概率论与数理统计：Ch4 随机变量的数字特征

1、第四章随机变量的数字特征4.2 方差1.方差定义2.常见分布的方差3.方差的性质定义4.3 设 是一个随机变量, 称为 的方差, 而称 为 的标准差.的数学期望;计算时常用公式注 方差本质上是随机变量 的函数 方差计算公式推导:常用分布的方差 离散型随机变量1. 分布 :2.二项分布 :3.泊松分布 计算泊松分布的方差. 已知而 连续型随机变量1.均匀分布 :2.指数分布 :3.正态分布 :均匀分布方差计算:正态分布方差计算:而且 , 则 .例22 设随机变量 服从区间 上的均匀分布, 解 因 , 由 , 知即 , 故例23 设随机变量 的概率密度函数为求 . 记 , 则 , 所以方差的性质定

2、理4.3 设 及 都是常数, ;反之, 如果某个随机变量 的方差为零,那么 , 其中 ; ; 当 与 相互独立时; 性质和可以推广到任意有限个随机变量上去. 如: 设随机变量 相互独立, 则例24 利用性质求二项分布的方差.解 因 , 可将 视为 个 分布的和, 即:其中 , 且相互独立, 由方差性质得:例 25 设 相互独立, , 求解 由独立性和已知分布知由 相互独立, 可知 相互独立, 又所以例 26 设 相互独立, , 求求 的密度函数.解 由期望和方差的性质及题设条件知 又由正态分布的可加性, 知 因此相应的密度函数为例27 设随机变量 与 相互独立且均服从 ,求 的期望和方差.解

3、由条件知随机变量 的联合密度函数为 再由随机变量函数的期望公式:所以由极坐标 服从区域 上的均匀分布, 求 的例28 设 , 随机变量期望和方差.解 随机变量 的联合密度函数为 其余.所以所以 对随机变量做如下变换:令 , 则称 为 的中心化随机变量.令 , 则 是一个无量纲的随机变量.称 为 的标准化随机变量.4.3 协方差与相关系数1.协方差定义2.协方差的性质3.相关系数定义4.相关系数的性质 1.协方差定义定义4.4 设 是一个随机向量, 称为 与 的协方差, 记为 .注: ; 协方差的计算公式方差的性质中当 与 相互独立时, 有 协方差计算公式推导:例29 设 与 的联合密度函数为试

4、求 .解 由例13知: 所以:例30 设 与 的联合概率函数为 求 .解 由前面的例子知从而 2.协方差性质 ; ; ; .例31 设随机变量 相互独立, 且都服从参数为1的指数分布, 求协方差解 由协方差性质得到 3.相关系数定义 定义4.5 设 是随机向量, 当时, 称为 与 的相关系数.注: 例32 求例13, 例14中的相关系数.解 的联合密度函数为且已知又故所以 与 的联合概率函数为且已知又所以例33 设随机变量 和 满足 求相关系数 .解 由又故所以 若随机变量 和 满足 , 则它们的相关系数定理4.5 （相关系数的性质） 当 时, 的充分必要条件是:存在不为零的常数 与常数 ,

5、使得注 性质表明, 当 时, 与 之间以 概率1成立线性关系.当 时, 称 与 正当 时, 称 与 负线性相关.线性相关; 与 之间的线性联系的程度随着 的减小而减弱. 特别地有下面定义:定义4.6 当 时, 称 与 不相关.注: 此时 或 或定理4.6 如果 与 相互独立, 那么 与 必定不相关;反之不然（见下例）.而其逆否命题一定成立, 即如果 与 相关, 则它们一定不独立.例34 设随机变量 的分布为又 ,试证: 与 不独立且互不相关.证 由条件知所以又所以即 与 不相关.又而可见故 与 不独立.例35 设又 试求:解 由已知条件得 又故 从而由此得即例36 二维正态分布中 与 的相关系

6、数 由此得定理4.7 如果 服从二维正态分布, 则 与 相互独立等价于 与 不相关.4.44.5 其它数字特征与两个不等式 1.矩 设 是随机变量, 称 为随机变量 的 阶原点矩;由定义可知, 期望是一阶原点矩, 方差是二阶中心矩.称 为 的 阶中心矩.（ 为正整数） 2.协方差矩阵 设 为随机向量, 称为 的协方差矩阵. 称 为 的期望向量. 称为 维随机向量 的协方差矩阵. 为相应的期望向量. 3.分位数 当 时, 对于任何一个随机变量, 如果实数 满足那么, 称 是随机变量 的 分位数, 记作 , 当时, 称 为中位数. 对于连续型随机变量, 上述条件等价于 由定义 知, 例37 写出二维正态分布的协方差矩阵. 解 设随机变量 则协方差矩阵为定理4.8 （切比雪夫不等式） 设 是任意一个随机变量, 则对任意正数 , 有 或等价地例38 设 , 求 ;估计 的下界.解 因 , 故