电路原理课件：第十一章 动态网络的复频域分析

1、第十一章y(0+)，y(1)(0+)， ，y(n1)(0+)第十一章 动态网络的复频域分析1、动态网络的描述引言对正弦稳态, x(t) , y(t) , jddtX.Y.问题：一般动态网络的分析(时域分析)an(j)n+an1(j)n1+ +a1(j)+a0Y=bm(j)m+bm1(j)m1+ +b1(j)+b0Xdnydtndn1ydtn1dn2ydtn2dydtyanan1an2a1a0+dxdtdmxdtmdm1xdtm1dm2xdtm2bmbm1bm2b1b0 x+=*2、为什么要将拉普拉斯变换引入动态网络分析？11-1 拉普拉斯变换11-1-1 拉普拉斯变换的定义0- f(t)= f

2、(t)eStdt=F(S)关于积分下限0例0- K= KeStdt= KeStS10-=KSS= + j 1(t)= 1(t)eStdt0- (t)= (t)eStdt0-= eStdt0+=1S= (t)dt0-0+=1 et= et eStdt0- e(+S)tdt0-= e(+S)t(S+)1=0-S+1= =SF(S)f(0-) df(t) dt 1f1(t)+2f2(t)=1F1(S) +2F2(S) 11-1 拉普拉斯变换11-1-2 拉普拉斯变换的基本性质 设 f1(t)=F1(S) f2(t)=F2(S) 1、线性性质2、微分性质 kcost= 0.5k(ejt+ ejt)=0

3、.5k( )SjS+j11+=kS2+2S 设 f (t)=F (S) uCCR+-iLus(t)+- f(t)dt= F(S) 0-t1S11-1 拉普拉斯变换11-1-2 拉普拉斯变换的基本性质3、积分性质 设 f (t)=F (S) i(t)=I(S) uS(t)=US(S)Ri+L +uC(0)+ idtdidtC10t=uS(t) Ri (t)+L + + = uS(t)didtC1 idt0tuC(0)S(R+SL+ )I(S) Li(0) + =US(S)SCuC(0)S1I(S)=SCUS(S)+SLCi(0)CuC(0)S2LC+SRC+1(R+SL+ )I(S) Li(0)

4、 + =US(S)SCuC(0)S111-1 拉普拉斯变换11-1-2 拉普拉斯变换的基本性质11-1-3 部分分式法求拉普拉斯反变换出发点 ketS+k=1 =ketS+k集中参数电路中响应变换式的特点F1(S)F2(S)F (S)=bmSm + bm1Sm1 + + b1S + b0anSn + an1Sn1 + + a1S + a0=变换式在一般情况下为S的实系数有理函数F1(S)F2(S)F (S)=bmSm + bm1Sm1 + + b1S + b0anSn + an1Sn1 + + a1S + a0=11-1 拉普拉斯变换11-1-3 部分分式法求拉普拉斯反变换F(S)=H0 (S

5、zi)mi=1 (Spj)j=1nH0 实数常数zi F(S)的零点pj F(S)的极点(1) nm(2) nmF(S)=Q(S) + F2(S)R(S)F(S)可展开为部分分式之和例F(S)=S3+1S2+2S+2=S 2+S2+2S+22S+5其中， 1(S2)=(t)2(t)F(S)的极点 单极点 重极点 实数 复数 复数 实数 1、F(S)只含实数单极点F(S)=S p1A1S p2A2S pkAkS pnAn+f(t)= 1F(S)= Akepktk=1n问题归结为求F(S)的极点和确定相应的常数Ak11-1 拉普拉斯变换11-1-3 部分分式法求拉普拉斯反变换Ak=(Spk)F(S

6、) S=pkF(S)=S p1A1S p2A2S pkAkS pnAn+(S+1)(S+2)(S+3)S2+3S+5F(S)=例 求 的反变换S3+6S2+11S+6S2+3S+5F(S)=S+1S+2S+3A1A2A3+=A1=(S+1)F(S)=(S+2)(S+3)S2+3S+5S= 1=1.5A2=(S+2)F(S)=(S+1)(S+3)S2+3S+5S= 2= 3A3=(S+3)F(S)=(S+1)(S+2)S2+3S+5S= 3= 2.5(S+1)(S+2)(S+3)S2+3S+5F(S)=S+1S+2S+31.532.5+=11-1 拉普拉斯变换11-1-3 部分分式法求拉普拉斯反

