2018年6月浙江省高中学业水平考试数学试题(解析版)

1、2018 年 6 月学业水平考试数学试题一、选择题 (本大题共18 小题 ,每小题 3分,共54 分 .每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的 ,不选、多选、错选均不得分)1. 已知集合 A1,2 ， B2,3 ，则 AB（）A. 1B.2C.1,2D.1,2,3【答案】： B【解析】：由集合A1,2 ，集合 B2,3，得 AB 2.2.函数 ylog 2 ( x1) 的定义域是（）A. (1, )B.1,) C.(0,)D.0,)【答案】： A【解析】：ylog 2 (x1) ， x10 ， x1 ，定义域是( 1,) .3. 设R ，则 sin() （）2A. sinB.sinC

2、.cosD.cos【答案】： C【解析】：根据诱导公式可以得出sin() cos .24. 将一个球的半径扩大到原来的2 倍，则它的体积扩大到原来的（）A. 2倍B.4 倍C. 6倍 D.8 倍【答案】： D【解析】：设球原来的半径为r ，则扩大后的半径为2r ，球原来的体积为4 r 3，球后来的34(2 r )332 r 332r 338 .体积为3，球后来的体积与球原来的体积之比为4r 33315.双曲线 x2y 21 的焦点坐标是（）169A. (5,0) ， (5,0)B.(0,5) ， (0,5)C. (7,0) ，(7,0)D. (0,7) ， (0,7)【答案】： A【解析】：因

3、为a 4， b3 ，所以 c5，所以焦点坐标为( 5,0)， (5,0) .6.已知向量 a( x,1) ， b(2,3) ，若 a / /b ，则实数 x 的值是（）A.223D.3B.C.2233【解析】： a( x,1) ， b(2,3) ， a / / b ，得3x 20 ，所以解得x2.答：A37.xy0，则 x y 的最大值为（设实数 x ， y 满足y30）2xA. 1B.2 C.3D.4【解析】：作出可行域，如图：当zxy经过点A(1,1)时，有 zmax xy2.答：B8.在ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，已知 B45 ，C30 ， c

4、1 ，则 b（）A.2B.3C.2D.322bccsin B1 sin452【解析】：由正弦定理22.答：Csin B可得 bsin 301sin Csin C29.已知直线 l ， m 和平面， m，则“ lm ”是“ l”的（）A. 充分而不必要条件B.必要而不充分条件C. 充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】：因为“直线和平面垂直，垂直与平面上所有直线”，但是“直线垂直于平面上一条直线不能判断垂直于整个平面”所以是必要不充分条件。【答案】：B210.要得到函数 f ( x)sin(2x) 的图象，只需将函数g(x)sin 2x 的图象（）4A. 向右平移8个单位B.向左平移个单位

5、8C. 向右平移4个单位D.向左平移个单位4【解析】：因为f ( x)sin(2 x)sin 2( x) ，所以要得到f ( x)sin(2 x) 的图484象只需将 g( x)sin 2x 的图象向右平移个单位 . 【答案】： A811.若关于 x 的不等式2xmn 的解集为 ( ,) ，则的值（）A. 与 m 有关，且与 n 有关B.与 m 有关，但与 n 无关C. 与 m 无关，且与 n 无关D.与 m 无关，但与 n 有关【解析】： 2xmnn2x mnm nmn2x2mnmnn ，与 m 无关，但与n 有关 .【答案】： D2212.在如图所示的几何体中，正方形DCEF 与梯形 AB

6、CD 所在的平面互相垂直，N ，AB6， ADDC2， BC23 ，则该几何体的正视图为（）A.B.C.D.【解析】：画三视图要注意：可见轮廓线要用实线，不可见轮廓线要用虚线，所以选C.13.在第 12 题的几何体中，二面角EABC 的正切值为（）3A.3B.3C. 1D.2 3323【答案】： D【解析】：过点C作CMAB 连接 EM, 因为平面 DCEF 与平面 ABCD 垂直且ECDC ，所以EC平面 ABCD,所以 ECAB ,所以AB平面 EMCEMC，所以即是两平面的二面角. 过 C 作 CN / /AD ，所以四边形ADCN 为平行四边形，所以CN2， CB=23，BN 4 ,所

