空间中直线与直线之间的位置关系(附规范标准答案)

1、空间中直线与直线之间的位置关系学习目标1会判断空间两直线的位置关系.2理解两异面直线的定义，会求两异面直线所成的角.3能用公理4解决一些简单的相关问题.戸知识梳理自主学习知识点一空间中两条直线的位置关系1异面直线(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.要点分析：异面直线的定义表明：异面直线不具备确定平面的条件异面直线既不相交,也不平行.不能误认为分别在不同平面内的两条直线为异面直线如图中，虽然有aUa,bup,即a,b分别在两个不同的平面内，但是因为aHb=O,所以a与b不是异面直线.(2)画法：画异面直线时，为了充分显示出它们既不平行也不相交，即不共面的特点，常常需要画一个或

2、两个辅助平面作为衬托，以加强直观性、立体感如图所示，a与b为异面直线.(3)判断方法方法内容定义法依据定义判断两直线不可能在同一平面内定理法过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线为异面直线(此结论可作为定理使用)反证法假设这两条直线不是异面直线，那么它们是共面直线(即假设两条直线相交或平行)，结合原题中的条件，经正确地推理，得出矛盾，从而判定假设“两条直线不是异面直线”是错误的，进而得出结论：这两条直线是异面直线2空间中两条直线位置关系的分类(1)按两条直线是否共面分类厂相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点丿共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点异面直线：不同在任何一个平

3、面内，没有公共点(2)按两条直线是否有公共点分类有且仅有一个公共点相交直线无公共点有且仅有一个公共点相交直线无公共点平行直线异面直线思考(1)分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？(2)两条垂直的直线必相交吗？答(1)不一定.可能相交、平行或异面.(2)不一定.可能相交垂直，也可能异面垂直.知识点二公理4(平行公理)文字语言平行于同一条直线的两条直线互相平行，这一性质叫做空间平行线的传递性符号语言allcbileQab图形语言知识点三空间等角定理1.定理文字语言空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.符号语言OAHOA,OBHOBZAOB=ZAOB或ZAOB+ZAOB

4、=180。图形语言川erv/AB0上AO-A作用判断或证明两个角相等或互补2.推广如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.思考如果两条直线和第三条直线成等角，那么这两条直线平行吗？答不一定.这两条直线可能相交、平行或异面知识点四异面直线所成的角1.概念：已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O作直线aHa,bb，我们把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).2异面直线所成的角0的取值范围：OV0W9O.3如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直两条互相垂直的异面直线a，b,记作a丄b.4异面直线所成的角的两种求

5、法（1）在空间任取一点O,过点O分别作aa,bb,则a与b所成的锐角（或直角）为异面直线a与b所成的角，然后通过解三角形等方法求角.（2）在其中一条直线上任取一点（如在b上任取一点）O,过点O作另一条直线的平行线（如过点O作aa），则两条直线相交所成的锐角（或直角）为异面直线所成的角（如b与a所成的角），然后通过解三角形等方法求角（如图）.题型探究题型一空间两条直线的位置关系的判定例1若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是（）A.平行B.异面C.相交D.平行、相交或异面答案D解析可借助长方体来判断.如图，在长方体ABCDABCD中，AD所在直线为a,AB所在直线为b,已知a

6、和b是异面直线,b和c是异面直线，则c可以是长方体ABCDABCD中的BC,CC,DD.故a和c可以平行、相交或异面.DfADfAbB跟踪训练1如图所示，在正方体ABCDABCD中，判断下列直线的位置关系：（1）直线AB与直线D1C的位置关系是；（2）直线AB与直线B1C的位置关系是；直线D1D与直线D1C的位置关系是直线AB与直线B1C的位置关系是.答案(1)平行(2)异面(2)相交(4)异面解析序号结论理由(1)平行因为AD綊BC,所以四边形A1BCD1为平行四边形，所以ABDC(2)异面AB与B1C不同在任何一个平面内(3)相交D1DHD1C=D1(4)异面AB与BC不同在任何一个平面内

7、题型二公理4、等角定理的应用例2E,F分别是长方体ABCD-A1B1C1D1的棱A/,C1C的中点，求证：四边形B1EDF是平行四边形.DCl证明设Q是DD1的中点，连接EQ,QC1.DCl因为E是AA1的中点，所以EQ/AD.11又因为在矩形ABCD.中，AD/BC,1111iiii所以EQ/BC.ii所以四边形EQC1B1为平行四边形所以BE/CQ.又因为Q,F分别是矩形DD1C1C两边D1D,C1C的中点，所以QD/CF.所以四边形DQC1F为平行四边形.所以CQ/FD.1又因为BE/CQ，所以BE/FD.所以四边形BEDF为平行四边形.跟踪训练2如图，已知E,F,G,H分别是空间四边形

