2023年北京市高考数学试卷(理科)

1、第17页共17页2023年北京市高考数学试卷理科一、选择题共8小题，每题5分，总分值40分15分在复平面内，复数z=i1+2i对应的点位于A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限25分向量=1，0，=0，1，=k+kR，=，如果，那么Ak=1且c与d同向Bk=1且c与d反向Ck=1且c与d同向Dk=1且c与d反向35分为了得到函数y=lg的图象，只需把函数y=lg x的图象上所有的点A向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度45分假设正四棱柱ABCDA1

2、B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60角，那么A1C1到底面ABCD的距离为AB1CD55分“=+2kkZ是“cos2=的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件65分假设1+5=a+ba，b为有理数，那么a+b=A45B55C70D8075分用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为A324B328C360D64885分点P在直线l：y=x1上，假设存在过P的直线交抛物线y=x2于A，B两点，且|PA|=|AB|，那么称点P为“点，那么以下结论中正确的是A直线l上的所有点都是“点B直线l上仅有有限个点是“点C直线l上的所有点都

3、不是“点D直线l上有无穷多个点点不是所有的点是“点二、填空题共6小题，每题5分，总分值30分95分=105分假设实数x，y满足那么s=yx的最小值为115分设fx是偶函数，假设曲线y=fx在点1，f1处的切线的斜率为1，那么该曲线在1，f1处的切线的斜率为125分椭圆+=1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，假设|PF1|=4，那么|PF2|=，F1PF2的大小为135分假设函数那么不等式的解集为145分an满足：a4n3=1，a4n1=0，a2n=an，nN*那么a2023=；a2023=三、解答题共6小题，总分值80分1513分在ABC中，角A，B，C的对边分别为，求sinC的值；求ABC的

4、面积1614分如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，PA=AB，ABC=60，BCA=90，点D、E分别在棱PB、PC上，且DEBC1求证：BC平面PAC；2当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值；3是否存在点E使得二面角ADEP为直二面角？并说明理由1713分某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望1813分设函数fx=xekxk0求曲线y=fx在点0，f0处的切线方程；求函数fx的

5、单调区间；假设函数fx在区间1，1内单调递增，求k的取值范围1914分双曲线C：=1a0，b0的离心率为，右准线方程为x=I求双曲线C的方程；设直线l是圆O：x2+y2=2上动点Px0，y0 x0y00处的切线，l与双曲线C交于不同的两点A，B，证明AOB的大小为定值2013分数集A=a1，a2，an1a1a2an，n2具有性质P；对任意的i，j1ijn，aiaj与两数中至少有一个属于AI分别判断数集1，3，4与1，2，3，6是否具有性质P，并说明理由；证明：a1=1，且；证明：当n=5时，a1，a2，a3，a4，a5成等比数列2023年北京市高考数学试卷理科参考答案与试题解析一、选择题共8小

6、题，每题5分，总分值40分15分2023北京在复平面内，复数z=i1+2i对应的点位于A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】按多项式乘法运算法那么展开，化简为a+bia，bR的形式，即可确定复数z所在象限【解答】解：z=i1+2i=i+2i=2+i，复数z所对应的点为2，1，应选B25分2023北京向量=1，0，=0，1，=k+kR，=，如果，那么Ak=1且c与d同向Bk=1且c与d反向Ck=1且c与d同向Dk=1且c与d反向【分析】根据所给的选项特点，检验k=1是否满足条件，再检验k=1是否满足条件，从而选出应选的选项【解答】解：=1，0，=0，1，假设k=1，那么=+=1，1，=

7、1，1，显然，与不平行，排除A、B假设k=1，那么=+=1，1，=1，1，即 且与反向，排除C，应选 D35分2023北京为了得到函数y=lg的图象，只需把函数y=lg x的图象上所有的点A向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度【分析】先根据对数函数的运算法那么对函数进行化简，即可选出答案【解答】解：，只需把函数y=lgx的图象上所有的点向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度应选C45分2023北京假设正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为

8、1，AB1与底面ABCD成60角，那么A1C1到底面ABCD的距离为AB1CD【分析】画出图象，利用线段的关系，角的三角函数，求解即可【解答】解：依题意，BB1的长度即A1C1到上面ABCD的距离，B1AB=60，BB1=1tan60=，应选：D55分2023北京“=+2kkZ是“cos2=的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】此题主要考查三角函数的根本概念、简易逻辑中充要条件的判断属于根底知识、根本运算的考查将a=+2k代入cos2a易得cos2a=成立，但cos2a=时，a=+2kkZ却不一定成立，根据充要条件的定义，即可得到结论【解答】解：当a