7、以 CM3 , tanEMCEC2 3CM314.如图， A ， B 分别为椭圆 C : x2y21(ab0) 的右顶点和上顶点，O 为坐标原ab点， E 为线段 AB 的中点， H 为 O 在 AB 上的射影，若 OE 平分HOA ，则该椭圆的离心率为（）1B.3C.2D.6A.3333【答案】： D【解析】 ：法一：设EOA， HOA2，则 tanBOb， tan 21aOAakAB，ba2bc6结合正切的二倍角公式知a，化简得 a22，故 ebb23ba.13a2法二： ABa2b2， EAa2b2，2HAOA cosHAOaaa2，HE HAa2b2，a2b2a2b2EAb22 a2O

8、HOA OBab. 由内角平分线定理，OAEA ，代入化简得 a23b2 ，ABa2b2OHEH故 ec6.3三棱柱各面所在平面将空间分为（）A. 14部分B. 18 部分C. 21 部分D. 24 部分4【答案】： C【解析】 ：想象一个没有上下底的三棱柱（上下两边无限延伸），将三棱柱的侧面延伸出来，俯视图如图所示，分成 7 个区域 . 拿两个水平的平面去截（其实就是三棱柱上下底面所在平面），分成上中下三个大块，每个大块 7 个区域，共 21个区域 .( x n)216. 函数 f ( x)e m （其中 e为自然对数的底数）的图象如图所示，则（）A. m0 ， 0n1C. m0 ， 0n1

9、m 0 ， 1 n 0D.m0 ，1n0【答案】： Cx2【解析】： ye m 为偶函数，向右移n 个单位为f (x) ，由图可知 0n1，当 x时，y0 ，故 m0 .17.数列 an 是公差不为0 的等差数列， Sn 为其前 n 项和 . 若对任意的 nN ，有 SnS3 ，则 a6 的值不可能为（）a5A.4B.3C.5D.2323【答案】： A【解析】：由SnS3 可知公差 d0 ， a30 ， a40 .法一：5如图，在数轴上标出数列 an ，不妨设原点 O 到 a4 的距离为 m(0m1) ，公差 d1 .a6m2113则m1,2 .a5m12法二：a6a5d1dd是 a4 a5

10、占Oa5 的比值，这个比值与m 的a5a5，由上图可知，a5a5大小有关， m 越大，这个比值越小，所以d 1 ,1 ， a63,2.a52a5218. 已知 x ， y 是正实数，则下列式子中能使xy 恒成立的是（）A. x21B.1y1C.x21D.1y1yyxxyyxxx2yx2 y【答案】： B【解析】：对于A，取 xy ，该不等式成立，但不满足xy ；对于 C，该不等式等价于12x0， y1，该不等式成立， 但不满足 xy ；xy，取xy对于 D，该不等式等价于110 ，y1，该不等式成立， 但不满足 xy ；xy，取 xx2 y下面证明 B法一：该不等式等价于1y11y11x，而

11、xx2 yy.x2 yy函数 f ( x)x1) 上单增，故 xy .在 (0,x法二：若 xy ，则 11，故 x1y1，矛盾 .2yx2 yx二、填空题 (本大题共4小题,每空 3分 ,共 15 分 .把答案填在题中的横线上)19. 圆 ( x 3)2y 21的圆心坐标是 _，半径长为 _.【答案】：(3,0) ； 1.【解析】：因为圆(x3)2y21，所以圆心坐标为(3,0) ，半径 r1.6如图，设边长为 4 的正方形为第 1个正方形， 将其各边相邻的中点相连， 得到第 2 个正方形，再将第 2 个正方形各边相邻的中点相连，得到第 3个正方形，依此类推，则第6个正方形的面积为 _.【解