7、变换f(t)=1F(S)=1.5et3e2t+2.5e3t t 02、F(S)除含实数单极点外，还含有复数单极点1、F(S)只含实数单极点(1) 复数极点是共轭形式成对出现的F(S)=S(+j)A1+S(j)+A2(2) 与复数极点对应的两个常数也互为共轭复数A2=A1A1= A1 ej令A2= A1 ej则11-1 拉普拉斯变换11-1-3 部分分式法求拉普拉斯反变换2、F(S)除含实数单极点外，还含有复数单极点F(S)=S(+j)A1+S(j)+A2A1= A1 ej令A2= A1 ej则f(t)= A1 eje(+j)t + A1 eje(j)t + = A1 et ej(t + ) +

8、 ej(t + ) + =2 A1 et cos(t+ ) +注意A1是虚部为正的极点对应的那个常数方程*S域代数方程（初始条件含在其中）（复频域）Y(S)1y(t)初始条件（时域）例 求 的反变换(S+2)2+4(S+1)S2+3S+7F(S)=F(S)=S (2+j2)S (2j2)S +1A1A1A3+A1=S= 2+j2S (2j2)(S+1)S2+3S+7=0.25ej90(S+2)2+4S2+3S+7A3=S= 1=1f(t)=1F(S)=0.5e2tcos(2t+90) + et t 011-2 运算法（讨论电路基本定律，元件特性方程的复频域形式）获得复频域代数方程的途径时域电路

9、微分方程(初始条件) 频域(S)代数方程 频域电路（运算模型）11-2-1 KCL与KVL的运算形式 1、KCL（运算电流）Ik(S)=02、KVL I1(S) +I2(S) I3(S) =0 ik(t)=00- ik(t)= ik(t)eStdt=Ik(S)线性性质I1(S)I3(S)I2(S)i1i3i2Uk(S)=011-2 运算法11-2-2 电路元件的运算模型 1、线性时不变电阻元件2、线性时不变电感元件Li(t)+-u(t)SLI(S)+-U(S)+-Li(0-)u(t)=Ldi(t) dtU(S)=SLI(S)Li(0-)I(S)= U(S)+ 1SLi(0-) SI(S)+-U

10、(S) 1SLi(0-) S微分性质Ri(t)+-u(t)RI(S)+-U(S)3、线性时不变电容元件I(S)+U(S)SC cu(0-)U(S)= I(S)+ 1SCu(0-) SI(S)=SCU(S)Cu(0-)4、线性时不变耦合电感元件11-2-2 电路元件的运算模型 I(S)+U(S)u(0-)/S1SC+ u1=L1 di1dtdi2dt+Mdi1dt+u2= +L2 Mdi2dtU1(S)=SL1I1(S) SMI2(S)L1i1(0) Mi2(0) +U2(S)=SL2I2(S) SMI1(S)L2i2(0) Mi1(0) +讨论:1）初具电源(附加电源)由uC(0-)、iL(0

11、-)提供，参 考方向，UL(S), UC(S)等的计算2）考虑零状态情况 运算阻抗与运算导纳 11-2-2 电路元件的运算模型 U(S)= I(S) 1SCI(S)=SCU(S)U(S)=SLI(S)I(S)= U(S) 1SLU(S)=RI(S)I(S)=GU(S)U=RII=GUU=jLII= U 1jLU= I 1jCI=jCUSLI(S)+-U(S)+-Li(0-)I(S)+U(S)u(0-)/S1SC+ 11-2-3 运算电路，电阻性网络各种解法的适用性 电路基本定律、元件特性的描述uS(t)、iS(t)uk(t)、ik(t)R、L、C等元件时域电路运算电路(频域电路)US(S)、I

12、S(S)Uk(S)、Ik(S)运算阻抗(或导纳)和初具电源Ik(S)=0Uk(S)=0ik(t)=0uk(t)=0U(S)=RI(S)U(S)= I(S)+ 1SCu(0-) SU(S)=SLI(S)Li(0-)u (t)=Ri(t)例1 求图示电路的冲激响应(t)11Fu+ 1F+时域分析的困难节点方程 (2S+1)U(S) =SU(S)= S2S+1=1214(S+1/2)11-2-3 运算电路，电阻性网络各种解法的适用性 1U(S)+ 1S11S+u(t)=1U(S)= (t) e 1214t21(t)例2100F100+50viL+uck1000.4HiL(0-)=0.25AuC(0-

