2023年北京市高考数学试卷(理科)5

1、第20页共20页2023年北京市高考数学试卷理科一、选择题共8小题，每题5分，共40分。在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。15分集合A=x|x|2，B=2，0，1，2，那么AB=A0，1B1，0，1C2，0，1，2D1，0，1，225分在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限35分执行如下图的程序框图，输出的s值为ABCD45分“十二平均律是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的开展做出了重要奉献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比

2、都等于假设第一个单音的频率为f，那么第八个单音的频率为AfBfCfDf55分某四棱锥的三视图如下图，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A1B2C3D465分设，均为单位向量，那么“|3|=|3+|是“的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件75分在平面直角坐标系中，记d为点Pcos，sin到直线xmy2=0的距离当、m变化时，d的最大值为A1B2C3D485分设集合A=x，y|xy1，ax+y4，xay2，那么A对任意实数a，2，1AB对任意实数a，2，1AC当且仅当a0时，2，1AD当且仅当a时，2，1A二、填空题共6小题，每题5分，共30分。95分设a

3、n是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，那么an的通项公式为105分在极坐标系中，直线cos+sin=aa0与圆=2cos相切，那么a=115分设函数fx=cosx0，假设fxf对任意的实数x都成立，那么的最小值为125分假设x，y满足x+1y2x，那么2yx的最小值是135分能说明“假设fxf0对任意的x0，2都成立，那么fx在0，2上是增函数为假命题的一个函数是145分椭圆M：+=1ab0，双曲线N：=1假设双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，那么椭圆M的离心率为；双曲线N的离心率为三、解答题共6小题，共80分。解容许写出文字说明，演算步骤或

4、证明过程。1513分在ABC中，a=7，b=8，cosB=求A；求AC边上的高1614分如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，CC1平面ABC，D，E，F，G分别为AA1，AC，A1C1，BB1的中点，AB=BC=，AC=AA1=2求证：AC平面BEF；求二面角BCDC1的余弦值；证明：直线FG与平面BCD相交1712分电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值假设所有电影是否获得好评相互独立从电

5、影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等用“k=1表示第k类电影得到人们喜欢“k=0表示第k类电影没有得到人们喜欢k=1，2，3，4，5，6写出方差D1，D2，D3，D4，D5，D6的大小关系1813分设函数fx=ax24a+1x+4a+3ex假设曲线y=fx在点1，f1处的切线与x轴平行，求a；假设fx在x=2处取得极小值，求a的取值范围1914分抛物线C：y2=2px经过点P1，2，过点Q0，1的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，

6、B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N求直线l的斜率的取值范围；设O为原点，=，=，求证：+为定值2014分设n为正整数，集合A=|=t1，t2，tn，tk0，1，k=1，2，n，对于集合A中的任意元素=x1，x2，xn和=y1，y2，yn，记M，=x1+y1|x1y1|+x2+y2|x2y2|+xn+yn|xnyn|当n=3时，假设=1，1，0，=0，1，1，求M，和M，的值；当n=4时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素，当，相同时，M，是奇数；当，不同时，M，是偶数求集合B中元素个数的最大值；给定不小于2的n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同的元素，M，=0，

7、写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由2023年北京市高考数学试卷理科参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每题5分，共40分。在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。15分集合A=x|x|2，B=2，0，1，2，那么AB=A0，1B1，0，1C2，0，1，2D1，0，1，2【分析】根据集合的根本运算进行计算即可【解答】解：A=x|x|2=x|2x2，B=2，0，1，2，那么AB=0，1，应选：A【点评】此题主要考查集合的根本运算，根据集合交集的定义是解决此题的关键比拟根底25分在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】利用复数的除法运

8、算法那么，化简求解即可【解答】解：复数=，共轭复数对应点的坐标，在第四象限应选：D【点评】此题考查复数的代数形式的乘除运算，复数的几何意义，是根本知识的考查35分执行如下图的程序框图，输出的s值为ABCD【分析】直接利用程序框图的应用求出结果【解答】解：在执行第一次循环时，k=1，S=1在执行第一次循环时，S=1=由于k=23，所以执行下一次循环S=，k=3，直接输出S=，应选：B【点评】此题考查的知识要点：程序框图和循环结构的应用45分“十二平均律是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的开展做出了重要奉献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音

