新高考复习作业17：恒成立与有解问题【解析】

1、高三年数学科-限时作业新高考复习作业17恒成立与有解问题班级:姓名： 实际用时:分钟 得分:1.函数/(x)=mevx2.(1)假设 2=1,求曲线y=r)在(0,10)处的切线方程；(2)假设关于x的不等式x)2x(4根e，)在0,+8)上恒成立，求实数机的取值范围.解：(1)当加=1 时，./U) = e%2,那么/ (x) = eA-2x.所以/0)=L且斜率=/ (0)=1.故所求切线方程为y1=居 即xy+l=0.(2)由加e1%2 2x(4一 机e)得 mev(x +1)+4x.(x4x 故问题转化为当%20时，心屋I Jmax.g(x)=1(x+iy “I”/ (x+2X/+2x

2、-2)川 g W= (叶1)2炉，x-0，由 g (x) =。及 x0，得 1.当e(0,小一 1)时,gr (x)0, g(x)单调递增；当不(/一1, +8)时，g，a)vo, g(x)单调递减.所以当了=小一1时，g(X)max = g(S1) = 21%尸.所以 m2el yp.即实数机的取值范围为QeL，5, +8).设函数/(x) = ln x+，(a为常数).(1)讨论函数7U)的单调性;不等式在x(0,l上恒成立，求实数Q的取值范围.zj 1 ya解：(1加处的定义域为(0, +), / (X)=-2+-=- /V/V 人当 qWO 时，又 x0, .x-a09 :(x)0,r

3、)在定义域(0, +8)上单调递增；当。0时，假设，那么/ (x)0,JU)单调递增；假设 0XQ,那么 fr (x)0时，)在区间(0,。)上单调递减，在区间3，+8)上单调递增.(2加工)三 1 + In x，1 台In x+10a2 xln x+x 对任意 x (01恒成立.令 g(x)= xlnx+x, %G(0,l.贝I / (x)= In xx+1 = In xO, x(0, g(x)在(0上单调递增，g(x)max = g( 1) = 1, ，心1,故。的取值范围为1, +).函数,外处二%2一lnx.(1)当4=2时，试判断函数/U)的单调性；(2)当。0时，假设对任意的x(9

4、, +8), x)九2_恒成立，求的取值范围.2 2(x2 1)解：(1)当。=2 时，犬光)=f21nx(x0),因为/ (x) = 2x=-:：.X X所以令/ (x)0 得 X1;令/ (x)vo 得 0 x/一e+。即 e，(l+lnx),因为 %(9, +,所以 l+lnx0, 所以当。0时，对任意+ aTT一恒成立.e 71 +ln xe”(、e，(l+lnx-令 g(%)=+ln、+8)，贝g(#= (l+lnx)2 ，令/z(x)=l+lnx显然7i(x)在(9, +8)上单调递增，由于 /z(l)=l+ln 1 1 =0,所以当:xvl 时，/i(x)0, gf (x)l 时

5、，/z(x)0, / (x)0,所以函数g(X)在(，1)上单调递减，在(1, +8)上单调递增，所以 g(x)Ng(l)=e,所以 0tzl),设 g(x)=lInx(xl),解：(1).7(幻=/31),/(X)= (xl1)2111 设 g(x)=lInx(xl),1Inxxa尸(i)2 Q(1)=芦一；=中。，g(x)在(1，+8)上为减函数，.ga1Inxxa尸(i)2 QX L(2)lnxvQ1)在(1,+8)上恒成立01nxa(x1)0,以划为增函数，/i(x)/z(l)=O,显然不满足条件.假设21,那么 x(l, +8)时，今(%)=一一vO 恒成立, X/. /(%) =

6、In 犬一a(x 1)在(1, + 8)上为减函数，/. In %(x l)/z(l)=O 在(1, +8)上恒成立，.Inxa(x1)在(1,+8)上恒成立，满足题意.假设 0a 假设 0a0,/z(x) = ln xa(x 1)在(晨 J)上为增函数，此时/z(x) = lnl)/z(l)=O,不能使Inxa(x1)在/z(x) = ln xa(x 1综上，存在实数且5.q为实数，函数/(x) = Hn x+一4x.(1)假设1=3是函数次光)的一个极值点，求实数a的值；1 1(2)设g(x) = (a2)x,假设存在口 e，使得“r()Wg(xo)成立，求头数。的取值范围.解：(1)函数

7、人九)的定义域为(0, +8(W=+2xW=+2x4=W=+2x4=W=+2x4=2a24x+axVx=3是函数/(x)的一个极值点，(3)=0,解得。=6.经检验，当 =-6时，x=3是函数段)的一个极小值点，符合题意，故。=一6.由 /(X0)Wg(xo),得(M)In M)。焉一2x(),x 1记 F(x)=xIn x(x0),那么/(x) =(x0),当0X1时,F, (x)0, F(x)单调递增.、xo2xo.6a)2F(i)=i。，.心言而记 记 G(x) =记 G(x) 记 G(x) =x2-2xxIn x那么Gf(x) =(2x2)(xIn x) (x2)(x 1)(x-In

8、那么Gf(x) =(x- l)(x21n x+2) (%In x)21 _Vx , e , A221nx=2(l Inx)0,.*.x21n x+20,.当11)时，G (x)0在元(0, e上恒成立；(2)假设以处=尊+乎+*是否存在实数。，使得g(x)在x(0, e的最小值是3,假设存在, 求。的值；假设不存在，请说明理由.Y解：证明：当 =1时,因为於)0等价于x2(x+l)ln%一夕0,又九(0, e,匕匕 21 In x . 1所以%In x一+小令/z(x)=xIn%, hf (x)=l, 0rl,所以当 0 xl 时，h (x) = 1 0,此时力(九) JCX单调递减；当l0时，此时/(%)单调递增.所以/iQ)的极小值人(1)=1.人 In x 1,1-In x令 F(x)=一F (%)= 丁一，所以当OaWe时，Fr (x)0, F(x)在(0, e上单调递增.所以/(幻0 =尸上)=9+30在(0, e上恒成立.(2)因 为 於)=加一(1+ l)lnx宗 所以华=axln工一生一)，所以In x,假设存在实数m使得g(x)在x(0, e的最小值是3,因为g1 ax 1 (x)-a=V 7 X 因为g当aWO时，g (x)0,所以g(x)在x(0, e上单调递减,4所以g(x)min=g(e) = ae1=3,解得。=公不