13、)=25v100+0.4SS50S25IL(S)+0.1104/S11-2-3 运算电路，电阻性网络各种解法的适用性 5025SIL(S)=+0.1S100+0.4s+104/SIL(S)= 0.25S+62.5S2+250S+25000IL(S) = +AS+125j96.8AS+125+j96.8*0.25S+62.5(S+125)2+9375=A= |S= 125+j96.80.25S+62.5S+125+j96.8=0.204 52.2iL(t)=0.408e125tcos(96.8t52.2) (t0)100F100+50viL+uck1000.4HiL(0-)=0.25AuC(0-

14、)=25vIL(S) = +0.20452.2S+125j96.80.20452.2S+125+j96.8203040V-+25HiL0.01FuC+- 例3 图示电路在开关闭合前处于稳态，t=0时将开关闭合， 求开关闭合后uC(t)和iL(t)的变化规律 。iL(0-)= =0.8 A4050uC(0-)= 0.820 =16 V11-2-3 运算电路，电阻性网络各种解法的适用性 (S3+5S2+4S)UC= 16S2+80S +160UC(S)=16S2+80S +160S(S+1)(S+4)2020-+25SILUC+-+40S16S100S+-IL(S)=20S2+124S +2002

15、5S(S+1)(S+4)203040V-+25HiL0.01FuC+-iL(0-)= =0.8 A4050uC(0-)= 0.820 =16 V120125S(0.01S+ + )UC40S+2025S=0.16 +IL(S)=20 + 40/S UC 25SUC(S)=16S2+80S +160S(S+1)(S+4)IL(S)=20S2+124S +20025S(S+1)(S+4)UC=SA1S+1A2A3S+4+A1=UC(S)SS=0=16S2+80S +160(S+1)(S+4)S=0=40iL(t)=2 1.28et+0.08e4t t 0uC(t)=4032et+ 8e4t t 0

16、A2=(S+1)UC(S)S= 1= 32A3=(S+4)UC(S)S= 4= 816S2+80S +160S(S+4)S= 1=16S2+80S +160S(S+1)S= 4=u1(0-)= 15=9V 35u2(0-)=6V UOC(S)= + = 9S6S3S例4 求i+15V152F2F3F3Fi+u2u1+9S6S12S13S12S13S6S9S+15S10I(S)解法一、应用戴维南定理+9S6S12S13S12S13S6S9S+15S +U0Ci(t)= 0.3e0.04t 10I(S)+3S25S13S12SZ0(S)=2 = 13S12S+25S12S13S12S13SUOC(

17、S)= 3S+9S6S12S13S12S13S6S9S+15S10I(S)I(S)= = = 3S25S10+1550S+2312510(S+ )15SU3(S)=(5S+0.1)U1 0.1U22S = 18+18 S15 0.1U1+(5S+0.1)U23S = 18+18 S15U1(S)=150S+7. 5S(25S+1) U2(S)= S(25S+1)225S+7. 5I(S)=0.1U1(S) U2(S)= =(25S+1)7. 50. 3(S+ )125i(t)= 1I(S)= 0.3e0.04t (t0) 解法二：节点分析+9S6S12S13S12S13S6S9S+15S123

18、I(S)1011-2-3 运算电路，电阻性网络各种解法的适用性 U1+R1R2+IS(S)R3SL+SC1 1SC2 1SU1(0)SU2(0)LiL(0)U2例5 图示电路，设电源在t=0时加入，此前各电容、电感的起始 状态分别为u1(0)、u2(0)和iL(0),试对t0,求u2(t)。U1+R1R2U2+iS(t)R3LC1C2iLG1+G3+SC1 G3 G3 G2+ G3+SC2+SL 1U1U2=C2u2(0-) iL(0-) S1IS(S)+C1u1(0)U2(S)= IS(S)+C1u1(0)+ C2u2(0) iL(0)S1 22(s) (S) 12(s) (S) 12(s)