9、，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于假设第一个单音的频率为f，那么第八个单音的频率为AfBfCfDf【分析】利用等比数列的通项公式，转化求解即可【解答】解：从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于假设第一个单音的频率为f，那么第八个单音的频率为：=应选：D【点评】此题考查等比数列的通项公式的求法，考查计算能力55分某四棱锥的三视图如下图，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A1B2C3D4【分析】画出三视图的直观图，判断各个面的三角形的情况，即可推出结果【解答】解：四棱锥的三视图对应的直观图为：PA底面ABCD，AC=，CD=，PC=3，

10、PD=2，可得三角形PCD不是直角三角形所以侧面中有3个直角三角形，分别为：PAB，PBC，PAD应选：C【点评】此题考查简单几何体的三视图的应用，是根本知识的考查65分设，均为单位向量，那么“|3|=|3+|是“的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】根据向量数量积的应用，结合充分条件和必要条件的对应进行判断即可【解答】解：“|3|=|3+|平方得|2+9|26=9|2+|2+6，即1+96=9+1+6，即12=0，那么=0，即，那么“|3|=|3+|是“的充要条件，应选：C【点评】此题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合向量数量积的公式进行转化是

11、解决此题的关键75分在平面直角坐标系中，记d为点Pcos，sin到直线xmy2=0的距离当、m变化时，d的最大值为A1B2C3D4【分析】由题意d=，当sin+=1时，dmax=1+3由此能求出d的最大值【解答】解：由题意d=，tan=，当sin+=1时，dmax=1+3d的最大值为3应选：C【点评】此题考查点到直线的距离的最大值的求法，考查点到直线的距离公式、三角函数性质等根底知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题85分设集合A=x，y|xy1，ax+y4，xay2，那么A对任意实数a，2，1AB对任意实数a，2，1AC当且仅当a0时，2，1AD当且仅当a时，2，1A【分析】利

12、用a的取值，反例判断2，1A是否成立即可【解答】解：当a=1时，集合A=x，y|xy1，ax+y4，xay2=x，y|xy1，x+y4，x+y2，显然2，1不满足，x+y4，x+y2，所以A，C不正确；当a=4，集合A=x，y|xy1，ax+y4，xay2=x，y|xy1，4x+y4，x4y2，显然2，1在可行域内，满足不等式，所以B不正确；应选：D【点评】此题考查线性规划的解容许用，利用特殊点以及特殊值转化求解，防止可行域的画法，简洁明了二、填空题共6小题，每题5分，共30分。95分设an是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，那么an的通项公式为an=6n3【分析】利用等差数列通项公式列

13、出方程组，求出a1=3，d=6，由此能求出an的通项公式【解答】解：an是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，解得a1=3，d=6，an=a1+n1d=3+n16=6n3an的通项公式为an=6n3故答案为：an=6n3【点评】此题考查等差数列的通项公式的求法，考查等差数列的性质等根底知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是根底题105分在极坐标系中，直线cos+sin=aa0与圆=2cos相切，那么a=1+【分析】首先把曲线和直线的极坐标方程转化成直角坐标方程，进一步利用圆心到直线的距离等于半径求出结果【解答】解：圆=2cos，转化成：2=2cos，进一步转化成直角坐标方程为：x1

14、2+y2=1，把直线cos+sin=a的方程转化成直角坐标方程为：x+ya=0由于直线和圆相切，所以：利用圆心到直线的距离等于半径那么：=1，解得：a=1a0那么负值舍去故：a=1+故答案为：1+【点评】此题考查的知识要点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线与圆相切的充要条件的应用115分设函数fx=cosx0，假设fxf对任意的实数x都成立，那么的最小值为【分析】利用条件推出函数的最大值，然后列出关系式求解即可【解答】解：函数fx=cosx0，假设fxf对任意的实数x都成立，可得：，kZ，解得=，kZ，0那么的最小值为：故答案为：【点评】此题考查三角函数的最值的求法与应用，考查转化思想以及

