专题2导数的概念及应用

1、导数的概念及应用（教师版） 高考在考什么【考题回放】1 文函数f ( x)x33x21是减函数的区间为(D).(2,). (,2). (,0). (0, 2)1（理）函数y=xcosx-sinx 在下面哪个区间内是增函数（B）A (, 3)B (,2)C ( 3, 5)D (2,3 )22222 若曲线yx4 的一条切线l 与直线x4 y80 垂直，则l 的方程为AA 4xy30B x4 y50C 4xy30D x4 y303. 函数f (x)x3ax 23x9 ，已知f (x) 在x3 时取得极值，则a =（B）A.2B.3C.4D.54. 在函数yx 38x 的图象上，其切线的倾斜角小于的

2、点中，坐标为整数4的点的个数是 A 3B2C1（DD 0）5 曲线 y x3 在点 (1,1)处的切线与x 轴、直线x 2 所围成的三角形的面积为_8/3_6. 设 a 为实数 , 函数f (x)x3x2xa.( )求 f(x)的极值 .( )当 a 在什么范围内取值时 , 曲线 y= f (x)轴仅有一个交点 .2若 f ( x) =0，则 x = 1 ， x =1 3当 x变化时， f (x) ， f ( x) 变化情况如下表：x(， 1) 11，1)， 33(1(1+)3f (x)+00+f (x)极大值极小值? f(x)的极大值是 f (1)5a ，极小值是 f (1)a1(II) 函

3、数 f ( x)x3x23271)2 ( x 1) a 1xa ( x由此可知，取足够大的正数时，有f(x)0，取足够小的负数时有f(x)0，所以曲线 y= f(x)与 x 轴至少有一个交点结合 f(x)的单调性可知：5 ) 时，它的极小值也小于当 f(x)的极大值 5a0 即 a (1，+)时，它的极大值也大于 0，因此曲线 y= f(x)与 x 轴仅有一个交点，它在 (， 1 )上。3?当 a (,5 ) (1，+)时，曲线 y= f(x)与 x 轴仅有一个交点27 高考要考什么【考点透视】（ 理科）1 了解导数概念的实际背景 ,掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概

4、念。2 熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则 .了解复合函数的求导法则 .会求某些简单函数的导数。理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件。会求一些实际问题的最值。（文科）了解导数概念的某些实际背景。理解导数的几何意义。掌握函数， y=c(c 为常数 )、y=xn(n N+)的导数公式，会求多项式函数的导数。理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念 .并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值。会利用导数求某些简单实际问题的最值。【热点透析】考查导数的概念和某些实际背景，求导公式和求导法则。导数的简单应

5、用， 利用导数研究函数的单调性和极值，复现率较高。综合考查，包括解决应用问题， 将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性、方程根的分布、解析几何中的切线问题等有机的结合在一起，设计综合试题。 高考将考什么【范例 1】 已知函数f (x)ax3bx23x 在 x1处取得极值 .1）讨论 f (1) 和 f ( 1) 是函数 f(x)的极大值还是极小值；2）过点 A(0, 16) 作曲线 y= f(x)的切线，求此切线方程 .（ 1）解： f ( x)3ax22bx3 ，依题意， f(1)f (1)0 ，即3a2b30,3a2b30.解得 a1,b0 . ? f ( x) x33x, f (

6、x)3x233( x1)( x 1) .令 f (x)0，得 x1, x 1 .若 x(,1)(1,) ，则 f ( x)0，故f(x)在 (,1) 上是增函数，f(x)在 (1,) 上是增函数 .若 x( 1,1) ，则 f (x)0 ，故 f(x)在 (1,1)上是减函数 .所以， f (1)2 是极大值；f (1)2是极小值 .（ 2）解：曲线方程为yx 33x，点 A(0,16)不在曲线上 .设切点为 M (x0 ,y0 ) ，则点 M 的坐标满足 y0 x033x0 .因 f (x0 )3(x021) ，故切线的方程为yy03( x021)( x x0 )注意到点 A （ 0， 16

