平面几何可变体系探讨

1、平面几何可变体系探讨摘 要：文章依据结构力学课程中几何组成分析的基本概念和方法，同时采用假想微小位移的方法，从几何瞬变体系和 几何常变体系的概念出发，分析了几何瞬变体系的微小位移和几何常变体系的有限位移的本质区别，同时分析了多位移 模态体系中几何稳定性的必要条件，提出了几何瞬变体系优先于几何常变体系的结论，并论证了其合理性，对结构力学 的教学和理解具有重要意义。关键词：结构力学；几何可变体系；微小位移；有限位移；优先级平面体系的几何组成分析是研究平面体系几何稳定性 的内容，故又称为几何稳定分析、几何机动分析或几何构 造分析。其在结构力学课程的学习中具有重要作用，对静 定结构内力计算、力法、位移

2、法、影响线、结构动力学、 结构的稳定分析等内容的学习有很大帮助，对实际工程的 稳定分析、倒塌分析等具有重要意义。几何组成分析依据 的是射影几何学原理，对几何可变体系而言，准确画出可 变体系的机动位移图是区分几何瞬变体系和几何常变体系 的关键，但机动位移图概念抽象，通常难以直观判断。文 章从结构力学教材中对几何瞬变体系和几何常变体系的定 义出发，采用假想微小位移的方法，通过具体算例分析二 者之间的本质区别，并提出几何瞬变体系优先级的概念， 旨在培养学生对抽象概念的直观思维，加强其对基本概念 的理解，提高其分析问题的能力。基本判定规则和体系的分类性，但对较为复杂的体系，运用基本规则可能无法判断，

3、需另辟蹊径，如采用零载法1、等效替换法2、假想微小 位移法等。其中，零载法运用的是静定结构静力解答的唯 一性，仅适用于计算自由度昨0的体系，只能判断体系是 否为可变体系，对可变体系无法进一步区分是几何瞬变体 系还是几何常变体系甲可。等效变换法通常适用于体系中存 在复链杆或有多处与其他部分相连的杆件。假想微小位移 法通常用来区分几何瞬变体系和几何常变体系，对存在多 种位移模态的可变体系，需一一列举判断。微小位移和有限位移的区别瞬变体系和常变体系如图2所示。几何瞬变体系的定 义为原体系为几何可变体系，若发生微小位移之后成为几 何不变体系，则原体系为几何瞬变体系。如图2 (a)所示 的体系ABC，若

4、各杆为刚性杆(即忽略杆件的轴向变形)， 结点B发生竖向位移A，杆AB和BC均产生一定的伸长，平面体系可分为几何不变体系和几何可变体系，如图则如图2 (b)所示。1所示。平面体系几何组成分析的基本判定规则包括三刚片、 两刚片和二元体规则，如表1所示。对常见的平面体系， 可采用表1所示的基本判定规则来判定体系的几何组成特LabLab |sin24S.1)几何不变体系无多余约束的几何不变体系=静定结构.有多余约束的几何不变体系超静定结构式中;2 = ：，Lw-L=,=疽一，可知杆件的伸长 量是位移A的高阶小量，位移A也受各刚性杆的限制，为微小位移，体系ABC为几何不变体系，故原体系ABC几何可变体系

5、几何瞬变体系.几何常变体系=一般不能作为工程结构为几何瞬变体系。在几何组成分析中，所有的杆件均假定 为刚性杆，因此在几何瞬变体系中发生的位移必然是微小位移。图1体系的分类位移。表1几何组成分析的基本判定规则三刚片规则两刚片规则二元体规则刚片I、II和III之间分别通过铰A、B和 刚片I和II之间通过链杆AB和铰C相连,_由2根链杆相交形成的结点装置称为二元C两两相连，三铰不共线，故为无多余约 链杆AB及其延长线不通过铰C，故为无 体。在体系上增加或撤除若干二元体不改 一变体系的几何组成特性束的几何不变体系多余约束的几何不变体系几何常变体系的定义为原体系为几何可变体系，无论 发生何种有限位移仍为

6、几何可变体系，则原体系为几何常 变体系。如图2 (c)所示的体系ABCD，原体系可发生有 限位移而变成体系ABCD，且该位移仍可持续进行，体系 ABCD仍为几何可变体系，故原体系为几何常变体系。(a)(b)(c)图(a)(b)(c)图2瞬变体系和常变体系微小位移和有限位移如图3所示。图3 (a)所示的体系， 假设各杆的长度均为L，且为刚性杆(杆长L保持不变)。 如图3 (b)所示，当D点发生水平向左的位移A时，由 此引起B点的竖向位移为凯当A为微小位移时是微小位移A的 高阶小量。当A不断增大成为有限位移时，B点的竖向位 移3是有限位移A的同阶量，各杆产生了与有限位移A 同阶的轴向变形，与刚性杆

7、假定矛盾。易分析得出，图3(b) 所示的体系ABCDE为几何不变体系，故原体系在D点仅 能发生微小位移，为几何瞬变体系。本质上，图3 (b)所 示体系中D点发生微小位移A时，引起B点的竖向位移虽 为A的高阶小量，但B点偏离原来的位置至B,点，铰A、 B，、C不共线，体系成为几何不变体系；D点发生有限位移， 各杆必将产生与有限位移同阶的轴向变形，不符合刚性杆 假定的前提，即有限位移受各刚性杆的限制而难以发生， 原体系为几何瞬变体系。(a)(b)图3微小位移和有限位移位移后成为几何不变体系，故原体系为几何瞬变体系。本质上，原体系在无外界干扰时可维持原有的几何稳 定；当受到干扰时，体系将寻求新的几何

8、稳定，当新的几何 稳定是众多位移模态中产生最小的微小位移时就会成为几 何不变体系所对应的情况。若所有的位移模态均无法成为几 何不变体系，体系无法维持几何稳定，产生有限位移并持续 进行，则原体系为几何常变体系。因此，多位移模态的可变 体系中可能既有几何常变的位移模态，也有几何瞬变的位 移模态，几何瞬变的位移模态优先于几何常变的位移模态。 只要体系发生微小位移后成为几何不变体系，则原体系为几 何瞬变体系，几何常变的位移模态只有在所有的微小位移均 不能使体系成为几何不变的情况下才会发生。结束语几何瞬变体系产生的机动位移为微小位移，而几何常 变体系产生的机动位移为有限位移，二者从量级上比较，有 限位移

9、远大于微小位移，故几何可变体系在产生有限位移 之前必先产生微小位移。区分几何瞬变体系和几何常变体 系的关键在于，在符合刚性杆假定的前提下，判断体系在 产生微小位移之后，能否产生有限位移并持续进行，若不能, 则原体系为几何瞬变体系，否则为几何常变体系。对于多 位移模态的可变体系，若存在发生微小位移后成为几何不 变体系的位移模态，则原体系为几何瞬变体系；当所有的 位移模态均不能使体系成为几何不变体系时，原体系才是 几何常变体系，即几何瞬变体系优先于几何常变体系。多位移模态可变体系中的优先级多模态体系如图4所示。图4 (a)所示的可变体系存 在多种位移模态，两种基本位移模态如图4 (b)和图4 (c) 所示。图4 (b)中刚片DEHI发生微小位移后，刚片 AB