数值分析第三版课本习题及答案

1、本文格式为Word版，下载可任意编辑 数值分析第三版课本习题及答案 第一章 绪 论 1. 设x 0,x 的相对误差为,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2,求n x 的相对误差. 3. 以下各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过结果一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字: *123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =? 4. 利用公式(3.3)求以下各近似值的误差限: *12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x +其中*1234,x x x x 均为第3题所给的数. 5.

2、计算球体积要使相对误差限为1,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 11783100n n Y Y -=- ( n=1,2,) 计算到100Y .若取78327.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程25610 x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字(78327.982). 8. 当N 充分大时,怎样求211N dx x +? 9. 正方形的边长大约为100,应怎样测量才能使其面积误差不超过12? 10. 设212S gt =假定g 是确切的,而对t 的测量有0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的十足误差增加,而相

3、对误差却减小. 11. 序列n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,),若02 1.41y =(三位有效数字),计算到10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6(21)f =-,取2 1.4,利用以下等式计算,哪一个得到的结果最好? 36311,(322),9970 2.(21)(322)-+ 13. 2()ln(1)f x x x =- -,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等 价公式 22ln(1)ln(1)x x x x -=-+ 计算,求对数时误差有多大? 14. 试用消元法解方程组101012121010

4、;2.x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠? 15. 已知三角形面积 1sin ,2s ab c = 其中c 为弧度, 02c ,且测量a ,b ,c 的误差分别为,.a b c ?证明面积的误差s ?满足 .s a b c s a b c ?+ 其次章 插值法 1. 根据( 2.2)定义的范德蒙行列式,令 2 00 0112111 2 1 ()(,)11 n n n n n n n n n x x x V x V x x x x x x x x x x = 证明()n V x 是n 次多项式,它的根是01,n x x - ,且 101101()(,)()()n n n

5、n V x V x x x x x x x =- . 2. 当x = 1 , -1 , 2 时, f (x)= 0 , -3 , 4 ,求f (x )的二次插值多项式. 3. 给出f (x )=ln x 的数值表用线性插值及二次插值计算ln 0.54 的近似值. x 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 ln x -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.223144 4. 给出cos x ,0 x 90的函数表,步长h =1=(1/60),若函数表具有5位有效数字,研究用线性 插值求cos x 近似值时的总误差界. 5. 设0k x x kh =

6、+,k =0,1,2,3,求032max ()x x x l x . 6. 设 j x 为互异节点(j =0,1,n ),求证: i) 0()(0,1,);n k k j j j x l x x k n = ii) ()()1,2,). n k j j j x x l x k n =-0(= 7. 设2(),f x C a b 且()()0f a f b =,求证21 ()()(). 8max max a x b a x b f x b a f x - 8. 在44x -上给出()x f x e =的等距节点函数表,若用二次插值求x e 的近似值,要使截断误差不超过 610-,问使用函数表的步

7、长h 应取多少? 9. 若2n n y =,求4n y ?及4 n y . 10. 假如()f x 是m 次多项式,记()()()f x f x h f x ?=+-,证明()f x 的k 阶差分()(0)k f x k m ?是 m k -次多项式,并且()0(m l f x l +? =为正整数). 11. 证明1()k k k k k k f g f g g f +?=?+?. 12. 证明1 1 0010 . n n k k n n k k k k f g f g f g g f -+=?=-? 13. 证明 1 2 00 . n j n j y y y -=? =?-? 14. 若1

8、011()n n n n f x a a x a x a x -=+ 有n 个不同实根12,n x x x ,证明 10,02; , 1. 1 () n k n j k n a k n j j x f x -=-= 15. 证明n 阶均差有以下性质: i) 若()()F x cf x =,则 0101,n n F x x x cf x x x = ; ii) 若()()()F x f x g x =+,则01 0101,n n n F x x x f x x x g x x x =+ . 16. 74()31f x x x x =+,求0172,2,2f ? 及 0182,2,2f ? . 1

