曲线积分与曲面积分知识点

1、第十章曲线积分与曲面积分一、重点两类曲面积分及两类曲面积分的计算和格林公式、高斯公式的应用二、难点对曲面侧的理解，把对坐标的曲面积分化成二重积分，利用格林公式求非闭曲线上的第二类曲线积分，及利用高斯公式计算非闭曲面上的第二类曲面积分。111曲线（面）积分的定义：（1）（1）第一类曲线积分Jf（x,y）dslimf（匚，）S（存在时）L九*i，ozS表示第i个小弧段的长度，（E，）是S上的任一点小弧段的最大长度。iiii实际意义：当f（x,y）表示L的线密度时，Jf（x，y）ds表示L的质量;当f（x,y）三1时，JdsLL表示L的弧长，当f（x,y）表示位于L上的柱面在点（x,y）处的高时，J

2、f（x，y）dsL表示此柱面的面积。（2）（2）第二类曲线积分JPdx+QdylimP（匚，）x+Q（E，）y（存在时）iiiiiiL入tO.,i，1实际意义：设变力F=P（x,y）i+Q（x,y）j将质点从点A沿曲线L移动到学点，则,作的功为：W，JF-dS，JPdx+Qdy，其中dS=（dx,dy）事实上，JPdx，JQdy分别TOC o 1-5 h zLLLL是F在沿X轴方向及Y轴方向所作的功。（3）（3）第一类曲面积分JJf（x,y,z）dslimf（g，匚）S（存在时）Xt0iii1 HYPERLINK l bookmark34i，1S表示第i个小块曲面的面积，（E，,:）为S上的任

3、一点，九是n块小曲iii面的最大直径。实际意义：J!f（x,y,z）ds表示曲面的质量，当当f（x,y，z）表示曲面上点（x,y,zJ!f（x,y,z）ds表示曲面的质量，当（4）（4）第二类曲面积分JJPdydz+Qdzdx+RdxdylimP（E，,匚）（S）+Q（E，,匚）（S）+R（E，,匚）（S）TOC o 1-5 h z=Xtoiiiiyziiiizxiiiixyi，1（存在时）其中（S），（S），（S）分别表示将任意分为n块小曲面后第I块Siyzizxixyi在yoz面，zox面，xoy面上的投影，dydz,dzdx，dxdy分别表示这三种投影元素；（E，:）为S上的任一点，X是

4、n块小曲面的最大直径。iiii实际意义：设变力V（x，y,z）=P（x,y,z）i+Q（x,y,z）j+R（x,y,z）k为通过曲面的流体（稳定流动且不可压缩）在上的点（x,y,z）处的速度。则=JJVdS=JJPdydz，Qdzdx,Rdxdy表示在单位时间内从的一侧流向指定的另一侧的流量2、曲线（面）积分的性质两类积分均有与重积分类似的性质（1）（1）被积函数中的常数因子可提到积分号的外面（2）（2）对积分弧段（积分曲面）都具有可加性（3）（3）代数和的积分等与积分的代数和第二类曲线（面）积分有下面的特性，即第二类曲线（面）积分与曲线（面）方向(侧)有关JPdx,Qdy=-JPdx,Qdy

5、JJPdydz，Qdzdx,Rdxdy=-JJPdydz+Qdzdx+Rdxdy-3、曲线（面）积分的计算（1）（1）曲线积分的计算a、a、依据积分曲线L的参数方程，将被积表达式中的变量用参数表示b、b、第一（二）类曲线积分化为定积分时用参数的最小值（起点处的参数值）作为积分下限（2）（2）曲面积分的计算方法1、1、第一类曲面积分的计算a将积分曲面投向使投影面积非零的坐标面b将的方程先化成为投影面上两变量的显函数，再将此显函数代替被积表达式中的另一变量。C将ds换成投影面上用直角坐标系中面积元素表示的曲面面积元素2、2、第二类曲面积分的计算a将积分曲面投向指定的坐标面b同1c依的指定的侧决定二

