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1、PAGE PAGE 5(福建专用)2013年高考数学总复习 第二章第11课时 变化率与导数、导数的计算课时闯关(含解析)一、选择题1(2010高考江西卷)若函数f(x)ax4bx2c满足f(1)2,则f(1)()A1 B2C2 D0解析:选B.由题意知f(x)4ax32bx,若f(1)2,即f(1)4a2b2,从题中可知f(x)为奇函数,故f(1)f(1)4a22下列函数求导运算正确的个数为()(3x)3xlog3e;(log2x)eq f(1,xln2);(cos5x)5sinx;(sinx2)2xcosx2;(xex)ex1.A1 B2C3 D4解析:选B.求导运算正确的有,2个,故选B.

2、3已知直线axby20与曲线yx3在点P(1,1)处的切线互相垂直,则eq f(a,b)为()A.eq f(2,3) Beq f(2,3)C.eq f(1,3) Deq f(1,3)解析:选D.曲线yx3在点P(1,1)处的切线斜率为3,所以eq f(a,b)eq f(1,3).4曲线yeeq f(x,2)在点(4,e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为()A.eq f(9,2)e2 B4e2C2e2 De2解析:选D.y,所以yeeq f(x,2)在点(4,e2)的导数为eq f(e2,2),所以yeeq f(x,2)在点(4,e2)的切线方程为ye2eq f(1,2)e2(x4)切线与x

3、轴、y轴的交点分别为(2,0)和(0,e2),所以Seq f(1,2)2e2e2.5下图中,有一个是函数f(x)eq f(1,3)x3ax2(a21)x1(aR,a0)的导函数f(x)的图象,则f(1)()A.eq f(1,3) Beq f(1,3)C.eq f(7,3) Deq f(1,3)或eq f(5,3)解析:选B.f(x)x22ax(a21),导函数f(x)的图象开口向上又a0,其图象必为图(3)由图象特征知f(0)0,且a0,a1.故f(1)eq f(1,3)11eq f(1,3).二、填空题6.如图,函数yf(x)的图象是折线段ABC,其中A,B,C的坐标分别为(0,4),(2,

4、0),(6,4),则f(f(0)_;函数f(x)在x1处的导数f(1)_.解析:由题图知,f(f(0)f(4)2,根据导数的几何意义知f(1)kAB2.答案:227(2012三明质检) 一质点的运动方程为yeq f(23x2,12x),则它在x1时的速度为_解析:因为yeq blc(rc)(avs4alco1(f(23x2,12x)eq f(6x12x23x22,12x2)eq f(6x6x24,12x2),所以y|x1eq f(16,9).答案:eq f(16,9)8若点P在抛物线y3x24x2上,A(0,3)、B(1,1),要使ABP的面积最小,则P点的坐标是_解析:欲使ABP的面积最小,

5、则必须使P点到直线AB的距离最近因此作直线AB的平行直线,与抛物线相切时的切点即为所求的点P.因为ykAB,即6x42,得x1,故P点的坐标是(1,1)答案:(1,1)三、解答题9求下列函数的导数:(1)y(1eq r(x)(1eq f(1,r(x);(2)yeq f(lnx,x);(3)ytanx;(4)y(1sinx)2. (2)y(eq f(lnx,x)eq f(lnxxxlnx,x2)eq f(f(1,x)xlnx,x2)eq f(1lnx,x2).(3)y(eq f(sinx,cosx)eq f(sinxcosxsinxcosx,cos2x)eq f(cosxcosxsinxsinx

6、,cos2x)eq f(1,cos2x).(4)y(1sinx)22(1sinx)(1sinx)2(1sinx)cosx2cosxsin2x.10已知函数f(x)x3x16.(1)求曲线yf(x)在点(2,6)处的切线的方程;(2)直线l为曲线yf(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标;(3)如果曲线yf(x)的某一切线与直线yeq f(1,4)x3垂直,求切点坐标与切线的方程解:(1)可判定点(2,6)在曲线yf(x)上f(x)(x3x16)3x21,在点(2,6)处的切线的斜率为kf(2)13.切线的方程为y13(x2)(6),即y13x32.(2)法一:设切点为(x0,y0)

7、,则直线l的斜率为f(x0)3xeq oal(2,0)1,直线l的方程为y(3xeq oal(2,0)1)(xx0)xeq oal(3,0)x016,又直线l过点(0,0),0(3xeq oal(2,0)1)(x0)xeq oal(3,0)x016,整理得,xeq oal(3,0)8,x02,y0(2)3(2)1626,k3(2)2113.直线l的方程为y13x,切点坐标为(2,26)法二:设直线l的方程为ykx,切点为(x0,y0),则keq f(y00,x00)eq f(xoal(3,0)x016,x0),又kf(x0)3xeq oal(2,0)1,eq f(xoal(3,0)x016,x