12、析】：第 1 个正方形边长为4，面积 S116, 第二个正方形边长为2 2，面积 S28 , 以此类推得到Sn16，所以 S612n 1221.已知 lg alg blg( a b) ，则实数 a 的取值X围是 _.【解析】：易得aab ，故 abb2b112 .b1b1b11bb0由 ab0 得b2，故 b1，所以 a2 24.b1022.已知动点 P 在直线 l : 2xy2 上，过点 P 作互相垂直的直线PA ， PB 分别交 x 轴、y 轴于 A 、B 两点，M 为线段 AB 的中点， O 为坐标原点， 则 OMOP 的最小值为 _.【解析】：设 P(t,22t) ， lPA : m(

13、 y2t2)xt ， A(2 mt2mt,0)，l PB : y 2t2m(xt) ， B(0, mt2t2) ，故 M (mtmt , mtt1) .22OMOPt (m(t 1)tmt1)t 22(1t )25t24t2) 2(1t )(t222.225三、解答题 (本大题共 3 小题 ,共 31分 .解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)(本小题满分 10 分 )已知函数13f ( x)sin xcos x ， x R .22（）求f () 的值；6（）求函数f ( x) 的最大值，并求出取到最大值时x 的集合 .【答案】：（）1；（）f (x) max1， x | x2k, k

14、Z .67【解析】：（） f ( )1 sin63 cos613162244.（）因为 f ( x)cossin xsincos x sin( x) ，所以，函数f (x) 的最大值为1，333当 x2k，即 x 2k6(k Z ) 时， f (x) 取到最大值，所以，取到最大值时32x 的集合为 x | x2k, kZ .624.(本小题满分 10分)如图，直线 l 不与坐标轴垂直，且与抛物线C : y2x 有且只有一个公共点 P .（）当点 P 的坐标为 (1,1)时，求直线 l 的方程；（）设直线 l 与 y 轴的交点为 R ，过点 R 且与直线 l 垂直的直线 m 交抛物线 C于 A，

15、B两点.当 RARB2RP 时，求点 P 的坐标 .【解析】：（）设直线l的斜率为 k (k0)，则 l 的方程为 y1k ( x1)，联立方程组y 1 k( x 1)y 1 k0 ，由已知可得1 4k (1k)0 ，解得y2，消去 x ，得 ky2xk1，故，所求直线 l 的方程为 x 2 y10.2（）设点 P 的坐标为 (t 2 ,t) ，直线 l 的斜率为 k (k0) ，则 l 的方程为 ytk( xt 2 ) ，y tk( xt 2 )yt kt 20 ，由已知可得联立方程组x，消去 x ，得 ky2y214k(t kt 2 )0 ，得 k1(t 0)，所以，点 R 的纵坐标 tk

16、t 2t ，从而，点 R 的2t2纵坐标为 (0, t ) ，由 ml 可知，直线 m 的斜率为2t，所以，直线 m 的方程为 y2txt.22设 A( x1 , y1 ) ， B( x2 , y2 ) ，将直线 m 的方程代入 y2x ，得 4t 2 x2(2 t 21)xt 20 ，4所以(2t 2 1)24t 44t 210 ， x1x21，又 RA14t 2 x1，16RB1 4t 2 x221 t 2 ，由 RA RB2t41 t2 ， RPt 4RP ，得 (1 4t 2 ) x1 x2448即 1(14t2 ) t 41t 2，解得 t1，所以，点P 的坐标为 (1,1) .16424225.(本小题满分10分)设函数f (x) 3 ax( x a) 2 ，其中 aR .（）当 a1 时，求函数f (x) 的值域；（）若对任意 x a,a1 ，恒有 f ( x)1，XX数 a 的取值X围 .【解析】：（）当ax25x1, x01时， f ( x)2x1, x，x0（）当（）当x0时， f ( x)( x5)221，此时 f ( x)(,21 ；244x0时， f ( x)( x1 )23，此时 f (x)(,3 ，244由（）（），得f (x) 的值域为 ( , 21 .4（）因为对任意x a, a1 ，恒有 f (x)f ( a)1，即