8、ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点.求证：E,F,G,H四点共面；若四边形EFGH是矩形，求证：AC丄BD.证明(1)在AABD中，TE,H分别是AB，AD的中点，:、EH/BD.同理FGBD,则EH/FG.故E,F,G,H四点共面.(2)由(1)知EH/BD,同理AC/GH.又J四边形EFGH是矩形，.：EH1GH.故ACLBD.题型三异面直线所成的角A例3如图所示，在空间四边形ABCD中，AB=CD,AB丄CD,E,F分别为BC,AD的中点，求EF和AB所成的角.A解如图，取BD的中点G,连接EG,FG.因为E,F分别为BC,AD的中点，AB=CD,所以EG/CD,GF/AB,且EG

9、=2CD,gf=1ab.所以ZGFE就是EF与AB所成的角或其补角，EG=GF.因为AB丄CD,所以EG丄GF.所以ZEGF=90.所以4EFG为等腰直角三角形.所以ZGFE=45,即EF与AB所成的角为45.跟踪训练3空间四边形ABCD中,AB=CD且AB与CD所成的角为30,E,F分别为BC,AD的中点，求EF与AB所成角的大小.解取AC的中点G,连接EG,FG,则EG/*B,GF/2cD.故直线GE,EF所成的锐角即为AB与EF所成的角,直线GE,GF所成的锐角即为AB与CD所成的角.TAB与CD所成的角为30,:.ZEGF=30或150.由AB=CD，知EG=FG,.EFG为等腰三角形

10、.当ZEGF=30。时，ZGEF=75；当ZEGF=150时，ZGEF=15.故EF与AB所成的角为15或75.数学思想转化与化归思想例5在空间四边形ABCD中，AD=BC=2a,E,F分别是AB,CD的中点，EF=*a，求异面直线AD,BC所成的角.分析要求异面直线AD,BC所成的角，可在空间中找一些特殊点，将AD,BC平移至一个三角形中此题已知E，F分别为AB，CD的中点，故可寻找一边中点，如BD的中点M，则ZEMF（或其补角）为所求角.C解如图，取BD的中点M.由题意，知EM为ABAD的中位线,所以EM/AD且EM=*D.C同理，MF/BC且MF=*BC.所以EM=a,MF=a,且ZEM

11、F（或其补角）为所求角.在等腰AMEF中，取EF的中点N，连接MN则MNLEF.又因为EF=/3a,3所以EN=2a.,ENV3故有smZEMN=EM=.所以ZEMN=60，所以ZEMF=2ZEMN=120.因为ZEMF=12090。，所以AD，BC所成的角为/EMF的补角，即AD和BC所成的角为60.解题技巧反证法的合理应用例6如图，三棱锥P-ABC中，E是PC上异于点P的点求证：AE与PB是异面直线.分析利用定义直接证明，即从不同在任何一个平面内中的“任何”开始入手，一个平面一个平面地寻找是不可能实现的，因此必须找到一个间接证法来证明，反证法即是一种行之有效的方法.证明假设AE与PB不是异

12、面直线，设AE与PB都在平面a内，因为PGa,EWa，所以PEa.又因为CWPE，所以CWa.所以点P,A,B,C都在平面a内.这与P,A,B,C不共面（P-ABC是三棱锥）矛盾.于是假设不成立，所以AE与PB是异面直线.尹当堂检测自晋自纠1若空间两条直线Q和b没有公共点，则Q与b的位置关系是（）共面B.平行C.异面D.平行或异面2.一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是（）A.平行或异面B.相交或异面C.异面D.相交3设P是直线l外一定点，过点P且与l成30角的异面直线（）A.有无数条B.有两条C.至多有两条D.有一条4.如图所示，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所

13、在棱的中点，则表示直线GH，MN5在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与A所成角的余弦值为戸课时精练一、选择题1分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是（）A.定平行B.定相交C.一定异面D.相交或异面TOC o 1-5 h z2已知空间两个角a,B，a与B的两边对应平行，且a=60。，则“等于（）A.60。B.120。C.30。D.60。或1203在正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线BA1与CC1所成的角为（）A.30。B.45。C.60。D.90。4下面四种说法：若直线a、b异面，b、c异面，则a、c异面；若直线a、b相交，b、c相交，则a