15、计算能力125分假设x，y满足x+1y2x，那么2yx的最小值是3【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z=2yx，那么y=x+z，平移y=x+z，由图象知当直线y=x+z经过点A时，直线的截距最小，此时z最小，由得，即A1，2，此时z=221=3，故答案为：3【点评】此题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义以及数形结合是解决此题的关键135分能说明“假设fxf0对任意的x0，2都成立，那么fx在0，2上是增函数为假命题的一个函数是fx=sinx【分析】此题答案不唯一，符合要求即可【解答】解：例如fx=si

16、nx，尽管fxf0对任意的x0，2都成立，当x0，上为增函数，在，2为减函数，故答案为：fx=sinx【点评】此题考查了函数的单调性，属于根底题145分椭圆M：+=1ab0，双曲线N：=1假设双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，那么椭圆M的离心率为；双曲线N的离心率为2【分析】利用条件求出正六边形的顶点坐标，代入椭圆方程，求出椭圆的离心率；利用渐近线的夹角求解双曲线的离心率即可【解答】解：椭圆M：+=1ab0，双曲线N：=1假设双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，可得椭圆的焦点坐标c，0，正六边形的一个顶点

17、，可得：，可得，可得e48e2+4=0，e0，1，解得e=同时，双曲线的渐近线的斜率为，即，可得：，即，可得双曲线的离心率为e=2故答案为：；2【点评】此题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力三、解答题共6小题，共80分。解容许写出文字说明，演算步骤或证明过程。1513分在ABC中，a=7，b=8，cosB=求A；求AC边上的高【分析】由正弦定理结合大边对大角进行求解即可利用余弦定理求出c的值，结合三角函数的高与斜边的关系进行求解即可【解答】解：ab，AB，即A是锐角，cosB=，sinB=，由正弦定理得=得sinA=，那么A=由余弦定理得b2=a2+c22accosB，即64=4

18、9+c2+27c，即c2+2c15=0，得c3c+5=0，得c=3或c=5舍，那么AC边上的高h=csinA=3=【点评】此题主要考查解三角形的应用，利用正弦定理以及余弦定理建立方程关系是解决此题的关键1614分如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，CC1平面ABC，D，E，F，G分别为AA1，AC，A1C1，BB1的中点，AB=BC=，AC=AA1=2求证：AC平面BEF；求二面角BCDC1的余弦值；证明：直线FG与平面BCD相交【分析】I证明ACBE，ACEF即可得出AC平面BEF；II建立坐标系，求出平面BCD的法向量，通过计算与的夹角得出二面角的大小；III计算与的数量积即可得出结论【解

19、答】I证明：E，F分别是AC，A1C1的中点，EFCC1，CC1平面ABC，EF平面ABC，又AC平面ABC，EFAC，AB=BC，E是AC的中点，BEAC，又BEEF=E，BE平面BEF，EF平面BEF，AC平面BEFII解：以E为原点，以EB，EC，EF为坐标轴建立空间直角坐标系如下图：那么B2，0，0，C0，1，0，D0，1，1，=2，1，0，=0，2，1，设平面BCD的法向量为=x，y，z，那么，即，令y=2可得=1，2，4，又EB平面ACC1A1，=2，0，0为平面CDC1的一个法向量，cos，=由图形可知二面角BCDC1为钝二面角，二面角BCDC1的余弦值为III证明：F0，0，2

20、，2，0，1，=2，0，1，=2+04=20，与不垂直，FG与平面BCD不平行，又FG平面BCD，FG与平面BCD相交【点评】此题考查了线面垂直的判定，二面角的计算与空间向量的应用，属于中档题1712分电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值假设所有电影是否获得好评相互独立从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计

21、恰有1部获得好评的概率；假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等用“k=1表示第k类电影得到人们喜欢“k=0表示第k类电影没有得到人们喜欢k=1，2，3，4，5，6写出方差D1，D2，D3，D4，D5，D6的大小关系【分析】先求出总数，再求出第四类电影中获得好评的电影的部数，利用古典概型概率计算公式直接求解设事件B表示“从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，恰有1部获得好评，第四类获得好评的有50部，第五类获得好评的有160部，由此能求出从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率由题意知，定义随机变量如下：k=，那么k服从两点分布，分别求出六类电