9、=+2kkZ时，cos2a=cos4k+=cos=反之，当cos2a=时，有2a=2k+a=k+kZ，或2a=2ka=kkZ，应选A65分2023北京假设1+5=a+ba，b为有理数，那么a+b=A45B55C70D80【分析】利用二项式定理求出展开式，利用组合数公式求出各二项式系数，化简展开式求出a，b，求出a+b【解答】解析：由二项式定理得：1+5=1+C51+C522+C533+C544+C555=1+5+20+20+20+4=41+29，a=41，b=29，a+b=70应选C75分2023北京用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为A324B328C360D648【

10、分析】此题要分类来解，当尾数为2、4、6、8时，个位有4种选法，因百位不能为0，所以百位有8种，个位有8种，写出结果数，当尾数为0时，百位有9种选法，十位有8种结果，写出结果，根据分类计数原理得到共有的结果数【解答】解：由题意知此题要分类来解，当尾数为2、4、6、8时，个位有4种选法，因百位不能为0，所以百位有8种，十位有8种，共有884=256 当尾数为0时，百位有9种选法，十位有8种结果，共有981=72 根据分类计数原理知共有256+72=328应选B85分2023北京点P在直线l：y=x1上，假设存在过P的直线交抛物线y=x2于A，B两点，且|PA|=|AB|，那么称点P为“点，那么以

11、下结论中正确的是A直线l上的所有点都是“点B直线l上仅有有限个点是“点C直线l上的所有点都不是“点D直线l上有无穷多个点点不是所有的点是“点【分析】根据题设方程分别设出A，P的坐标，进而B的坐标可表示出，把A，B的坐标代入抛物线方程联立消去y，求得判别式大于0恒成立，可推断出方程有解，进而可推断出直线l上的所有点都符合【解答】解：设Am，n，Px，x1那么，B2mx，2nx+1A，B在y=x2上n=m2，2nx+1=2mx2消去n，整理得关于x的方程 x24m1 x+2m21=0=8m28m+50恒成立，方程恒有实数解，应选A二、填空题共6小题，每题5分，总分值30分95分2023北京=【分析

12、】通过因式分解把原式转化为=，消除零因子后得到，由此能够得到的值【解答】解：=故答案为：105分2023北京假设实数x，y满足那么s=yx的最小值为6【分析】画可行域如图目标函数s为该直线纵截距平移目标函数可知直线过4，2点时s有最小值【解答】解：画可行域如图阴影局部，令s=0作直线l：yx=0平移l过点A4，2时s有最小值6，故答案为6115分2023北京设fx是偶函数，假设曲线y=fx在点1，f1处的切线的斜率为1，那么该曲线在1，f1处的切线的斜率为1【分析】偶函数关于y轴对称，结合图象，根据对称性即可解决此题【解答】解；取fx=x21，如图，易得该曲线在1，f1处的切线的斜率为1故应填

13、1125分2023北京椭圆+=1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，假设|PF1|=4，那么|PF2|=2，F1PF2的大小为120【分析】第一问用定义法，由|PF1|+|PF2|=6，且|PF1|=4，易得|PF2|；第二问如下列图：角所在三角形三边已求得，用余弦定理求解【解答】解：|PF1|+|PF2|=2a=6，|PF2|=6|PF1|=2在F1PF2中，cosF1PF2=，F1PF2=120故答案为：2；120135分2023北京假设函数那么不等式的解集为3，1【分析】先由分段函数的定义域选择解析式，构造不等式，再由分式不等式的解法和绝对值不等式的解法分别求解，最后两种结果取并集【解答】

14、解：由由不等式的解集为x|3x1，故答案为：3，1145分2023北京an满足：a4n3=1，a4n1=0，a2n=an，nN*那么a2023=1；a2023=0【分析】由a4n3=1，a4n1=0，a2n=an，知第一项为哪一项1，第二项是1，第三项是0，第2023项的2023可写为50343，故第2023项是1，第2023项等于1007项，而1007=25241，所以第2023项是0【解答】解：2023=50343，a2023=1，a2023=a1007，1007=25241，a2023=0，故答案为：1，0三、解答题共6小题，总分值80分1513分2023北京在ABC中，角A，B，C的对

15、边分别为，求sinC的值；求ABC的面积【分析】由cosA=得到A为锐角且利用同角三角函数间的根本关系求出sinA的值，根据三角形的内角和定理得到C=A，然后将C的值代入sinC，利用两角差的正弦函数公式化简后，将sinA和cosA代入即可求出值；要求三角形的面积，根据面积公式S=absinC和可知公式里边的a不知道，所以利用正弦定理求出a即可【解答】解：A、B、C为ABC的内角，且0，A为锐角，那么sinA=sinC=sinA=cosA+sinA=；由知sinA=，sinC=，又，在ABC中，由正弦定理，得a=，ABC的面积S=absinC=1614分2023北京如图，在三棱锥PABC中，P

