线性方程组习题解答

1、所以，方程组的通解为所以，方程组的通解为所以，方程组的通解为所以，方程组的通解为习题33-1求下列齐次线性方程组的通解：x-y+2z=0（1）0-2-7、3-7-8,、0-4-14,1-12、027=B(阶梯形矩阵)H00丿(1-121f10艺02%01%=C（行最简形矩阵）(000J000与原方程组同解的齐次线性方程组为11x+z211x=-z其中z其中z是自由未知量），7y=一一z2令z=1，得到方程组的一个基础解系1177=（-,-恳）T,22k=k(-芈2,1)t,k为任意常数.厶厶x+x+2x+2x+7x=012345(2)S2x+3x+4x+5x=012343x+5x+6x+8x=

2、01234A=234513568(112270101-1400007丿(102121解对系数矩阵施行行初等变换，得(11227(11227101冷0101-140丿10202-21丿=B(阶梯形矩阵)(1021001010=C(行最简形矩阵),00001丿与原方程组同解的齐次线性方程组为x+2x+x=0134x+x=0,24x=05即x=-2x一x34x=-x(其中x,x是自由未知量),434x=05令(x3,x4)T=(10)T,QI”，得到方程组的一个基础解系g=(-2,0,1,0,0)T，g=(-1,-1,0,1,0)T，12x4x4kg+kg=k(2,0,1

3、,0,0)t+k(-l,-l,O,l,O)T,k,k为任意常数.11221212x+x一3x一x=Ol245x一x+2x一x=O(3)1234.4x一2x+6x+3x一4x=Ol23452x+4x一2x+4x一7x=Ol2345解对系数矩阵施行行初等变换，得一3A=一A=一2一4一2一2一7丿一3一3一“一一2B（阶梯形矩阵）=C（行最简形矩阵）,与原方程组同解的齐次线性方程组为-x=O,65=O7x=-x+xTOC o 1-5 h z3655彳x=x+：x（其中x,x是自由未知量），365351x=x435令（x,x）T二（1,0）T,（0,1）T，得到方程组的一个基础解系35751g二（-

4、1,1,1,0,0）T，g二（01）T，2663所以，方程组的通解为751kg+kg二k（-1,1,1,0,0）t+k（：,0,亍1）t，k,k为任意常数.2212663123-2.当九取何值时，方程组4x+3y+z=心3x-4y+7z=x+7y-6z=&有非零解？解原方程组等价于（4-九）x+3y+z=03x-（4+九）y+7z=0,x+7y-（6+九）z=0上述齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是它的系数行列式4-九313-4-九7=0,17-6-九即九（九2+6九75）=0，从而当九=0和九=-3土2迈1时方程组有非零解.3-3.求解下列非齐次线性方程组：TOC o 1-5 h zx一

5、2x+x+x=11234(1)100011=C,00000丿与原方程组同解的齐次线性方程组为x一2x+x=0123,Ix=1，4即fx=2x一xI123(其中x,x为自由未知量)，4令(7叮T=(O,0)T，得到非齐次方程组的一个解耳=(0,0,0,1)T，0对应的齐次方程组(即导出方程组)为fx=2x一xI123(其中x,x为自由未知量)，Ix=0234令(x2,x3)T=(10)T，(0，1)T，得到对应齐次方程组的一个基础解系匕=(2,1,0,0)T，匕=(一1,0,1,0)T,12方程组的通解为n=n+kkg=(0,0,0,1)t+k(2,1,0,0)t+k(-1,0,1,0)t,01

6、12212其中k,k为任意常数.12TOC o 1-5 h z2x-x+3x-x=112343x-2x-2x+3x=3(2)1234x-x-5x+4x=212347x-5x-9x+10 x=81234解对增广矩阵A施行行初等变换-13-11-1-54-2-233I0113-9-1-542|10000-5-9108丿10000231113-9-3II=C,00000II000TOC o 1-5 h z与原方程组同解的齐次线性方程组为x+8x5x=134,x+13x9x=-334即(其中x3,x4为自由未知量),x=1(其中x3,x4为自由未知量),34x=313x+9x34令(x,x)T=(0,

7、0)T，得到非齐次方程组的一个解34耳=(-1,-3,0,0)t,0对应的齐次方程组(即导出方程组)为(其中&x4为自由未知量),x=-8x(其中&x4为自由未知量),34令(x,x)T二(1,O)T,(O,1)T，得到对应齐次方程组的一个基础解系34g二(-8,-13,1,0)t,g二(5,-9,0,1)t,12方程组的通解为耳二耳+kg+kg二(-1,-3,0,0)t+k(-&13,1,0)t+k(5,-9,0,1)t,其中勺k2为任意常数.x+x3x=11232x+x一2x=1123x+2x一3x=1123x+x+x=100123解对增广矩阵A施行行初等变换-3-2-3-11110-11