14、、c相交；若ab，则a、b与c所成的角相等；若alb,b丄c，则allc.其中正确的个数是（）A.4B.3C.2D.15空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四边形是（）A.梯形B.矩形C.平行四边形D.正方形6若空间四边形ABCD的两条对角线AC，BD的长分别是8,12,则过AB的中点E且平行于BD，AC的截面四边形的周长为（）A.10B.20C.8D.47如图，三棱柱ABCA1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙CEB述正确的是（）CEBA.CC、与BE是异面直线CC与AE共面AE与BC是异面直线AE与B,C,所成的角为60

15、二、填空题8在四棱锥PABCD中，各棱所在的直线互相异面的有对.9.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：AB丄EF；AB与CM所成的角为60。；EF与MN是异面直线；MNCD.以上结论中正确的序号为.E10如图所示，在正方体ABCDABCD中，异面直线AB与AD所成的角为,三、解答题11.如图所示，等腰直角三角形ABC中，ZBAC=90,BC=&,DA丄AC,DA丄AB,若DA=1,且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值.12如图，E,F,G,H分别是空间四边形ABCD各边上的点，且有AE:EB=AH：HD=m,CF:FB=CG:GD=n.证明：E,F,G,

16、H四点共面；m,n满足什么条件时，四边形EFGH是平行四边形?在(2)的条件下，若/C丄BD,试证明：EG=FH.当堂检测答案1.答案D解析若直线a和b共面，则由题意可知a/b；若a和b不共面，则由题意可知a与b是异面直线.2.答案B解析如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1与BC是异面直线，又AA/BB,A.A/DD,显然BB1HBC=B,DD与BC是异面直线，故选B.CC3.答案A解析我们现在研究的平台是锥空间如图所示，过点p作直线厂1,以t为轴，与r成30角的圆锥面的所有母线都与l成30角.4.答案解析中，VG,M是中点，：AG綊BM,：GM綊AB綊HN,:GH/MN，即G,

17、H,M，N四点共面；中，VH,G,N三点共面，且都在平面HGN内，而点M显然不在平面HGN内，：H,G，M，N四点不共面，即GH与MN异面；中，VG，M是中点，:GM2cD，-GM綊HN，即GMNH是梯形，则HG，MN必相交，:H，G，M，N四点共面;中，同，G,H,M,N四点不共面，即GH与MN异面.解析设棱长为1,因为ABJ/CD所以ZAED、就是异面直线AE与AB所成的角.在AED1中,cosZAEDcosZAED=DEAE1-3=1-2-3-2课时精练答案一、选择题1.答案D解析可能相交也可能异面，但一定不平行（否则与条件矛盾）.C2答案DC解析由等角定理，知B与a相等或互补，故卩=6

18、0。或120.3答案B解析如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BBJ/CC,故ZBA】就是异面直线BA1与CC1所成的角，故为45.4答案D解析若a、b异面，b、c异面，则a、c相交、平行、异面均有可能，故不对.若a、b相交，b、c相交，则a、c相交、平行、异面均有可能，故不对.若alb,b丄c,则a、c平行、相交、异面均有可能，故不对正确.5答案D解析如图，因为BD丄AC,且BD=AC，又因为E，F，G，H分别为对应边的中点，所以FG/EH/|bD，HGEF*C.所以FG丄HG,且FG=HG.所以四边形EFGH为正方形.6答案B解析设截面四边形为EFGH，E，F，G，H分别是AB，B

19、C，CD，DA的中点，:EF=GH=2=2AC=4，FG=HE=BD=6,周长为2X(4+6)=20.7答案C解析由于CC1与B1E都在平面CBBC内，故C1C与B1E是共面的，所以A错误；由于C1C在平面CBBC内，而AE与平面C1B1BC相交于E点，点E不在C1C上,故C1C与AE是异面直线，B错误；同理AE与B1C1是异面直线，C正确；而AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，E为BC中点，AABC为正三角形，所以AE丄BC,D错误综上所述,故选C.二、填空题8答案8解析以底边所在直线为准进行考察，因为四边形ABCD是平面图形,4条边在同一平面内，不可能组成异面直线，而每一边所在直线能与2条侧棱组成2对异面直线，所以共有4X2=8（对）异面直线.9答案解析把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，如图所示，AB丄EF,EF与MN是异面直线，AB/CM,MN丄CD,只有正确.10.答案10.答案60解析连