6、重积分前的“+”或“-”4、格林公式、高斯公式和斯托克斯公式)dxdy（1）（1）格林公式)dxdyJPdx+Qdy=L其中P、Q在闭区域D上有一阶连续偏导数，L是D的正向边界曲线。若闭区域D为复连通闭区域，P、Q在D上有一阶连续偏导数，则SxSyi=1LiDi=1iSxSyi=1LiDi=1i其中L(=1,2n)均是D的正向边界曲线。i(2)(2)高斯公式JJPdydz，Qdzdx,Rdxdy=JJJ,竺，竺)dxdydz其中P、Q、R在闭区域Q上有一阶连续偏导数，是Q的边界曲面的外侧（3）dydzJU3)dzdxS斯托克斯公式SyQdxdy1=JPdx,Qdy,Rdzr其中P、Q、R在包含

7、曲面在内的空间区域内具有一阶连续偏导数，是以r为边界的分片光滑曲面，的正向与Y的侧向符合右手规则。5、平面上曲线积分与路径无关的条件设P、Q在开单连同区域G内有一阶连续偏导数，A、B为G内任意两点，则以下命题等价：(1),Pdx+Qdy与路径L无关LAB(2)对于G内任意闭曲线L,JPdx+Qdy0 xLP在G内处处成立y(4)在G内，Pdx+Qdy为某函数U(x,y)的全微分6、通量与散度、环流量与旋度设向量A(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k则通量(或流量)=JJA-nds其中n=(cosa,cosP,cosY)为Y上点(x,y,z)处的单位法向量。

8、散度对坐标的曲面积分与Y的形状无关的充要条件是散kzRTOC o 1-5 h z对坐标的曲面积分与Y的形状无关的充要条件是散kzRdivA=+xy HYPERLINK l bookmark20度为零。ij旋度rotAyPQ环流量向量场A沿有向闭曲线的环流量为,Pdx+Qdy+RdzA-tds四、四、难点解析本章中对S在xoy面上的投影(S)为xy”(”),cosY“0 xy(S)=(”),cosY0 xyxy0,cosY三0其中cosY为有向曲面S上各点处的法向量与Z轴的夹角余弦。(”)为s在xoyxy上投影区域的面积。此规定直接决定了将一个第二类曲面积分化为二重积分时正负号的选择，此规定貌似

9、复杂，但其最基本的思想却非常简单：即基于用正负数来表示具有相反意义的量。比如，当温度高于零度时用正数表示，当温度低于零度使用负数表示。从引进第二类曲线积分的例子看是为了求稳定流动的不可压缩的流体流向指定侧的流量。如果我们用正数来表示流体流向指定侧的流量，很自然，当流体流向指定侧的反向时用负数表示就显得合情合理了。因此上面的规定就显得非常自然合理了。五、五、典型例题x2+y2+z2R2例1、计算1Ix2ds:圆周x+y+z0解：由轮换对成性，得y2dsI，y2dsI，z2ds=丄x2+y2+z2ds二1R2ds=2R3rr3r3r3y3x3x2+y2,a2为成平面区域D,计算J一dx+dyL33

10、dx+dy=(格林公式)(x2+y2)dxdy=42doar2-rdr=a433002例3、求z2dxdy,其中X为曲面x2+y2+z2，a2的外侧。I，x2ds=r例2、设L：解:-=LSX1S2x2+y2a2解法二、利用高斯公式z2dxdy=解法一、将Y分为上半球面Y1:z，a2-x2-y2和下半球面E:z，-a2-x2-y2，+,a2一x2SX1S2x2+y2a2解法二、利用高斯公式z2dxdy=(0+0+2z)dxdydz=0(对称性)x2+y2+z2a2例4、求曲线y=x2,y2，2x及y2，x所围成的图形的面积。解：求曲线的交点B(l,1),C(32,34)法一、定积分法则所求面积

