大学数学-极限课件

1、1.3 极限概念(limit) 极限概念是微积分的基本概念。极限是一种非初等运算,也是微积分学研究的基本工具.后面将要介绍的函数的连续性、导数、积分等重要概念，都是以极限为基础的。极限是高等数学中的一种重要的研究方法。1.3 极限概念(limit) 极限概念是微积 极限是以发展的眼光分析事物(变量)的变化规律,通过极限我们可以深入到函数的局部去了解函数,并且体会如何在运动的过程中把握变化的事物,从而深化对客观世界的认识。1.3.1 数列的极限(limit of sequence)数列的定义： 极限是以发展的眼光分析事物(变量)的变化规律,通过 按照一定规律有次序排列的无穷多个数称为数列。记作称

2、为通项(一般项) . 按照一定规律有次序排列的无穷多个数称为数列。记作称为通 数列的极限 数列极限的定义，请同学们回忆一下。 中国古代的极限思想：“一尺之椎，日取其半，万世不竭。”考察当n+时，通项xn的变化趋势。数列极限的实质： 数列的极限 数列极限的定义，请同学们回忆一下。考察当n例如,趋势不定例如,趋势不定数列数列当项数n无限变大时的极限定义：数列的各项数值向一个常数无限靠近，则称常数为该数列的极限。记作或数列数列当项数n无限变大时的极限定义：数列的各项数值向一个常 如果一个数列的极限存在,则称该数列是收敛(converge)； 如果一个数列的极限不存在,则称该数列是发散(diverge

3、)。 如果一个数列的极限存在,则称该常数 0 称为此数列的极限记作：常数 0 称为此数列的极限记作：大学数学-极限例如,收 敛例如,收 敛趋势不定发 散趋势不定发 散记作：记作：例1. 已知证明证:例1. 已知证明证:时，可以无限变小故时，可以无限变小故大学数学-极限函数随着自变量的变化而变化,研究函数的极限,就是研究当自变量按照某种方式变化时所对应的1.3.2函数的极限(limit of function)函数值的变化趋势。函数随着自变量的变化而变化,研究方式变化时所对应的1.3.2二、自变量趋于有限值时函数的极限自变量变化过程的六种形式:一、自变量趋于无穷大时函数的极限本节内容 :二、自变

4、量趋于有限值时函数的极限自变量变化过程的六种一、自变1. 时,函数f(x)的极限1. 时,函数f(x)的极限大学数学-极限大学数学-极限大学数学-极限定义：设函数y=f(x)在 x大于某个正数a时有定义,A是某确定常数,如果当自变量x 趋于 时，f(x)与A的距离任意小,则称函数f(x)在 时以A为极限，1. 时,函数f(x)的极限记为定义：设函数y=f(x)在 x大于某个正数a时有定义,A是某指数函数指数函数如如例如. 同理:例如. 同理:正弦函数正弦函数余弦函数余弦函数对数函数对数函数大学数学-极限大学数学-极限大学数学-极限2. 时,函数f(x)的极限2. 时,函数f(x)的极限大学数学

5、-极限大学数学-极限大学数学-极限大学数学-极限大学数学-极限大学数学-极限定义：设函数y=f(x)在点x0的某空心邻域内有定义，A是某确定常数，如果当自变量x趋近于x0时，f(x)与A的距离任意小,则称函数f(x)在x趋于x0时以A为极限，2. 时,函数f(x)的极限记为定义：设函数y=f(x)在点x0的某空心邻域内有定义，A是某正弦函数正弦函数余弦函数余弦函数 可以证明：以下的极限均成立 可以证明：以下的极限均成立3.单侧极限- 左极限与右极限3.单侧极限- 左极限与右极限左极限 :如果当 从的左侧无限趋近时,记着函数f(x)无限趋近于一个确定的常数A, 则称A为函数f(x)当时的左极限。

6、记作左极限 :如果当 从的左侧无限趋近时,记着函数f(类似可定义右极限 :函数的左极限和右极限统称为单侧极限。类似可定义右极限 :函数的左极限和右极限大学数学-极限对数函数对数函数大学数学-极限例如：例如：定理1.1：当 时,函数 极限存在的充要条件是左、右极限存在且相等，即定理1.1：当 时,函数 极限存在的例6. 设函数讨论 时的极限是否存在 . 解: 利用定理 因为例6. 设函数讨论 时的极限是否存在 . 解: 利用定理 显然所以不存在 .显然所以不存在 .大学数学-极限例7 问a为何值时,所给函数x=2处极限存在。解：左极限右极限例7 问a为何值时,所给函数x=2处极限存在。解：左极限右极欲函数在x=2处极限存在，必须左极限等于右极限，即a=8欲函数在x=2处极限存在，必须左极限等于右极限，思考：1)研究函数极限时,是否要考虑f(x)在x=x0时的性态？为什么？2)若f (x0+0)和f (x0-0)都存在,当x趋于x0时,f(x)的极限存在吗？3)如何利用f (x0+0)和f (x0-0)来判断当x趋于x0 时,f(x)的极限不存在？思考：？4)若极限是否一定有？4)若极限是否一定有？常用的极限结果：常用的极限结果：极限不存在的有：极限不存在的有：练习：设求：练习：设求：大学数学-极限作业NO.13:(3) 分析 的复合结构.解:由复合而成的.作业