一元二次方程根分布WORD含答案

1、优选文档优选文档PAGEPAGE26优选文档PAGE一元二次方程根的分布一知识要点二次方程ax2bxc0的根从几何意义上来说就是抛物线yax2bxc与x轴交点的横坐标，所以研究方程ax2bxc0的实根的状况，可从yax2bxc的图象进步行研究若在(,)内研究方程ax2bxc0的实根状况，只需观察函数yax2bxc与x轴交点个数及交点横坐标的符号，依照鉴识式以及韦达定理，由yax2bxc的系数可判断出x1x2,x1x2的符号，从而判断出实根的状况若在区间(m,n)内研究二次方程ax2bxc0，则需由二次函数图象与区间关系来确定1二次方程有且只有一个实根属于(m,n)的充要条件若m,n其中一个是方

2、程的根，则由韦达定理可求出另一根若m,n不是二次方程ax2bxc0的根，二次函数f(x)ax2bxc的图象有以下几种可能：（1）a0,mx1nx2（2）a0,x1mx2nyyxnxx1mxm1O2xO2nx（3）a0,mx1nx2（4）a0,x1mx2nyymx1x2x1x2nnOmOxx由图象可以看出，f(x)在xm处的值f(m)与在xn处的值f(n)符号总是相反，即f(m)f(n)0；反之，若f(m)f(n)0，f(x)的图象的相对地址只能是图中四种状况之一所以得出结论：若m,n都不是方程ax2bxc0(a0)的根，记f(x)ax2bxc，则f(x)0有且只有一个实根属于(m,n)的充要条

3、件是f(m)f(n)02二次方程两个根都属于(m,n)的充要条件方程ax2bcc0(a0)的两个实根都属于(m,n)，则二次函数f(x)ax2bxc的图1象与x轴有两个交点或相切于点，且两个交点或切点的横坐标都大于m小于n，它的图象有以下几种状况：（1）a0,mx1x2n（2）a0,mx1x2nyymOx2nxmx1x2Onxx1（3）mxxn（）a0,12a0,mx1x2n4yymx1x2O由此可得出结论：方程ax2bxc0(ab24ac0af(m)0af(n)0nmx1x2Onxx0)的两个实根都属于区间(m,n)的充要条件是：mbn2a这里fxax2bxc()同理可得出：3二次方程ax2

4、bxc0的两个实根分别在区间(m,n)的两侧（一根小于m，另一根大于n）的充要条件是：af(m)0af(n)0这里xax2bxcf()4二次方程ax2bxc0的两个实根都在(m,n)的右侧的充要条件是：b24ac0af(n)0bn2a2二次方程ax2bxc0的两个实根都在(m,n)的左侧（两根都小于m）的充要条件是：b24ac0af(m)0bm2a这里f(x)ax2bxc二例题选讲例设关于x的方程4x2x1b0(bR），（1）若方程有实数解，求实数b的取值范围；（2）当方程有实数解时，谈论方程实根的个数，并求出方程的解。例已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)若.方程f(x)=x无实根

5、，求证：方程ff(x)=x也无实根例设A2,4)，Bxx2ax40，若BA，求实数a的取值范围3变式：已知方程x2+(3m-1)x+(3m-2)=0的两个根都属于(-3,3)，且其中最少有一个根小于1，求m的取值范围例已知方程4x22(m1)x(2m3)0(mR)有两个负根，求m的取值范围例求实数m的范围，使关于x的方程x22(m1)x2m60（）有两个实根，且一个比大，一个比小（）有两个实根,，且满足014（）最少有一个正根4例已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.若方程有两根，其中一根在区间(1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围.若方程两根均在区间(0，1)内，求m的

6、范围.变式：已知方程2x22(2a-1)x+a+2=0的两个根在-3与3之间，求a的取值范围例已知二次方程mx2(2m1)xm20的两个根都小于1，求m的取值范围5变式：若是二次函数y=mx2+(m3)x+1的图象与x轴的交点最少有一个在原点的右侧，试求m的取值范围.例已知a是实数，函数f(x)2ax22x3a，若是函数yf(x)在区间11，上有零点，求a的取值范围二次方程实根分布的一些方法除了直接用于鉴识二次方程根的状况，在其他的一些场合下也可以合适运用下面再举两个例子：x+1例求函数y=的值域x2-3x+2(1x0,求证m2m(1)pf(m)0;1方程f(x)=0在(0，1)内恒有解。8参

7、照答案例解析：可用换元法，设2xt，原方程化为二次方程t22tb0，但要注意t0，故原方程有解其实不等价于方程t22tb0有解，而等价于方程t22tb0在(0,)内有解别的，方程有解的问题也可以经过参变分别转变成求值域的问题，它的原理是：若关于x的方程af(x)有解，则af(x)的值域解：（1）原方程为b4x2x1，4x2x1(2x)222x(2x1)211，当b1,)时方程有实数解；2）当b1时，2x1，方程有唯一解x0；当b1时，(2x1)21b2x11b.2x0,11b0,2x11b的解为xlog2(11b)；令11b01b11b0,当1b0时,2x11b的解为xlog2(11b)；综合