22、影的分布列及方差由此能写出方差D1，D2，D3，D4，D5，D6的大小关系【解答】解：设事件A表示“从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影，总的电影部数为140+50+300+200+800+510=2000部，第四类电影中获得好评的电影有：2000.25=50部，从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的频率为：PA=0.025设事件B表示“从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，恰有1部获得好评，第四类获得好评的有：2000.25=50部，第五类获得好评的有：8000.2=160部，那么从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估

23、计恰有1部获得好评的概率：PB=0.35由题意知，定义随机变量如下：k=，那么k服从两点分布，那么六类电影的分布列及方差计算如下：第一类电影： 1 1 0 P 0.4 0.6E1=10.4+00.6=0.4，D1=10.420.4+00.420.6=0.24第二类电影： 2 1 0 P 0.2 0.8E2=10.2+00.8=0.2，D2=10.220.2+00.220.8=0.16第三类电影： 3 1 0 P 0.15 0.85E3=10.15+00.85=0.15，D3=10.1520.15+00.8520.85=0.1275第四类电影： 4 1 0 P 0.25 0.75E4=10.25

24、+00.75=0.15，D4=10.2520.25+00.7520.75=0.1875第五类电影： 5 1 0 P 0.2 0.8E5=10.2+00.8=0.2，D5=10.220.2+00.220.8=0.16第六类电影： 6 1 0 P 0.1 0.9E6=10.1+00.9=0.1，D5=10.120.1+00.120.9=0.09方差D1，D2，D3，D4，D5，D6的大小关系为：D6D3D2=D5D4D1【点评】此题考查概率的求法，考查离散型随机变量的方差的求法，考查古典概型、两点分布等根底知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题1813分设函数fx=ax24a+1x+

25、4a+3ex假设曲线y=fx在点1，f1处的切线与x轴平行，求a；假设fx在x=2处取得极小值，求a的取值范围【分析】求得fx的导数，由导数的几何意义可得f1=0，解方程可得a的值；求得fx的导数，注意分解因式，讨论a=0，a=，a，0a，a0，由极小值的定义，即可得到所求a的范围【解答】解：函数fx=ax24a+1x+4a+3ex的导数为fx=ax22a+1x+2ex由题意可得曲线y=fx在点1，f1处的切线斜率为0，可得a2a1+2e=0，解得a=1；fx的导数为fx=ax22a+1x+2ex=x2ax1ex，假设a=0那么x2时，fx0，fx递增；x2，fx0，fx递减x=2处fx取得极

26、大值，不符题意；假设a0，且a=，那么fx=x22ex0，fx递增，无极值；假设a，那么2，fx在，2递减；在2，+，递增，可得fx在x=2处取得极小值；假设0a，那么2，fx在2，递减；在，+，2递增，可得fx在x=2处取得极大值，不符题意；假设a0，那么2，fx在，2递增；在2，+，递减，可得fx在x=2处取得极大值，不符题意综上可得，a的范围是，+【点评】此题考查导数的运用：求切线的斜率和极值，考查分类讨论思想方法，以及运算能力，属于中档题1914分抛物线C：y2=2px经过点P1，2，过点Q0，1的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N求直线l

27、的斜率的取值范围；设O为原点，=，=，求证：+为定值【分析】将P代入抛物线方程，即可求得p的值，设直线AB的方程，代入椭圆方程，由0，即可求得k的取值范围；根据向量的共线定理即可求得=1yM，=1yN，求得直线PA的方程，令x=0，求得M点坐标，同理求得N点坐标，根据韦达定理即可求得+为定值【解答】解：抛物线C：y2=2px经过点P1，2，4=2p，解得p=2，设过点0，1的直线方程为y=kx+1，设Ax1，y1，Bx2，y2联立方程组可得，消y可得k2x2+2k4x+1=0，=2k424k20，且k0解得k1，且k0，x1+x2=，x1x2=，故直线l的斜率的取值范围，00，1；证明：设点M0，yM，N0，yN，那么=0，yM1，=0，1因为=，所以yM1=yM1，故=1yM，同理=1yN，直线PA的方程为y2=x1=x1=x1，令x=0，得yM=，同理可得yN=，因为+=+=+=2，+=2，+为定值【点评】此题考查抛物线的方程，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的应用，考查转化思想，计算能力，