19、 (S)U2(S)= IS(S)+ 12(s)C1u1(0)+ 22(s)C2u2(0) 22(s) iL(0)S1 (S)U1+R1R2+IS(S)R3SL+SC1 1SC2 1SU1(0)SU2(0)LiL(0)U2 12(s) (S)U2(S)= IS(S)+ 12(s)C1U1(0)+ 22(s)C2U2(0) 22(s) iL(0)S1 (S)零状态响应的拉氏变换零输入响应的拉氏变换全响应的拉氏变换7-3 网络函数7-3-1 定义与分类1、网络函数定义零状态响应的拉氏变换输入的拉氏变换网络函数H(S)=11-2-3 运算电路，电阻性网络各种解法的适用性 讨论:是网络函数的一般定义 对

20、正弦稳态电路中定义的网络函数如何理解(2)讨论网络函数的意义H(S)与h(t)的关系网络或系统的稳定性与对应正弦稳态响应的关系11-3 网络函数11-3-1 定义与分类零状态响应的拉氏变换输入的拉氏变换网络函数H(S)=H(S) H(j)H (j)=UR.U.+-U.RjC1jL+-UR.+-RSC1SL+-U(S)UR(S)H (S)=UR(S)U(S)RR+SL+ SC1=jCRR+jL+ 1=与对应正弦稳态响应的关系H(S) H(j) u2(t) iS(t)S1S+212( )S1S+24H(S)= = =u2(t)=14.1sin(2t45)11-3 网络函数11-3-1 定义与分类

21、例 N0为线性定常松弛网络。在端口1施加电流源iS(t)=1(t)A 时，端口2电压的零状态响应为u2(t)=2 1(t) (1e2t )V 。 如果将电流源波形改为iS(t)=10sin2t A，求稳态响应u2(t) 。+iS(t)N0Ru2(t)1122U2=H(j2)IS= 10=14.1 45 2+j2 42、网络函数的分类(1) 策（驱）动点函数 输入和输出在同一端口（或支路）Zin(S)= U1(S)I1(S)Yin(S)=I1(S)U1(S)(分别具有阻抗导纳的量纲)Zin(S)=1/ Yin(S)+N0Z2(S)U2(S)I1(S)I2(S)+U1(S)11-3 网络函数11-

22、3-1 定义与分类HV(S)=U2(S)U1(S)(转移电压比)HI(S)=I1(S)I2(S)(转移电流比)(2) 传输(传递、转移)函数 输入和输出不在同一端口（或支路）Z21(S)=U2(S)I1(S)(转移阻抗)Y21(S)=U1(S)I2(S)(转移导纳)2、网络函数的分类+N0Z2(S)U2(S)I1(S)I2(S)+U1(S)11-3 网络函数11-3-1 定义与分类11-3-2 网络函数的确定121R( +2SC)U1 Ui=012R= SCU2U12R1R(2SC + )U2 SCU0 =0H(S)= =U0(S)Ui(S)4R2C2S21 例 求如图所示电路的传递函数H(S

23、)= ，并求对 应的冲激响应。 U0(S)Ui(S)u0ui-+2CR2R2RCC2SC1SC1SC1Ui(S)U0(S)h(t)=1H(S)= t1(t)14R2C2Zin=11Yin=112 - 13 Z21=Y21=11Z212 - 13 HV=1112 - 13 Z2HI=12 - 13 11-3-2 网络函数的确定+N0Z2(S)U2(S)I1(S)I2(S)+U1(S)231Yn(S)E(S) =InS(S)InS(S)= I1(S) 0 0TE1(S)= I1(S)11E2(S)= I1(S)12E3(S)= I1(S)1311-3-3 网络函数的一般性质网络函数是复频率变量S的

24、实系数有理函数H(S)= F1(S)F2(S)(Szi )i=1m(Spj )j=1n=H0网络函数的零点和极点Zin=11Yin=112 - 13 Z21=Y21=11Z212 - 13 HV=1112 - 13 Z2HI=12 - 13 bmSm + bm-1Sm1 + +b1S+b0 anSn + an-1Sn1 + +a1S+an =H(S)=85.1 S(S+2)(S+4)(S+1j4)(S+1+j4)H(S)=85.1 S(S+2) (S+4)(S2+2S+17)11-3-3 网络函数的一般性质2mSeS134j4j4011-3-4 零点、极点和频率响应频率响应的概念根据网络函数零

