线性系统的能控性判据分析

1、线性系统的能控性判据分析摘要：能控性是线性系统的一个基本结构特征，它的出现对于系统控制和系统估计问题的研 究具有重要意义。本文主要讨论线性系统的能控性判据。其中，能控性的判据分析有很多种 方法，最常用的及时约旦标准型方法。一：问题的提出设计一个线性系统，我们总是希望所施加的控制u(t)能完全控制系统的运 动状态，而不希望出现失控现象。因此，判断一个系统能控性问题就显得尤为重 要。能控性是从状态的控制能力方面来揭示了控制系统的一个基本属性。现代控 制理论的许多基本问题，如最优控制和最优估计，都是以能控性为存在条件的。能控性定义能控性的直观讨论从状态空间的角度进行讨论：输入和输出构成系统外部变量，

2、状态为系统内部 变量。能控性主要看其状态是否可由输入影响。每一个状态变量的运动都可由输 入来影响和控制，由任意的始点到达原点，为能控，反之为不完全能控。具体来说 就是指外加控制作用u(t)对受控系统的状态变量x(t)和输出变量y(t)的支配 能力，它回答了 u(t)能否使x(t)和y(t)作任意转移的问题。二：问题的解决我们利用线性系统的能控性判据来判断其能控性。设线性定常系统状态方程为：X = Ax + Bu,x(0) 二 %,t 0(1)x为展隹状态向量,u为 维输入向量,A, B为n x n, n x p常阵.能控性判据：格拉姆矩阵判据线性定常系统(1)为完全能控的充分必要条件是，存在时

3、刻 0，使如下定义的格拉姆(Gram)矩阵W0, t = j W - AtBBre - ATdt为非奇异其中，该判据的证明用到了范数理论中的矩阵范数，在此不再赘述。秩判据线性定常系统(1)为完全控的充分必要条件是rank B: AB : An-1B = n其中n为矩阵A的维数,Q = B:AB:An-1B称为系统的能控性判别阵.C3.PBH秩判据线性定常系统（1）为完全能控的充分必要条件是，对矩阵A的所有特征值X (i = 1,2,n)均成立rankX I A,B = n i = 1,2,nii或等价地表为rank sI A, B = nVs e N也即(sI A)和B是左互质的.4- PBH

4、特征向量判据线性定常系统（1）为完全能控的充分必要条件是A不能有与B的所有列 相正交的非零左特征向量。也即对A的任一特征值，使同时满足atB = 0的特征向量a三0.5.约当规范形判据线性定常系统完全能控的充分必要条件是：有系统的对角规范形（1）当矩阵A的特征值入1,入2,An为两两相异时有系统的对角规范形x + Bu其中b不包含元素全为零的行。当矩阵A的特征值为入1（。1重）, 其中b不包含元素全为零的行。当矩阵A的特征值为入1（。1重）, 有约当规范形入 2（。2 重），.入 n（ o n 重）,且（。1 +。2+. + 。l) = n 时，1J2b =3 11B 2Jl(nx p)b1-

5、 lG x0其中： 八A = nxnJi1Jia*bi9 x p)bJ1bi 2J ikr xrbik(k = bik(k = 1,2，,a,)的最后一行所组成的矩阵b1bi 2对i=1,2,.,l均为线性无关bia -Ii-11-1-11-1-100-1111000000-1-1(21 - A)=00001100001-1_ 0000-11 _试判断其能控性。解：(1)计算特征值。Det(sI-A)=(s-2)5s可以求得其特征值X1 =2, X2 =0(2)计算重特征值X1 =2，的几何重数.由Rank(2I-A)=43-11100 一10_11-1-100-1100201121Ux =x

6、 +0002-1-10-100001102_000011 _10 _(3)对重特征值X1 =2计算Rank(2I-A)m =6-vm中的vm，其中取m=0,1.对 此，由(2I-A)0=I，Rank(2I-A) 0=6,可知 V0=0，由此可以求得 V=2，v?=4, v3=5(4)确定矩阵A的属于特征值X1 =2的广义特征向量组，首先列出下表：v3-v2=1v2-v1=2v1-v0=1VOL V11V%= V(1) 12=- (2I-A) V12V(2)“= - (2I-A) V”Vd), =(2I-A)2 V12由满足(2I-A)3V11=0, (2I-A)2V110 定出一个独立型列向量

7、 V11=0 0 1 0 0 0t .由 此，可导出各个导出型列向量为：V(1) 11=(2I-A)2 V11=2 2 0 0 0 0t，V(2) 11= - (2I-A) V11=1 -1 0 0 0 0tV( 3)11= V11=0 0 1 0 0 0t,再之，由满足V12, V12(2)线性无关，(2I-A) 2V12=0，(2I-A) V疽0可以定出一个独立型列向量V12=0 0 1 -1 1 1 t.。由此，可导出各个导出型列向量为 V(1) 12=(2I-A) V12=0 0 2 -2 0 0t , V(2)12= V12=0 0 1 -1 1 1t确定矩阵A的属于特征值灼=0的特

8、征向量。由(灼I-A)V2=AV2=0 求得其一个特征向量为V2= V12=0 0 0 0 1 -1t组成变换阵Q并计算Q-1 .对此有210000 一1/41/40000 一2-100001/2-1/20000001210逆矩阵p=001100000-2-10000-1/2-1/4-1/400001100001/21/2_ 00001-1_ 00001/2-1/2_Q =(7)导出其状态方程的约当标准型，对此有，210000 -01/4 -0210001-1/2002000X + =20000210-1/400000201/21_00000。_-1/21 _X = PAQX + PBU = Q =U组成如下矩阵对应于扃=2和X2=0的各约当小块的末行，找出B矩阵的相应行，组成如下矩阵1/2线