16、A底面ABC，PA=AB，ABC=60，BCA=90，点D、E分别在棱PB、PC上，且DEBC1求证：BC平面PAC；2当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值；3是否存在点E使得二面角ADEP为直二面角？并说明理由【分析】1欲证BC平面PAC，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BC与平面PAC内两相交直线垂直，根据线面垂直的性质可知PABC，而ACBC，满足定理所需条件；2根据DE平面PAC，垂足为点E，那么DAE是AD与平面PAC所成的角在RtADE中，求出AD与平面PAC所成角即可；3根据DEAE，DEPE，由二面角的平面角的定义可知AEP为二面角ADEP的平面角，而P

17、AAC，那么在棱PC上存在一点E，使得AEPC，从而存在点E使得二面角ADEP是直二面角【解答】解：1PA底面ABC，PABC又BCA=90，ACBC，BC平面PAC2D为PB的中点，DEBC，DE=BC又由1知，BC平面PAC，DE平面PAC，垂足为点E，DAE是AD与平面PAC所成的角PA底面ABC，PAAB又PA=AB，ABP为等腰直角三角形，AD=AB在RtABC中，ABC=60，BC=AB，在RtADE中，sinDAE=，即AD与平面PAC所成角的正弦值为3DEBC，又由1知，BC平面PAC，DE平面PAC又AE平面PAC，PE平面PBC，DEAE，DEPE，AEP为二面角ADEP的

18、平面角PA底面ABC，PAAC，PAC=90，在棱PC上存在一点E，使得AEPC这时，AEP=90，故存在点E使得二面角ADEP是直二面角1713分2023北京某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望【分析】1由题意知在各路口是否遇到红灯是相互独立的，所以这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯是相互独立事件同时发生的概率，根据公式得到结果2由题意知变量的可能取值，根据所给的条件可知此

19、题符合独立重复试验，根据独立重复试验公式得到变量的分布列，算出期望【解答】解：设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯，事件A的概率为由题意可得可能取的值为0，2，4，6，8单位：min事件“=2k等价于事件“该学生在路上遇到k次红灯k=0，1，2，3，4，即的分布列是 02468P的期望是1813分2023北京设函数fx=xekxk0求曲线y=fx在点0，f0处的切线方程；求函数fx的单调区间；假设函数fx在区间1，1内单调递增，求k的取值范围【分析】I欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数

20、求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率从而问题解决II先求出fx的导数，根据fx0求得的区间是单调增区间，fx0求得的区间是单调减区间即可；III由知，假设k0，那么当且仅当1时，函数fx1，1内单调递增，假设k0，那么当且仅当1时，函数fx1，1内单调递增，由此即可求k的取值范围【解答】解：fx=1+kxekx，f0=1，f0=0，曲线y=fx在点0，f0处的切线方程为y=x；由fx=1+kxekx=0，得x=k0，假设k0，那么当x，时，fx0，函数fx单调递减，当x，+，时，fx0，函数fx单调递增，假设k0，那么当x，时，fx0，函数fx单调递增，当x，+，时

21、，fx0，函数fx单调递减；由知，假设k0，那么当且仅当1，即k1时，函数fx1，1内单调递增，假设k0，那么当且仅当1，即k1时，函数fx1，1内单调递增，综上可知，函数fx1，1内单调递增时，k的取值范围是1，00，11914分2023北京双曲线C：=1a0，b0的离心率为，右准线方程为x=I求双曲线C的方程；设直线l是圆O：x2+y2=2上动点Px0，y0 x0y00处的切线，l与双曲线C交于不同的两点A，B，证明AOB的大小为定值【分析】 I先利用条件列出关于a，c的方程解方程求出a，c，b；即可求出双曲线方程II先求出圆的切线方程，再把切线与双曲线方程联立求出关于点A，B坐标之间的方程，再代入求出AOB的余弦值即可证明AOB的大小为定值【解答】解：由题意，解得a=1，c=，b2=c2a2=2，所求双曲C的方程设Pm，nmn0在x2+y2=2上，圆在点Pm，n处的切线方程为yn=xm，化简得mx+ny=2以及m2+n2=2得3m24x24mx+82m2=0，切L与双曲线C交于不同的两点A、B，且0m22，3m240，且=16m243m2482m20，设A、B两点的坐标分别x1，y1，x2，y2，x1+x2=，x1x2=，且=x1x2+42mx1+x2+m2x1x2=+4+=0AOB的大小为900