7、）在切线上，有16 ( x033x0 )3( x021)(0 x0 )化简得 x038 ，解得 x02 .所以，切点为 M( 2,2) ，切线方程为9xy160.【点晴】 过已知点求切线，当点不在曲线上时，求切点的坐标成了解题的关键 .【文】322已知函数 f （x） x ax bxc 在 x与 x1 时都取得极值(1)求 a、b 的值与函数 f （x）的单调区间； (2)若对 x 1， 2，不等式 f （ x） c2 恒成立，求 c 的取值范围。解：（1）f（x）x3 ax2 bxc，f （x）3x22axb由 f （ 2 ） 12 4 a b0 ，f （1）32ab0 得 a 1 ， b3

8、9322（ x） 3x2 x 2（ 3x 2）（ x1），函数 f(x)的单调区间如下表：x（，2） 2（2， 1）1（，）3331f （x）00f（x）极大极小值值所以函数 f （x）的递增区间是（， 2）与（ 1， ），递减区间3是（ 2 ，1）3（ ）（x）3122xc，x 1， 2，当x2时， f（ ）2 f x2x3x22 c27为极大值，而 f（2） 2 c，则 f（ 2）2c 为最大值。要使 f（x） c2 （ x 1，2）恒成立，只需 c2 f（2）2c，解得 c 1 或 c 2【范例 2】设函数 f xx21ax a0 ，求 a 的取值范围，使函数f(x)在区间 0,上是单调

9、函数。11x解： f xx21 2x21a1a a02x 2x1x21(1)当 a1时， f xxa0 恒成立，f(x) 在区间 0,上是x 21减函数。（2）当 0a1时，解不等式f x0 得 xa1a 2a在0,上 f(x) 是单调递减速函数1a2afx0 得 x1a2在a上 f(x) 是单调递增函数,1a 2综合得：当且仅当 a 1时， f(x) 在区间 0,上是单调函数。【点晴】 由导数研究函数的单调性在学习中要引起足够的重视【文】设 t0 ，点 P（ t ，0）是函数 f(x)x3ax与g xbx 2c 的图象的( )一个公共点，两函数的图象在点P 处有相同的切线 .（）用 t 表示

10、 a，b，c；（）若函数 yf ( x)g( x) 在（ 1，3）上单调递减， 求 t 的取值范围 .解：（）因为函数f(x)，g(x)的图象都过点（t， ），所以 f (t )0，I0即 t 3at0 .因为 t0, 所以 at 2 .g(t)0,即 bt 2c0, 所以 cab.又因为 f (x) ， g( x) 在点（ t ， 0）处有相同的切线，所以 f (t )g (t ).而 f ( x)3x 2a, g (x)2bx,所以 3t 2a2bt.将 at 2 代入上式得 bt.因此 cabt 3. 故 at 2 ，bt ，ct 3 .（II）解法一y f ( x)g( x)x3t 2

11、 xtx 2t 3 , y3x 22tx t 2(3xt)( xt ) .当 y(3xt)( xt )0时，函数 yf (x)g (x) 单调递减 .由 y0 ，若 t0, 则txt ；若 t0, 则 t xt .33由题意，函数 yf ( x)g( x) 在（ 1， 3）上单调递减，则( 1,3)(t , t)或 ( 1,3)(t,t ).33所以 t3或t3.93.3即 t或 t又当9t3时，函数 yf ( x)g (x) 在（ 1，3）上单调递减 .所以 t 的取值范围为 (, 9 3,).解法二：y f()()x32x tx2t3 ,y3 222(3x t)(x t)xg xtxtx

12、t因为函数 yf ( x)g( x)在（ 1，3）上单调递减，且 y(3xt)( xt ) 是（ 1， 3）上的抛物线，y |x10,( 3t )(1t)0.9或 t3.所以即(9t )(3t)0.解得 ty |x30.所以 t 的取值范围为 (,93,).】设定义在R上的函数 fxa0 x4 a1x3 a2x2 a3x其中 ai ，i【范例 3( )+(R 0， 1， 2， 3) ，当 x222 时， f ( x) 取得极大值3 ，并且函数y f ( x)的图象关于 y 轴对称。求 f ( x) 的表达式；试在函数 f ( x) 的图象上求两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标