11、为A=1(y2-2-)dy+J34(y-罕)dy=；+6=10202663法二、二重积分法设所给曲线围成的闭区域为D.则A=do=1y2dx+J34dyydx=1(y2-)dy+34(y-)dy=10护o乎o2丿o丿2丿3D22法三、曲线积分法设所给曲线围成的图形的边界曲线为L,则A=xdy=xdy+xdy+xdy=1y2dy+J34ydy+0ydyTOC o 1-5 h zLOBBCCO013421221=_+(-)=_3333例5、计算Jydx+xdy，L：从点A(-R,0)到点B(R,0)的上半圆周x2+y2，R2。L解：法一用曲线积分与路径无关Q_PQP因为，1，在xoy面上恒成立，且

12、半及p在xoy面上连续，所以曲线积分xyxyydx+xdy与路径无关。于是ydx+xdy=ydx+xdy=R0dx=0LAB-R法二、用曲线积分与路径无关,则ydx+xdy=0(其中C(0,R)ACBA法三、用曲线积分与路径无关,则ydx+xdy=(R,0)ydx+xdy=(R,0)d(xy)=xy(R,0)=0L(-R,0)(-R,0)(-R,0)法四、用格林公式QPQP因为且及p在闭曲线ACBA上围成的闭区域D上连续。故由格林公式xyxyydx+xdy=)dxdy=0ACBA，x，y于是ydx+xdy=0-ydx+xdy=0LBA法五、用定积分计算，则L的参数方程为x_RCOf，L的起点A

13、对应与0=兀，综点对应于0=0，于是0Rsin0-(-Rsin0)0Rsin0-(-Rsin0)+Rcos0-Rcos0d0兀R20cos29d0兀L1R2sin200=02冗例六、计算对坐标的曲面积分JJ(yz)dydz+(zx)dzdx+(xy)dxdy其中是z2=x2+y2(0zh)的下侧解：设为平面Z=h被锥面z2=x2+y2所围成部分的上侧。则(yz)dydz+(zx)dzdx+(xy)dxdy=JJJ(学+$+攣)dxdydzTOC o 1-5 h z,x,y，z HYPERLINK l bookmark261+Q=JJJ(0+0+0)dxdydz=0又(yz)dydz+(zx)d

14、zdx+(xy)dxdy=(xy)dxdy=(xy)dxdy=0 HYPERLINK l bookmark2811Dxy所以原式=0-0=01+*)L为xoy面内直线x=a上的一段，则JP(x-y)dx=L设A=(x2+yz)i+(y2+xz)j+(z2xy)k，则divA=(x+y+2z)dydz+(3y+z)dzdx+(z3)dxdy=2、3、4、其中2:平面x=0,y=0,z=0,x=l,y=2,z=3所围成的立体的表面外侧。二、选择题(4x5分)1、1、设A=P(x,y)i+Q(x,y)j，(x,y)eD,且P、Q在区域D内具有一阶连续偏导数，又L：AB是D内任一曲线，则以下4个命题中

15、，错误的是若Pdx+Qdy与路径无关，则在D1、l,x,y若A-ds与路径无关，则在D内必有单值函数u(x,y),使得Ldu(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dyC若在D内=三，则必有Ads与路径无关,x,ylLL2、若对D内有一必曲线C,恒有JPdx+Qdy=0,贝Pdx+Qdy与路径无关L已知(x+ay)dx+ydy为某函数的全微分，则a等于2、A3、-13、(x+y)2B0;C1;D2;设曲线积分Jxy2dx+yQ(x)dy与路径无关，其中Q(x)具有连续得到数，且,(1,1)xy2dx+yQ(x)dy则(0,0)等于38；4、设空间区域由曲面za2-x2-y2平面z=0围成，其中a为正常数，记的表面外侧为S,的体积为V34；D1；A0;B三、三、计算(6x10)则口x2yz2dydz-xy2z2dzdx+z(1+xyz)dxdy=V;C2V;D3V;1、x2+y2+zR