8、0)3xeq oal(2,0)1,解之得x02,y0(2)3(2)1626,k3(2)2113.直线l的方程为y13x,切点坐标为(2,26)(3)切线与直线yeq f(x,4)3垂直,切线的斜率k4.设切点的坐标为(x0,y0),则f(x0)3xeq oal(2,0)14,x01,eq blcrc (avs4alco1(x01,,y014,)或eq blcrc (avs4alco1(x01,,y018.)切线方程为y4(x1)14或y4(x1)18.即y4x18或y4x14.一、选择题1设函数yxsinxcosx的图象上的点(x,y)处的切线斜率为k,若kg(x),则函数kg(x)的图象大致

9、为()解析:选B.kg(x)ysinxxcosxsinxxcosx,故函数kg(x)为奇函数,排除A、C;又当xeq blc(rc)(avs4alco1(0,f(,2)时,g(x)0,B正确2已知a为常数,若曲线yax23xlnx存在与直线xy10互相垂直的切线,则实数a的取值范围是()A.eq blcrc)(avs4alco1(f(1,2),) B.eq blc(rc(avs4alco1(,f(1,2)C1,) D(,1解析:选A.yax23xlnx,y2ax3eq f(1,x).(x0)由2ax3eq f(1,x)1,即2ax22x10.得2aeq f(1,x2)eq f(2,x)eq b

10、lc(rc)(avs4alco1(f(1,x)1)21,x0,eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)1)211.2a1,aeq f(1,2).故选A.二、填空题3(2012龙岩质检)已知二次函数f(x)ax2bx1的导函数为f(x),f(0)0.若对任意实数x都有f(x)0,则eq f(f1,f0)的最小值为_解析:由f(x)2axb,f(0)0,所以b0.又因为对任意实数x,都有f(x)0,所以a0且b24a0,即b24所以eq f(f1,f0)eq f(ab1,b)eq f(a,b)eq f(1,b)12eq r(f(a,b)f(1,b)12 eq r(f(a,4a)12.

11、当且仅当eq f(a,b)eq f(1,b)且b24a,即a1,b2时,“”成立,即当a1,b2时,eq f(f1,f0)有最小值2.答案:24设曲线yxn1(nN*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,令anlgxn,则a1a2a99的值为_解析:点(1,1)在曲线yxn1(nN*)上,点(1,1)为切点,y(n1)xn,故切线的斜率为kn1,曲线在点(1,1)处的切线方程为y1(n1)(x1),令y0得切点的横坐标为xneq f(n,n1),故a1a2a99lg(x1x2x99)lgeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f(2,3)f(99,100)lgeq

12、f(1,100)2.答案:2三、解答题5已知函数f(x)ax33x26ax11,g(x)3x26x12和直线m:ykx9,又f(1)0.(1)求a的值;(2)是否存在k的值,使直线m既是曲线yf(x)的切线,又是曲线yg(x)的切线?如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明理由解:(1)f(x)3ax26x6a,f即3a66a2.(2)直线m恒过定点(0,9),先求直线m是曲线yg(x)的切线,设切点为(x0,3xeq oal(2,0)6x012),g(x0)6x06,切线方程为y(3xeq oal(2,0)6x012)(6x06)(xx0),将点(0,9)代入,得x01, 当x01时,切线方

13、程为y9;当x01时,切线方程为y12x9.由f(x)0得6x26x120,即有x1或x2,当x1时,yf(x)的切线方程为y18;当x2时,yf(x)的切线方程为y9.公切线是y9.又有f(x)12得6x26x1212,x0或x1.当x0时,yf(x)的切线方程为y12x11;当x1时,yf(x)的切线方程为y12x10,公切线不是y12x9.综上所述公切线是y9,此时存在,k0.6设函数f(x)axeq f(b,x),曲线yf(x)在点(2,f(2)处的切线方程为7x4y120.(1)求yf(x)的解析式;(2)求证:函数f(x)的图象是一个中心对称图形,并求其对称中心;(3)证明曲线yf

14、(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围三角形的面积为定值,并求出此定值解:(1)方程7x4y120可化为yeq f(7,4)x3,当x2时,yeq f(1,2).又f(x)aeq f(b,x2).于是eq blcrc (avs4alco1(2af(b,2)f(1,2),,af(b,4)f(7,4),)解得eq blcrc (avs4alco1(a1,,b3.)故f(x)xeq f(3,x).(2)证明:由上知f(x)xeq f(3,x),因为f(x)xeq f(3,x) f(x),所以是奇函数,所以函数f(x)的图象是一个中心对称图形,其对称中心为原点(3)证明:设P(x0,y0)为曲线上任一点,由f(x)1eq f(3,x2)知曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为yy0eq blc(rc)(avs4alco1(1f(3,xoal(2,0)(xx0),即yeq blc(rc)(avs4alco1(x0f(3,x0)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(3,xoal(2,

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