数值分析 第一章 学习小结

1、数值分析第1章 -一、 本章学习体会通过本章的学习，让我初窥数学的又一个新领域。数值分析这门课，与我之前所学联系紧密，区别却也很大。在本章中，我学到的是对数据误差计算，对误差的分析，以及关于向量和矩阵的范数的相关内容。误差的计算方法很多，对于不同的数据需要使用不同的方法，或直接计算，法，尽可能减少误差。如果能够找到一个好的算法，不仅能够减少计算误差，同时也可以减少计算次数，提高计算效率。来较为吃力，仅仅知道它是向量与矩阵“大小”的度量。故对这部分内容的困惑也相对较多。本章的困惑主要有两方面。一方面是如何能够寻找一个可靠而高效的算法。望通过以后的学习能够渐渐解开自己的疑惑。二、 本章知识梳理绪论

2、的研究对象与算法知识与矩阵范数2.1 数值分析的研究对象研究对象求解过程的理论分析种基本数学问题以及在求解过程中出现的收敛性，数值稳定性和误差估计等内容。2.2误差知识与算法知识传播误差属于研究数值方法过程中产生的误差。1.（1）绝对误差 e指的是精确值与近似值的差值。绝对误差：绝对误差限：（2）相对误差是指绝对误差在原数中所占的比例。相对误差：相对误差限：的半个单位。（3）有效数字的定义有效数字的第一种定义:设 a 是 x 的近似值，如果 a 的误差绝对值不超过 x的第 k 则称近似值 a 准确到小数点后第k k 位数字直到最左边非零数字之间的所有数字都叫有效数字。有效数字第二种定义：设数

3、x 的近似值其中 m 是整数，是 0,1,2， ，9 中的任意数，但则 具有 k 位有效数字。,若通过学习总结出下面几个结论：（1）若 a 是经过四舍五入而得到的近似值，则从它的末位数字到第一位非零数字都是有效数字。（2）将任何数乘以 10 （p=0，1，2，）等于移动该数的小数点，并不影p响其有效数字。（3）有效数字相同的两个近似值的绝对误差不一定相同。（4）准确值被认为具有无穷多位有效数字。末位数字到第一位非零数字都是有效数字。2.（1）相对误差与有效数字的关系：若近似数具有 n 位有效数字，则其相对误差。若近似数的相对误差则该近似数至少具有 n 位有效数字。结论：有效数字位数越多，相对误

4、差越小。（2）绝对误差与有效数字的关系：若其中 m 是整数，是 0 到 9 中的一个数字，.如果 a 作为数 x 的近似值，且 a 具有 n 位有效数字，则若其中 m 是整数，是 0 到 9 中的一个数字，.如果 a 作为数 x|e（）则a 具有 n 位有效数字。结论：有效数字位数越多，绝对误差越小。1.（1）对于一元函数：（2）二元函数：（3）n 元函数：设存在足够高阶的导数， a 是自变量 x 的近似值，则的近似值。是如果且比值不是很大，则2.算数运算误差：在数值计算中，要注意遵循一些原则，以保证数值稳定性。（1）能控制舍入误差的传播。（2）合理安排量级相差悬殊数间的运算次序，防止大数将小

5、数吃掉。（3）避免两个相近的数相减。（4）避免接近零的数做除数，防止溢出。（5）简化计算步骤，尽量减少运算次数。2.3向量范数与矩阵范数2.3.1 向量范数1.向量范数满足三个条件：（1） 正定性（2） 齐次性（3） 成立三角不等式2.对于 中的任一向量1- 范数（列范数）则有2- 范数（欧氏范数）P-范数-范数3.在空间 中可以引进各种向量范数，且它们都满足下述向量定理：设 是 x 无关的数 m 和M（0mM）,使下列关系成立。也就是说，向量x的某一范数可以任意小（大）时，该向量的其它任意一种1.定义在上的实值函数称为矩阵范数，如果对于中任意的矩阵 A和 ，阵范数满足下列条件：（1） 非负性

6、（2） 齐次性（3） 成立三角不等式（4） 相容性2.当一个问题中需要向量范数和矩阵范数时，向量范数和矩阵范数应该是相容的。对于给定的向量范数和矩阵范数，如果对于任一个 xR ，AR ，满足nnn，则所给的向量范数和矩阵范数是相容的 。设在 中给定了一种向量范数，对任意矩阵 ，令由此定义的矩阵范数与给定的向量范数相容，将这种范数称为从属于所给定的向量范数的矩阵范数。3.设 A=,则：矩阵 A 的列范数矩阵 A 的谱范数矩阵的行范数弗罗贝尼乌斯范数4.设矩阵的某种范数，则为非奇异矩阵，并且当这种范数为算子范数时，还有成立。三、 本章思考题问题： 1 小”的度量，为什么要用这么多种范数来度量，而不是专门指定一种范数？个人理解：1. 对于不同向量和矩阵，从运算等方