【概率论与数理统计】ch2-3连续型随机变量及其概率密度

1、 Kill two birds with one stone一石二鸟 / 一举两得小测验Tests1.设随机变量X的分布函数为(91-3-3)则X的概率分布为2.设随机变量X的概率分布为求F (x).(87-3-4)答案X13PX的分布律0.40.40.21.解法2(公式法):间断点处法1(图示法)间断点处的概率=跳跃度2.解故1321320132x1x32xxReview复习1.分布函数概念2.分布函数性质分布函数分布律(公式法)(图示法)3.离散型随机变量的分布函数和分布律已知 1)2)3)用分布函数表示概率已知2.1 离散型随机变量及其分布律 2.2 随机变量的分布函数2.3 连续型随机

2、变量及其概率密度2.4几种常见的连续型随机变量2.5 随机变量函数的分布教学内容 Chapter 2 Random Variable and Distribution 第二章 随机变量及其分布 Content 理解连续型随机变量及其概率密度的概念教学要求2.3 连续型随机变量及其概率密度主要内容ContentsRequests一、连续型随机变量的概率密度二、连续型随机变量的性质三、离散型与连续型随机变量比较 Chapter 2 Random Variable and Distribution 第二章 随机变量及其分布 Continuous Random Variable and Probabi

3、lity Density一、连续型随机变量的概率密度定义1The Probability Density of Continuous Random Variable 对于随机变量 X ，如果存在一个定义域为 的非负实值函数 f (x)，使得X的分布函数F(x)可表示为：则称 X 为连续型随机变量f (x)为X 的概率分布密度函数,简称概率密度Probability Distribution Density FunctionContinuous Random Variable概率密度的性质The Properties of Probability Density 性质1几何意义 (非负性)分布函

4、数F(x)与密度函数f(x)的几何意义总位于x轴上方f (x)0 x(面积)f (x)(曲线)由曲线y=f(x),直线x=a, x=b 及x轴所围成的曲边梯形面积注性质2(归一性)f (x)0 x(面积)f (x)(曲线)几何意义 与x轴之间的面积为1常用解设随机变量X 的概率密度为补例求常数a(归一性)(去绝对值)(积分)(化简)途径：利用性质(代入)凑微分P62，1(1)性质3f (x)0 x(面积)f (x)(曲线)几何意义 常用abX取值于任一区间(a, b的概率 由曲线y=f(x),直线x=a, x=b及x轴所围成 的曲边梯形面积注(可推广到多个区间的并)图形法公式法性质4在f (x

5、)的连续点x，即证法2:(导数定义)即注常用证法1:(积分中值定理) 至少线段质量长度密度物理学：xo即：密度函数 f (x)在点 a处的高度，并不是 X 取值的概率. 但这个高度越大，则X取 a 附近的值的概率就越大. 也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率在该点附近的集中程度.注 密度函数f (x)本身不是概率，而是与随机变量 X 取点 x 附近的值的概率大小成正比 f (x)af (x)f (a)概率微元概率密集程度三连续型随机变量的性质证The Properties of Continuous Random Variable 则(取极限)(夹逼定理)(途径：点概率含该点的区间概率)物

6、理学:连续质点系中,任一点的质量为0.注命题 连续随机变量取任一常数的概率为0即注对于连续型随机变量， (2)概率为0的事件不一定是不可能事件. 概率为1的事件不一定是必然事件. 在某一点取值的问题没有太大的意义.重点：在某一区间上取值的问题例并非不可能事件.而 并非必然事件.而1)2)(3)对于连续型随机变量有：注注一个连续型随机变量的概率密度f (x)不惟一,也不一定连续,它允许在个别点上取不同的值.命题1)概率密度f (x)是分布函数F (x)的导函数.2)分布函数F (x)是概率密度f (x)的一个原函数.分布函数F (x)概率密度 f (x)注已知F (x)已知f (x) 设随机变量

7、X的分布函数为求f(x)例2显然, F (x)处处连续,解除去x=0及x=2之外， F (x)可导且导数连续.可规定，当 或 时, 法1:1)3)2)X的概率密度为: 分段求导,规定导数不存在点的值为0X的概率密度为: 法2:直接对分段函数求导注是不同的,都是X的概率密度.随机变量的取值-取遍区间内所有点1)2)试求：1) 常值 A;2) X 的分布函数；3)设连续型随机变量X的概率密度例3其他0121)解1201202)0 xx01xxxxxx故X的分布函数为3)法2: (利用分布函数)法1:(利用概率密度)三、离散型与连续型随机变量的比较离散型连续型项目类型可能取值概率微元及性质分布函数及性质取值特点数轴上一些离散的点连续变动的x充满某一区间右连续的阶梯函数,在 处有间断上升的上升的连续函数,(连续点)不一定为0必为0小结Summary1.连续型随机变量X及其分布函数2. 概率密度函数性质性