概率论与数理统计：第二章 离散型随机变量(1,2)

1、第二章离散型随机变量及其分布第一、二节2.1 随机变量 许多随机试验的结果与实数密切联系, 也有些随机试验结果从表面上看并不与实数相联系. 下面我们通过实例对这二种不同的情况来引进随机变量的概念.例1 设有同类产品100件, 其中5件次品、95件正品. 现从中任取20件产品, 问抽到的次品数是多少？ “次品数”的值在试验前无法给出确定的数值, 但是对于每一次的抽取结果, 次品数又是完全确定的, 是由试验的结果来决定取什么值, 不同的结果对应不同的取值. 因此次品数是一个变量，称之为随机变量. 本例中, 记次品数为 , 则 可能取值为0, 1, 2, 3, 4, 5. 因此我们说:1.许多随机试

2、验的结果（即随机事件）都与实数密切相连. 进一步的例子:例2 抛一枚骰子出现的点数. 我们看到样本空间可以量化为一个数集:我们可以用变量 表示出现的点数, 就是一个随机变量.例3 重贝努利试验中可以用变量 表示事件 发生的次数. 在这类随机试验中样本空间表现为一个数集, 或者说可以用一个数来表示样本空间中的样本点, 用数集来表示样本空间. 还存在许多随机试验, 它们的试验结果从表面上看并不与实数相联系.例4 抛一枚硬币, 其结果为出现正面向上, 出现反面向上. 样本空间不是一个数集. 但是我们可以人为地把试验结果和实数对应起来. 令 从数学上看, 上述对应关系犹如一个函数, 即对于样对于样本空

3、间本身就是一个数集的试验, 我们可以理解本空间 中任意一个元素 , 它对应的函数值为 ; 成是个恒等函数: , 对一切（比对上述几个例子）定义2.1 给定一个随机试验, 是它的样本空间, 如果 对 中的每一个样本点 , 有一个实数 与之对 应, 那么就把这个定义域为 的单值实值函数 称为是（一维）随机变量. 一般用大写字母 表示随机变量. 把随机变量 的值域记做 , 则 引进随机变量后, 随机事件及其概率可以通过随机变量来表达. 例1中, 表示抽取的20件产品中的次品数, 抽到的20件产品中恰有三件是次品 例2中, 表示抛一枚骰子出现的点数, 出现奇数点则 例4中, 表示抛一枚硬币出现的两种情

4、况, 出现正面向上 则 一般地, 对实数轴上任意一个集合 , 如果 对应的样本点构成一个事件, 即那么便用 来表示事件 , 用 来表示事件 的概率 .引进随机变量后, 目的是通过随机变量来研究随机现象. 站在实验前的立场, 我们不知道实验结果将出现中的哪个样本点, 即不知道随机变量将会取 中的哪个值. 因此随机变量的取值是随机的, 随机变量的取值的规律性也就反应了随机现象的统计规律性. 结论: 引进随机变量（本质上是一个函数）, 借助微积分等熟悉工具来研究随机变量取值的统计规律性. 描述这种规律性的各种表示形式称为分布.2.2 概率函数定义2.2 如果一个随机变量只可能取有限个值或可列无限个值

5、, 那么称这个随机变量为（一维）离散型随机变量. 离散型随机变量的分布表现形式称为概率函数.定义2.3 设 且 其中 满足:那么称表达式 为随机变量 的概率函数或概率分布（律）. 随机变量的分布律或概率函数常用表格表示.其中概率为0的不再罗列.例5 设随机变量 有概率函数求常数 .解 由级数求和公式, 再由性质:例6 设某射击选手的命中率为0.6, 他击中目标12次便停止射击. 以 表示相应的射击次数, 求 的概率函数. 解 若射击次数为 , 则意味着第 次击中, 而前面的 次射击中, 总共击中11次, 由二项概率计算公式:例7 将3个球随机放入4个盒子中（假定盒子充分大），求没有球的盒子的个

6、数 的分布律.解 空盒数 的取值为若只有一个空盒子,相应的概率为同理,即, 分布律为例8 抛掷一枚不均匀的硬币, 出现正面的概率为设 为一直掷到正面、反面都出现时所需要的次数, 求 的概率函数.解 事件 包含两种情形, 从第一次出现正面开始一直到第 次都是正面, 而最后一次出现反面;或者一开始出现反面一直到最后一次出现正面, 故例9 从一批含有10件正品、3件次品的产品中一件件地抽取, 设每次取样时各产品被抽到的可能性相同, 在下列三种情况下, 分别求出“直到取得正品为止所需抽样次数” 的概率分布:有放回抽样; 无放回抽样;每次取出一个产品后总是放回一件正品.解 的可能取值为 , 则 因取后不放回, 所以 的最大取值为 ,因取后放回正品, 所以 的最大取值为 ,例10 已知甲、乙两箱中装有同种产品, 其中甲箱中装有3件合格品, 3件次品; 乙箱中仅装有3件合格品. 今从甲箱中任取3件产品放入乙箱, 求:乙箱中次品数 的概率函数;从乙箱中任取一件产品是次品的概率.解 乙箱中的次品数即为从甲箱中取到的次品数, 因此, 概率函数为设 表示从乙箱