8、01-3101丿(11-3-2-3-11110-1101-3101丿(11-3-11r11-3-1101-4-3T01-4-3004500451004101丿00096丿111110000所以方程组无解.因为r(A)二4丰r(A)二3，3-4.讨论下述线性方程组中，九取何值时有解、无解、有惟一解？并在有解时求出其解(九+3)x+x+2x=XTOC o 1-5 h z123Xx+(九一1)x+x=X.1233(X+1)x+Xx+(X+3)x=3123解方程组的系数行列式为九+31|A|=九九一1九+31|A|=九九一13(九+1)九21=九2(九1).九+3(1)当|A|丰0时，即k丰0且九H1

9、时，方程组有惟一解.(2)当|A|=0时，即九=0或九=1时,当九=0时，原方程组为3x+x+2x=023x+x=0，33x+3x=313显然无解当九=1时，原方程组为4x+x+2x=1123x+x=1，136x+x+4x=31234121r1011A=1011T01236143丿0000对该方程组的增广矩阵A施行行初等变换因为r(A)=r(A)=23，所以方程组有无穷多组解,与原方程组同解的方程组为x+x=113，x2x=323即x=1x13x=3+2x23(其中x3为自由未知量),令x3=0，得到非齐次方程组的一个解耳=(1,3,0)T，0对应的齐次方程组(即导出方程组)为x=x13(其中

10、x为自由未知量)，x=2x323得到对应齐次方程组的一个基础解系二(1,2,1)t,方程组的通解为二(1,3,0)t+k(1,2,1)t，其中k为任意常数.(2(23(24c+c11203丿1丿3-5.写出一个以x=为通解的齐次线性方程组解由已知，g=(2,3,1,0)t和g=(2,4,0,1)t是齐次线性方程组12AX=O的基础解系，即齐次线性方程组AX=O的基础解系所含解向量的个数为2,而未知数的个数为4,所以齐次线性方程组AX=O的系数矩阵A的秩为42=2，故可设系数矩阵由AX二由AX二(aaaaA=11121314,aaaa21222324O可知a=(a,a,a,a)和a1111213

11、142(22、(x,x,x,x)34O,12341001丿=g，Ja23,叮满足方程组22x一3x+x=0即方程组Ja3AI2x+4x+x=01方程组的系数矩阵(23的线性无关的两个解即为2，124该方程组等价于2x=4x-3x134(其中x,x为自由未知量),TOC o 1-5 h zx=xx34234令(x,x)T=(1,O)T,(O,1)T，得到该齐次方程组的一个基础解系43a=(一2，-1，1，0”，:(l,O,l)T，110、101122厂一2故要求的齐次线性方程组为110、1012即2xx+x0TOC o 1-5 h z1233.xx+x021243-6.设线性方程组ax+axHa

12、x01111221nnax+axHFax0m11m22mnn的解都是bx+bx+bx0的解，试证卩(b,b，,b)T是向量组1122nn12na(a,a，,a)t,a(a,a，,a)t,a(a,a，,a)的11112In221222nmm1m2mn线性组合.证把该线性方程组记为(*),由已知，方程组(*)的解都是b1x1+b2x2+bnxn=0的解，所以方程组（*）与方程组ax+ax+ax01111221nnax+ax+ax0m11m22mnnbx+bx+bx0V1122nn同解，从而有相同的基础解系，于是二者有相同的秩，则它们系数矩阵的行向量组a,a，,a和a,a，,a,P的秩相同，故卩可由

13、a,a，,a线性表示.12m12m12m3-7试证明：r(AB)二r(B)的充分必要条件是齐次线性方程组ABX=O的解都是BX=0的解.证必要性.因为r(AB)=r(B)，只须证ABX=0与BX=O的基础解系相同.ABX=O与BX=O的基础解系都含有n-r(B)个线性无关的解向量又因为BX=O的解都是ABX=O得解所以BX=O的基础解系也是ABX=O的基础解系即ABX=O与BX=O有完全相同的解所以ABX=O的解都是BX=O的解.充分性.因ABX=O的解都是BX=O的解，而BX=O的解都是ABX=O的解，故ABX=O与BX=O有完全相同的解，则基础解系也完全相同，故nr(AB)=nr(B)，所

14、以r(AB)=r(B).3-8证明r(A)二1的充分必要条件是存在非零列向量a及非零行向量bT，使证充分性.若存在列向量a=证充分性.若存在列向量a=厂a1a2及行向量bT=(b1b)，其中na,b不全为零i二1,m，j二1,n，则有ZjA=abT=a1aA=abT=a1a2(bb)=nabiab1ab12ab22abnabnabm1abm2显然矩阵A的各行元素对应成比例，所以r(A)二1.必要性.若r(A)=1，则A经过一系列的初等变换可化为标准形100、TOC o 1-5 h z000D= HYPERLINK l bookmark4 o Current Document J000丿而矩阵D