25、点和极点的分布定性讨论频率响应H(S)=85.1 S(S+2)(S+4)(S+1j4)(S+1+j4)例|H(j)|幅频特性（幅值函数）H(j)相频特性（相位函数）11-3-4 零点、极点和频率响应结论：(2) 在靠近一个零点的角频率附近，幅频 特性出现局部的最小值，同时在此角 频率附近，相频特性变化也最快。(1) 在靠近一个极点的角频率附近，幅频 特性可望出现局部的最大值，同时在 此角频率附近，相频特性变化也最快。l282.963.445d1d2H(j4)=85.1 l1 l2 d1 d2 d3 H(j4)= 85.1j4(j4+2)(j4+4)(j4+1j4)(j4+1+j4)H(S)=8

26、5.1 S(S+2)(S+4)(S+1j4)(S+1+j4)例l1d3mSeS1234j4j4045845322 890+45Z21(j2)=k =k 90 4 324528k=212= 90Z21(S)=2 S(S+2)(S+4) 2 + 4Z21(S)=k S(S+2)(S+4j2) (S+4+j2)+i1(t)N0U2(t) 例 图示网络，转移阻抗函数Z21(S)=U2(S)/I1(S)的零极点 分布如图,已知Z21(j2)=j0.5，求: 1) Z21(S); 2) 若i1=5sin4t ,求稳态电压u2(t)。mSeS1234j20mSeS1234j40tg-122020tg-10.

27、5)tg-11.5)52u2(t) =5.55sin(4t+70)=1.1170 Z21(S)=2 S(S+2)(S+4) 2 + 42) 若i1=5sin4t ,求稳态电压u2(t)。+i1(t)N0U2(t)Z21(j4)=24 2090+tg1220 52tg10.5 + tg11.5 11-3-5 极点和网络的稳定性1、网络稳定性的概念考虑零输入响应y(t)=kieSiti=1nam + an-1 + +a1 + a0y dny dn1y dy dtn dtn1 dt=bm + bm-1 + +b1 + b0 x dmx dm1x dx dtm dtm1 dt若微分方程对应的特征方程无

28、重根，则11-3 网络函数若微分方程对应的特征方程包含p阶重根Sp，则 y(t)=kie +(kp1+kp2t+ kpptp1)eSiti=1npSpt11-3-5 极点和网络的稳定性11-3 网络函数网络变量的固有频率网络的固有频率1、网络稳定性的概念y(t)=kieSiti=1n1) 如果全部固有频率位于复平面的开左半平面, 即 eSi0或 ktcos(dt+)这时零输入响应中包含 对于上述第一、二两种情况，网络是渐近稳定的；而对于第三种情况，网络是不稳定的。11-3-5 极点和网络的稳定性1、网络稳定性的概念1) 如果全部固有频率位于复平面的开左半平面则 t y(t)=0 2) 除位于开

29、左半平面的固有频率外, 还含有在虚数 轴上的单阶固有频率则 t y(t)=kcos(dt+)3) 固有频率中有的位于开右半平面, 或虚数轴上的多 阶固有频率则 t y(t) 无界 可见，说一个网络稳定与否，是从固有频率来考虑的，而固有频率又是与零输入响应相联系的。这和与零状态响应相联系的网络函数又有什么关系呢？2、网络的固有频率与网络函数极点的关系H(S) (Szi )i=1m(Spj )j=1n=H0=kjej=1npjt 冲激响应h(t)= 1H(S)11-3-5 极点和网络的稳定性 特定初始条件下的零输入响应11-3 网络函数结论：网络函数的任一极点是对应网络变量的固有频率， 反之，网络

30、变量的固有频率不一定是对应网络函 数的极点。 一个网络稳定的必要条件是，该网络中任一网络函数的极点必须都位于复平面的开左半平面，或是虚数轴上的单极点。11-3-5 极点和网络的稳定性H(S) (Szi )i=1m(Spj )j=1n=H0=kjej=1npjt 冲激响应h(t)= 1H(S) 特定初始条件下的零输入响应11-3 网络函数例11H11FiSuC+(1) 求网络函数H(S)=UC(S)/ IS(S)； (2) 设uC(0-)和iL(0-)，求零输入响 应uC；(3) 讨论网络函数极点与对应网络 变量固有频率的关系。UC(S)(1) H(S)=IS(S)S+2+S+1S1S1= S2+2S+1S+1= = S+111是H(S)的一个极点，也是uC的一个固有频率。11-3 网络函数11S1/SIS(S)UC(S)+S1uc(0-)Suc(0-)S+iL(0-)S1S+2+(2) UC(S)= iL(0-)1UC+SuC