纸扇中的黄金分割

1、纸折扇中的黄金分割北京五中丁文青问题的来源与思考我国素有“扇子王国”之称，上下五千年历史的文明古国有着三千年源远流长的纸扇业， 使扇子文化成为民族文化的一个重要组成部分.扇子种类繁多，有熠熠发光的孔雀毛扇，典 雅名贵的象牙扇，芳香馥郁的檀香扇，清新轻巧的纸折扇，精美绝伦的黑纸扇，还有麦秆扇、 竹编扇、芭蕉扇等等.其中，我最喜爱纸折扇.纸折扇不仅体现着我国诗、书、画艺术的结 晶，而且其苍劲有力的扇骨也向我们展现了一种瑰丽的结构艺术.寒假期间，我翻出家中的全部纸折扇，发现这些纸折扇在展开时，两边夹角度数虽不尽 相同，但相差不太大.那么，纸折扇展开角度大约为多少？又是怎样被确定下来的呢？对于保障扇风

2、的功能而言，纸折扇两边夹角度数不应太小，要保障其具有一定面积；对 于保障其耐用性和使用舒适度而言，纸折扇两边夹角度数不应太大.那么，是否有为其满足 美观的需求，而对两边夹角度进行控制？我想，目前纸折扇的艺术价值或美学价值早已超出 其使用价值.想到美观的设计需求，不由得使我想到了黄金分割.是的，对于黄金分割，人们谈论的 内容很多，但主要有以下两个方面：数学意义和美学价值.于是我大胆地设立了我的猜想： 纸折扇的展开角度是根据黄金比例而确定的，或者美丽的纸折扇中蕴含着黄金比例.测量与推算2.1网上纸折扇展开角度的测量与计算（1）从Internet网上下载16个清晰的纸折扇的正面拍摄图，其示意见图1

3、（左）所示.图1网上纸折扇示例（2）使用图片处理软件Macromedia Fireworks，在纸折扇两侧画出两边扇骨的平分线， 并交于扇轴处，如图1 （右）所示.（3）使用量角器测量两条平分线的夹角，并进行记录，见表1所示：表1网上纸折扇展开角度的测量值单位：度（）扇子序号测量值单位：度（）扇子序号测量值11402144313341365132613571468146扇子序号测量值913710145111461213313139141281513616126（4）计算网上纸折扇展开角度的平均值成=-1丈6测量值.对37.4 .2.2实物纸折扇展开角度的测量与计算2.2.1展开程度的定义和计算

4、在网上纸折扇夹角的测量中（如图1所示），纸扇未全部展开，但从网上看它们的展开 程度基本相同.为测量实物纸折扇展开夹角，同样要保持这些实物纸折扇的展开程度相同. 不同纸折扇的自然展开程度不同，那么在实际测量中应如何控制呢？应先制定一个统一的展 开度，以此作为要测量纸折扇展开程度的标准.这里我选择展开程度用扇叶间的夹角表示， 如图2纸折扇的俯视图中的角A.当角Ae 100。时，纸折扇的展开程度与网上纸折扇的展开 程度相当，同时也是观看或使用时经常展开的角度.BC图2纸折扇的俯视图由于在测量中难以控制折扇的展开度，所以先测折扇展开程度参数，然后进行计算.设 扇子的半径为R，扇骨的数目为g，折宽为a，

5、扇面外沿弧长为L，纸折扇展开角度为a， 见图3所示.图3纸折扇展开程度参数的定义一、，.A 八根据以上定义，L= 2si-a(g-2) + sma + 2a ,AAA即：L= sin a(2g -3) + 2a，2a L=兀R.180。.A _ a即：sin 一 a(2g - 3) + 2a =兀R .：2180。Asin a(2g -3) + 2a那么 a = 2x 180。.兀R2.2.2测量与计算选取8把纸折扇，测量其折宽a,记录其扇骨的数目&，测量其半径R,测量值见 表2所示.八sin50o(2g - 3)a + 2a 将以上数值分别代入以=土x 180o进行计算，所得结果见表3兀R所

6、示1 z计算实物纸折扇展开角度的平均值，即：以=8 ai 137.1。i=1表2实物纸折扇展开角度参数的测量值扇子序号a/cmg/条R/cm11.852023.0021.902023.1031.801821.0041.502521.5051.602021.3061.851823.5071.402521.2081.801922.80表3实物纸折扇展开角度的计算值扇子序号a /。1139.842143.003133.974151.925130.606123.047143.808130.322.3纸折扇的展开角度与剩余圆心角关系的推算按网上纸折扇展开角度的平均值a - 137.4。，计算纸折扇展开角

