赛艇速度由前进动力和前进阻力决定划浆功率 赛艇速度赛艇速度前进动力前进阻力浆手数量 艇重浸没面积 对浆手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定 运用合适的物理定律建立模型问题分析 前进阻力

6、 浸没部分与水的摩擦力 前进动力 模型假设1）艇形状相同(l/b为常数), w0与n成正比2）v是常数，阻力 f与 sv2成正比符号：艇速 v, 浸没面积 s, 浸没体积 A, 空艇重 w0, 阻力 f, 浆手数 n, 浆手功率 p, 浆手体重 w, 艇重 W艇的静态特性艇的动态特性3）w相同，p不变，p与w成正比浆手的特征模型建立f sv2p wv (n/s)1/3s1/2 A1/3A W(=w0+nw) n s n2/3v n1/9比赛成绩 t n 1/9np fv模型假设1）艇形状相同(l/b为常数), w0与n成正比2）模型检验n t1 7.212 6.884 6.328 5.84最小

7、二乘法利用4次国际大赛冠军的平均成绩对模型 t n 1/ 9 进行检验tn12487.216.886.325.84与模型巧合！模型检验n t最小二乘法利用4次国际大赛冠军三、 核军备竞赛 冷战时期美苏声称为了保卫自己的安全，实行“核威慑战略”，核军备竞赛不断升级。 随着前苏联的解体和冷战的结束，双方通过了一系列的核裁军协议。 在什么情况下双方的核军备竞赛不会无限扩张，而存在暂时的平衡状态。 当一方采取加强防御、提高武器精度、发展多弹头导弹等措施时，平衡状态会发生什么变化。 估计平衡状态下双方拥有的最少的核武器数量，这个数量受哪些因素影响。背景三、 核军备竞赛 冷战时期美苏声称为了保卫自己的安全

8、，实行以双方(战略)核导弹数量描述核军备的大小。假定双方采取如下同样的核威慑战略： 认为对方可能发起所谓第一次核打击，即倾其全部核导弹攻击己方的核导弹基地； 乙方在经受第一次核打击后，应保存足够的核导弹，给对方重要目标以毁灭性的打击。在任一方实施第一次核打击时，假定一枚核导弹只能攻击对方的一个核导弹基地。摧毁这个基地的可能性是常数，它由一方的攻击精度和另一方的防御能力决定。模型假设以双方(战略)核导弹数量描述核军备的大小。假定双方采取如下同图的模型y=f(x)甲方有x枚导弹，乙方所需的最少导弹数x=g(y)乙方有y枚导弹，甲方所需的最少导弹数当 x=0时 y=y0，y0乙方的威慑值xyy00y

9、0甲方实行第一次打击后已经没有导弹，乙方为毁灭甲方工业、交通中心等目标所需导弹数x1x0y1P(xm,ym)x=g(y)xy0y0y=f(x)y=f(x)乙安全区甲安全区双方安全区P平衡点(双方最少导弹数)乙安全线图的模型y=f(x)甲方有x枚导弹，乙方所需的最少导弹数x精细模型乙方残存率 s 甲方一枚导弹攻击乙方一个基地，基地未被摧毁的概率。sx个基地未摧毁，yx个基地未攻击。xy甲方以 x攻击乙方 y个基地中的 x个,y0=sx+yxx=yy0=sy乙的xy个被攻击2次，s2(xy)个未摧毁；y (xy)=2y x个被攻击1次，s(2y x )个未摧毁y0= s2(xy)+ s(2y x

10、)x=2yy0=s2yyx2yy= y0+(1-s)xy=y0/sy=y0/s2精细模型乙方残存率 s 甲方一枚导弹攻击乙方一个基地，基地 a交换比(甲乙导弹数量比)x=a y,精细模型x=y, y=y0/sx=2y, y=y0/s2y0威慑值s残存率y=f(x)y是一条上凸的曲线y0变大，曲线上移、变陡s变大，y减小，曲线变平a变大，y增加，曲线变陡xy0y0 xy, y= y0+(1-s)xx=yx=2yyx2y, a交换比(甲乙导弹数量比)x=a y,精细模型x=y, 甲方增加经费保护及疏散工业、交通中心等目标乙方威慑值 y0变大xy0y0 x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)甲方的被动防御也会使双方军备竞赛升级。（其它因素不变）乙安全线 y=f(x)上移模型解释 平衡点PP 甲方增加经费保护及疏散工业、交通中心等目标乙方威慑值 y0 甲方将固定核导弹基地改进为可移动发射架乙安全线y=f(x)不变甲方残存率变大威慑值x 0和交换比不变x减小，甲安全线x=g(y)向y轴靠近xy0y0 x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)模型解释 甲方这种单独行为，会使双方的核导弹减少PP 甲方将固定核导弹基地改进为可移动发射架乙安全线y=f(x) 双方发展多弹头导弹