9、7. 证明两点三次埃尔米特插值余项是 (4)22311()()()()/4!,(,)k k k k R x f x x x x x x +=- 并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 18. 求一个次数不高于4次的多项式()P x ,使它满足(0)(1)P P k =-+并由此求出分段三次埃尔米特插值 的误差限. 19. 试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式()P x ,以便使它能够满足以下边界条件 (0)(0)0P P =,(1)(1)1P P =,(2)1P =. 20. 设 (),f x C a b ,把,a b 分为n 等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数()n x ?并证明

10、当 n 时,()n x ?在,a b 上一致收敛到()f x . 21. 设 2 ()1/(1)f x x =+,在55x -上取10n =,按等距节点求分段线性插值函数()h I x ,计算各节点间中点处的()h I x 与()f x 的值,并估计误差. 22. 求2 ()f x x =在 ,a b 上的分段线性插值函数()h I x ,并估计误差. 23. 求4()f x x =在 ,a b 上的分段埃尔米特插值,并估计误差. 24. 给定数据表如下: j x 0.25 0.30 0.39 0.45 0.53 j y 0.5000 0.5477 0.6245 0.6708 0.7280 试

11、求三次样条插值()S x 并满足条件 i) (0.25) 1.0000,(0.53)0.6868;S S = ii) (0.25)(0.53)0.S S = 25. 若 2(),f x C a b ,()S x 是三次样条函数,证明 i) 222()()()()2()()()b b b b a a a a f x dx S x dx f x S x dx S x f x S x dx -=-+-? ?; ii) 若()()(0,1,)i i f x S x i n = ,式中i x 为插值节点,且01n a x x x b = ,则()()()()()()()()()b a S x f x S

12、 x dx S b f b S b S a f a S a -=-?. 26. 编出计算三次样条函数()S x 系数及其在插值节点中点的值的程序框图()S x 可用(8.7)式的表达式). 第三章 函数迫近与计算 1. (a)利用区间变换推出区间为,a b 的伯恩斯坦多项式. (b)对()sin f x x =在 0,/2上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误差做对比. 2. 求证: (a)当()m f x M 时,(,)n m B f x M . (b)当()f x x =时,(,)n B f x x =. 3. 在次数不超过6的多项式中,求()sin 4f

13、x x =在 0,2的最正确一致迫近多项式. 4. 假设()f x 在 ,a b 上连续,求()f x 的零次最正确一致迫近多项式. 5. 选取常数a ,使301max x x ax -达到微小,又问这个解是否唯一? 6. 求()sin f x x =在 0,/2上的最正确一次迫近多项式,并估计误差. 7. 求()x f x e =在0,1上的最正确一次迫近多项式. 8. 如何选取r ,使 2()p x x r =+在1,1-上与零偏差最小?r 是否唯一? 9. 设43 ()31f x x x =+-,在0,1上求三次最正确迫近多项式. 10. 令()(21),0,1n n T x T x x

14、 =-,求*0123(),(),(),()T x T x T x T x . 11. 试证 *()n T x 是在0,1上带权21x x =-的正交多项式. 12. 在1,1-上利用插值微小化求11()f x tg x -=的三次近似最正确迫近多项式. 13. 设()x f x e =在1,1-上的插值微小化近似最正确迫近多项式为()n L x ,若n f L -有界,证明对任何 1n ,存在常数n 、n ,使 11()()()()(11).n n n n n T x f x L x T x x +- 14. 设在1,1-上 2345 11315165()128243843840 x x x

15、x x x ?=,试将()x ?降低到3次多项式并估计误差. 15. 在 1,1-上利用幂级数项数求()sin f x x =的3次迫近多项式,使误差不超过0.005. 16. ()f x 是 ,a a -上的连续奇(偶)函数,证明不管n 是奇数或偶数,()f x 的最正确迫近多项式* ()n n F x H 也是奇(偶)函数. 17. 求a 、b 使2 20 sin ax b x dx +-? 为最小.并与1题及6题的一次迫近多项式误差作对比. 18. ()f x 、 1 (),g x C a b ,定义 ()(,)()();()(,)()()()(); b b a a a f g f x g x dx b f g f x g x dx f a g a =+? 问它们是否构成内积? 19. 用许瓦兹不等式(4.5)估计6 1 01x dx x +?的上界,并用积分中值定理估计同一积分的上下界,并对比其结果. 20. 选择a ,使以下积分取得最小值:1 1 2221 1 (),x ax dx x