7、度a与剩余圆心角的比值y：137.4。y=一成丁 R 0.617，该值与黄金分割率0.618近似.360。 137.4。按实物纸折扇展开角度的平均值a =137.1。，计算纸折扇展开角度a与剩余圆心角的比值y：137.1。 匚y=f 厂R 0.615，该值也与黄金分割率0.618近似.360。137.1。按网上纸折扇和实物纸折扇展开角度的平均值以0137.2。，计算纸折扇展开角度a与 剩余圆心角的比值y：137.2。、二,y=一待k R 0.616 ,该值与黄金分割率0.618近似.360。 137.2。以上的测量与推算结果表明纸折扇的展开角度与剩余圆心角的关系基本符合黄金比率.3.分析3.1

8、纸折扇展开角度的确定两千多年前，古希腊数学家欧多克斯（Eudoxus）发现：将一条线段AC分割成大小两条线段AB、BC，若小段BC AB C与大段AB的长度之比等于大段AB与线段AC的长度之 比，即：在一条线段AC上，有一点B,若BC在一条线段AC上，有一点B,若BCAB=AB 则 BCAC”AB的比值为这个值被称为黄金分割率，为0.618 033 988 749 89，这种分割称为黄金分割点B叫做线段AC的黄 金分割点.根据以上原理，按黄金分割设计的纸折扇，是指将一个圆面按黄金分割比例进行分割后图4得到的较小扇形：图4设在一个圆中纸折扇展开角度为x，如图4标记.x。-5 1若 =一，则纸折扇

9、展开角度x。- 137.50 .360。 x。2通过以上分析，可以采用黄金分割方式设计纸折扇，纸折扇的展开 角度大约为黄金分割的内涵试想，如果纸折扇不按黄金分割的角度设计，那么这样的纸折扇美观吗？我想如果纸 折扇展开角度太小或太大就会不美观也不实用.也许是先入为主，也许是对黄金分割带有数 的崇拜、特定含义的崇拜.在现代汉语词典注解中解释道，“黄金分割”因这种比例在造型上比较美观而得 名.一个体形完美（或理想）的人，肚脐是人体的黄金分割点，而膝盖又是人体肚脐以下部 分的黄金分割点.举世闻名的完美建筑一一古希腊巴特农神殿的大理石柱廊高恰好占整个神 殿高度的0.618 .文明古国埃及的金字塔，形似方

10、锥，大小各异，但这些金字塔的高与底面 的边长的比都接近于0.618.达芬奇的名画最后的晚餐中，犹大的形象就正处在黄金 分割点上.现代书籍、报刊的长宽比例等等，几乎在所有与视觉艺术有关的领域，都不约而 同地应用了 0.618这一分割系数.由此看来，黄金分割蕴含着数学意义和美学价值的双重 内涵.数学和美学之间原是天涯若比邻，中国传统的纸折扇蕴含着黄金分割理论.4.应用为制作扇面展开角度为137.5 （扇叶夹角为100），符 合黄金分割比例的纸折扇面，需要符合的数值应该有哪些呢？ 这些数值又应满足什么关系呢？假设要制作折扇的半径为R，扇面的半径为r，扇骨的数目 为g.在我收集到的纸扇中，扇面的长度与

11、扇子的半径的比值近 似于0.56，r=0.56R.分别以R、0.44R的半径在纸上画两个同 心圆，如图5所示.求：扇面制作的夹角6.设折宽为a，_137.5FR设折宽为a，则 a= 180in50(2g 3) + 2，L= (2g-1) a=137.5。兀 R(2g 1) 180lsin50(2g 3) + 2L= (2g-1) a=137.5。所R(2g 1)180。_ 137.5(2g 1)所以，要制作的扇面为外径为R，内径为0.44R的同心圆中137.5o(2g 1)sin50o(2g 3) + 2所对应180oin50o(2g 3) 所以，要制作的扇面为外径为R，内径为0.44R的同心

12、圆中137.5o(2g 1)sin50o(2g 3) + 2所对应的部分，所需扇骨为g条，折宽为180。扇50。侥-3） + 2.5.结束语黄金分割这一数学发现，不仅在数学领域内有着深远的影响，同时它也潜移默化地影 响着我们的审美观、思想和行为.纸折扇中蕴含着黄金分割理论，这仅仅是小小的例子.黄 金分割与自然界及生活中的许多最佳状态或审美有着密切的联系，等待着我们的探索、发现 和运用.在这次的数学应用论文写作实践过程中，我受益匪浅.首先，我尝试了应用知识的基本 方法.即在以前的学习基础上，从生活的点滴入手，对所关注的事物进行探究，发现并最终 达到一定的认知程度并加以应用.其次，我认识到对于事物的探究应是全面的，即对其各个 方面都要有所了解、有所关注.在分析纸折扇的过程中，我对与纸折扇相关的中国民间文化 有了一定的了解，为博大精深的民族文化所熏陶.使我在分析单一问题的同时，拓宽了认知 范围.再次，我认识到对于任何事物的探究应抱以一种正确的认知态度.第一，有恒心.测 量数据是一个非常艰巨的过程.枯燥无味，但又要精益求精，要求我们有定力.第二，不断 进取.在纸折扇展开角度的测量过程中，我先后采用了三种方式，每一种方式选择都是基于