8、、，得1）当1b0时原方程有两解：xlog2(11b)；2）当b0或b1时，原方程有唯一解xlog2(11b)；3）当b1时，原方程无解。例证明：方程f(x)=x即f(x)-x=ax2+(b-1)x+c=0无实根，f(x)-x仍是二次函数，f(x)-x=0仍是二次方程，它无实根即=(b-1)2-4ac0若a0，则函数y=f(x)-x的图象在x轴上方，y0，即f(x)-x0恒成立，即：f(x)x对任意实数x恒成立。对f(x)，有f(f(x)f(x)x恒成立f(f(x)=x无实根若a0，函数y=f(x)-x的图象在x轴下方y0，即f(x)-x0恒成立对任意实数x，f(x)0恒成立对实数f(x)，有

9、：f(f(x)f(x)x恒成立f(f(x)=x无实根综上可知，当f(x)=x无实根时，方程f(f(x)=x也无实根例解析：观察到方程x2ax40有两个实根，故此题不如用求根公式来解决9解：因x2ax40有两个实根aa2，x2aa2x1444，224故BA等价于x12且x24，即a4a22且a4a24，2424解之得0a3变式：解：原方程即为(x+1)(x+3m-2)=0，所以方程两根分别为-1,2-3m，而-1在(-3,1)上，则由题意，另一根满足-32-3m3-153m3.例解：依题意有4(m1)244(2m3)0(m1)0m112m30例解：设yf(x)x202(m1)x2m6，得m（）依

10、题意有f(2)，即44(m1)2m601（）依题意有f(0)2m60f(1)4m50解得：f(4)10m140（）方程最少有一个正根，则有三种可能：75540m1或m5有两个正根，此时可得f(0)0，即m33m12(m1)0m12f(0)0，得m3有一个正根，一个负根，此时可得有一个正根，另一根为，此时可得62m0m32(m1)0综上所述，得m1例解：(1)条件说明抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(1，0)和(1，2)内，则10m12f(0)2m10,R,f(1)20,m51，1,mf(1)4m20,m62f(2)6m5025m6实数m的范围是(5,1).62f(0

11、)0,f(1)0,(2)据抛物线与x轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组0,0m11,2m11,-2018+6(2a-1)+a+20f(3)018-6(2a-1)+a+202a-12a-1-323-323143-213+2126-13m4或4m0(1)当m0时，二次函数图象与x轴有两个交点且分别在0(2）当m0时，则3m解得0m10m综上所述，m的取值范围是m|m1且m0.例解析1：函数yf(x)在区间-1，1上有零点，即方程上有解，y轴两侧，吻合题意.f(x)2ax22x3a=0在-1，1a=0时，不吻合题意，所以a0,方程f(x)=0在-1，1上有解f(1)f(1)0或12af(1)0a

12、f(1)037或a537或a1.48a(3a)01a5或aa1221.1a所以实数a的取值范围是a37或a1.2解析2：a=0时，不吻合题意，所以a0,又f(x)2ax22x3a=0在-1，1上有解，(2x21)a32x在-1，1上有解12x21在2x2a32x-1，1上有解，问题转变成求函数y1，1上的值域；设t=3-2x，x-1，1，则2x3t，3-122x1(tt1,5,y1(t3)276)，2t2t设g(t)t7.g(t)t27，t1,7)时，g(t)0，此函数g(t)单调递减，t(7,5时，g(t)0,tt2此函数g(t)单调递加，y的取值范围是73,1，f(x)2ax22x3a=0

13、在-1，1上有解173,1a1或a327。a例解：原函数即为y(x2-3x+2)=x+1,yx2-(3y+1)x+2y-1=0,由题意，关于x的方程在(1,2)上有实根易知y0,令f(x)=yx2-(3y+1)x+2y-1，则f(1)=-20,f(2)=-30，所以方程在(1,2)上有实根当0且仅当3y+1，解得y-5-26.12y2原函数的值域为(-,-5-26.例10解：以(0,0),(1,1)为端点的线段所在直线为y=x，代入抛物线方程得：x=2x2-mx+m即2x2-(m+1)x+m=0,由题意，方程在区间(0,1)上有实根，令f(x)=2x2-(m+1)x+m，则当且仅当0m2-6m

14、+10m+1f(0)f(1)0或041m0或-1m0m0f(1)0故m的取值范围为(-,0)(0,3-22.牢固练习m-41解：易知x1=-1是方程的一个根，则另一根为x2=3m-1，所以原方程有且仅有一个实m-44m-5根属于(-1,1)当且仅当-103m-105m-42m+33，3m-11，即m43m-1-10m的取值范围为(-,-352)(4,+).132解：令t2x，当x(,1)时，t(0,2)由于t2x是一一照射的函数，所以x在(,1)上有两个值，则t在(0,2)上有两个对应的值所以方程由（1）得：由（2）得：由（3）得：由（4）得：mt2(2m1)tm0在（0，2）上有两个不等实根，其充要条件为(2m1)24m20(1)m20(2)m(9m2)0(3)2m12(4)02m1，4m0，2m0或m，91m6221219m，即m的取值范围为(,)4943解：设f(x)=(2m1)x22mx(m1)，由于f(x)是二次函数，所以2m+1，0即m1-2.3f(x)=0在（1，2）上有且仅有一个实根当且仅当f(1)f(2)