13、都在区间 1， 1 上；2求证： | f (sin x) f (cos x)| 3 )( xR)解：f xa0 x3a1x2 a2x a3 为偶函数。( )4f32+?a0a2 ，?(x a1 x3a3x0)又当 x222时， f ( x) 取得极大值32212f ( 2 ) 3，2 3?2解得 a 3，? f ( x) x， f ( x) 2x2a3 ，3x 1f ( 2)0，1解：设所求两点的横坐标为x1、x2，则 (2 x12 1)(2 x22 1) 1又 x1，x2 1， 1 ，? 2x121 1， 1 ，2x22 1 1， 1? 2x121，2x2 21 中有一个为 1，一个为 1，

14、1x1 0，x21，?所求的两点为 (0 ，0) 与(1 ， 3) 或 (0 ，0) 与( 1，13) 。证明：易知sin x 1， 1 ，cosx 1，1 。22当 0 x 2 时， f ( x)0 ；当 2 x0 。22?f ( x) 在 0 ， 2 为减函数，在 2 ，1 上为增函数，221又 f(0)0，f (2 )3 ，f (1) 3，而 f ( x) 在 1，1 上为奇函数，?f(x在 ，1上最大值为22)1332222?f (sinx) 3 ， 3 ，f (cos x) 3， 3 ，? | f (sinx) f (cos x)| |f (sin x)| f (cos x)|22

15、3【点晴】本题证明不等式的关键是转化为求最值问题【文】已知 f(x)是二次函数，不等式f(x)0 的解集是 (0,5)且 f(x)在区间 -1,4上的最大值是 12。（ I）求 f(x)的解析式；（ II ）是否存在实数 m 使得方程370 在区间 (m,m+1)内有且只有f ( x)x两个不等的实数根？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由。解：（I）f ( x) 是二次函数，且 f ( x) 0 的解集是(0,5),可设 f ( x)ax( x5)(a0).f(x)在区间1,4 上的最大值是f ( 1)6a.由已知，得6a12,a2,f (x) 2x(x5)2x2 10 x( xR

16、).（ II ）方程 f ( x)370 等价于方程 2x310 x2370.x设 h( x) 2x3 10 x237, 则 h (x)6x220 x 2x(3x10).当 x(0, 10 ) 时， h ( x)0, h(x) 是减函数；3当 x(10 ,) 时， h ( x)0, h(x) 是增函数。3h(3)10, h(10)10, h(4)50,327方程 h(x )1010内分别有惟一实数根，而在区间33(0,3),(4,) 内没有实数根，所以存在惟一的自然数 m3, 使得方程 f (x)37在区间 (m, m1) 内0 x有且只有两个不同的实数根。【范例 4】已知函数 f ( x)l

17、n(exa)( a0) .（1）求函数 y= f (x)的反函数 y f1 (x)及f ( x) 的导数 f (x);（ 2）假设对任意xln( 3a), ln(4a), 不等式 | mf 1 ( x) | ln( f (x)0 成立，求实数 m 的取值范围 .解：（1） ex0,y ln a, yf 1 xln exa , x ln a ；yex11exaexa（ 2）xln(3), ln(4), 不等式 |mf1() |ln(f() 0aaxxf 1 xln f xm f 1 xln f xln exa lnexm ln exa lnexaexaexln ex exam ln e2 xa2

18、ex exaeme2xa 2exaexexaex令： u tt tat 2a2ex, t3a,4ata, v tt, tvtt 2a20,t3a,4 a , u tt 22ata20t 2(ta)2所 以 u(t ), v(t )都 是 增 函 数 . 因 此 当 t3a,4a时 ， u(t)的最大值为u(4a)12 a, v(t)的 最 小 值 为 v(3a)8 a, 而 不 等 式 成 立 当 且 仅 当53u(4a)emv(3a), 即 12 aem8 a ，于是得 ln( 12 a)m ln( 8 a).5353解法二：由 | mf 1 (x) |ln(f(x)0得ln( exa)ln(exa)xmln( exa)ln(exa)x.设 (x)ln(exa)ln(exa)x,( x)ln( exa)ln(exa)x,于是原不等式对于 xln( 3a), ln( 4a) 恒成立等价于(x)m( x). 7 分由( x)exex1,( x)exex1，注意到exa exaexa exa0exaexexa, 故有( x)0,( x)0，从而可(x)与 ( x) 均在ln( 3a), ln( 4a) 上单调递增，因此不等式成立