15、可以表示为(100(1000=0000丿0丿D=(1,0,0),则存在可逆矩阵P,Q使得PjAQ=D，从而A=PDQA=PDQ-1=P01(10,0)Q-i,其中P,Q-i均可逆,记（1a=P.,bT=（1,0,0）Q-i,0丿又因为P可逆，则P至少有一行元素不全为零，故列向量a的分量不全为零，同理，因为Q-1可逆，所以行向量bT的分量不全为零.因此，存在非零列向量a及非零行向量b，使A=abT.补充题B3-1.设A是mxn矩阵，AX=O是非其次线性方程组AX=b所对应齐次线性方程组，则下列结论正确的是（D）.（A）若AX=O仅有零解，则AX=B有惟一解；（B）若AX=O有非零解，则AX=B有

16、无穷多个解；（C）若AX=B有无穷多个解，则AX=O仅有零解；(D)若ax二b有无穷多个解，则ax二0有非零解.B3-2设A为n阶实矩阵，AT是A的转置矩阵，则对于线性方程组AX二0；ATAX=O,必有(D).(II)的解是(I)的解，(I)的解也是(II)的解；(II)的解是(I)的解，但(I)的解不是(II)的解；(I)的解不是(II)的解，(II)的解也不是(I)的解；(I)的解是(II)的解，但(II)的解不是(I)的解.B3-3.设线性方程组AX=B有n个未知量，m个方程组，且r(A)=r，则此方程组(A).(A)r二m时，有解；(B)r二n时，有惟一解；(C)m二n时，有惟一解；(

17、D)rn时，有无穷多解.B3-4.讨论九取何值时，下述方程组有解，并求解：Xx+y+z=1x+Xy+z=X.x+y+Xz=X2解(法一)方程组的系数行列式X11|A|=1X1=(X1)2(X+2)，11X当|A|丰0时，即xh1且X2时，方程组有惟一解X+11(X+1)2X=y=z=X+2X+2X+2.当|A|=0时，即九=1或九=2时(i)当X=1时，原方程组为x+y+z=1，因为r(A)=r(A)=1，所以方程组有无穷多组解，其通解为耳二耳+kg+kg二（1,0,0）t+k（1,1,0）t+k（1,0,1）t,0112212其中k,k为任意常数.12（ii）当九=_2时，原方程组为2x+y

18、+z=1x2y+z=2,x+y2z=421111112411212T01121124丿00015丿对该方程组的增广矩阵A施行行初等变换A=因为r(A)=2丰r(A)=3，所以方程组无解.解(法二)对该方程组的增广矩阵A施行行初等变换h1111q1hh21A=1h1九1h1九11h九2丿九111丿11九九2、T0九一11九九一九201九1九21九3丿11九九2、T0九一11九九一九2002九一九21+九一九2九3T0T0九一11九九一九2、00（九一1）（九+2）（九一1）（九+1）2丿(1)当h丰1且九H2时，r(A)=r(A)=3，方程组有惟一解xx（九+1）2X+2.当九=1时，r(A)二

19、r(A)二1，方程组有无穷多组解，其通解为耳二耳+kg+kg二(1,0,0)t+k(1,1,0)t+k(1,0,1”,0112212其中k,k为任意常数.12当九=-2时，由B知，r(A)二2丰r(A)二3，所以方程组无解.B3-5.若n，耳，耳是某齐次线性方程组的一个基础解系，证明：123n+n,n+n,n+n也是该方程组的一个基础解系TOC o 1-5 h z122331证设有三个数k,k,k使得123k(n+n)+k(n+n)+k(n+n)二o,112223331则有(k+k)n+(k+k)n+(k+k)n0,131122233因为n,n,n是某齐次线性方程组的一个基础解系，所以n,n,

20、n线性无关，故123123飞+k013k+k0,12k+k023该方程组的系数行列式1011102丰0,011所以该方程组只有零解.即kkk0.即n+n,n+n,n+n线性无关.123122331又由齐次线性方程组的性质知n+n,n+n,n+n都是方程组的解所以122331n+n,n+n,n+n构成方程组的一个基础解系122331B3-6设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知g,g,g是它的三123个解向量,且r21卩132g=，g+g=142335丿4丿求该方程组的通解解因为n=4,r=3，故原方程组的导出组的基础解系含有n-r=1个解向量,所以只须找出其导出组的一个非零解向量即可由

21、解的性质知，g-g,g-g均为导出组的解，所以1213(g1-g2)+(g1-g3)二2gi-(g2+g3)为导出组的解，即2gi-(g2+)为导出组的解故原方程组的通解为r21r313+k4456丿，k为任意常数B3-7.设g*是非齐次线性方程组AX二B的一个解，耳，耳，耳是它对应12n-r的齐次线性方程组的一个基础解系，证明：g*,n,n，,n线性无关；12n-rg*,g*+n,g*+n,g*+n线性无关.12n-r证(i)反证法.设g*,n,n，,n线性相关，由n,n，,n是对应12n-r12n-r的齐次线性方程组的一个基础解系知n,n，,n线性无关，故g*可由12n-rn,n，,n线性表示，即*是对应的齐次线性方程组的解，与题设矛盾.故12nrg*，W2,，nnr线性无关证（2）反证法.设g*,g*+耳,g*+耳,g*+耳线性相关，则存在不全12nr为零的数k0,（，,knr，使得kg*