空 间 向 量 在 几 何 中 的 应 用

1、空间向量在几何中的应用班级 姓名知识网络：平面向量推广到 空间向量砂向量渐成为重要工具立体几何问题（研究的基本对象是点、直线、平面 以及由它们组成的空间图形）共线向量基本定理：设向量a黄0,那么向量b与a共线的充要条件是:存在唯一实数入，使得b=Aao共面向量定理：如果两个向量a. b不共线，则向量p与向量a. b共面的充要条件是存在有 序实数对（x.y）,使 p=x a+y b【共面向量定义为：能平移到同一平面上的三个 向量叫做共面向量】思考1：1、如何确定一个点在空间的位置？2、在空间中给一个定点A和一个定方向（向量），能确定一条直线在空间的位置吗?3、给一个定点和一个定方向（向量），能确

2、定一个平面在空间的位置吗？4、给一个定点和两个定方向（向量），能确定一个平面在空间的位置吗？P(x,y,z)一、点的位置向量P(x,y,z)。函0）二、直线的向量参数方程空间中任意一条直线/的位置可以由/上一 个定点S以及一个定方向确定.对于直线/上的任一点P , 存在实数，使得AP = tAB此方程称为直线的向量参数方程。这 样点A和向量a不仅可以确定直线1的 位置，还可以具体写出1上的任意一点。OP=Q4+ta ,OP=xOA+yOB (r+y=1)练习：已知两点A (1,2,3), B (2,1,2)和点P (1,1,2)，点Q在OP上运动。求当QA-QB取得最小值时，点Q的坐标。【答案

3、： ；：；】三、平面的法向量空间中平面a的位置可以由a内两条相 交直线来确定.对于平面a对于平面a上的任一点P, 存在有序实数对3,时,使得OP = xa + yb 这样，点O与向量 a、b 不仅可以确定平面。 的位置，还可以具体表示出a内的任意一 点。除此之外，还可以用垂直于平面的直线的方向向量(这个平面的法向量n)表示空间中平面 的位置.平面的法向量：如果表示向量n的有向线段所在直线垂直于平面a，则称这个向量垂直于平面a，记作n a，如果n a，那么向量n叫做平面a的法向量.给定一点A和一个向量n，那么过点A,以向量n为法向量的平面是完全确定的几点注意：法向量一定是非零向量；个平面的所有法

4、向量都互相平行；向量n是平面的法向量，向量m是与平面平行或在平面内，则有n m=n m=0。求平面法向量的步骤：设出平面的法向量为n=(x, y, z).找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标a=(a1, b1, c1), b=(a2, b2, c2).根据法向量的定义建立关于x, y, z的方程组n-a = O? falx-l-bly-l-clz=O?Ln-b=O.艮a2x+b2y+c2z =0.解方程组，取其中的一个解，即得其中一个法向量.练习：已知疽=】二 =求平面=二的单位法向量。【答案：-匚一；了】思考2:因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们应该可以利用直线的方

5、 向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角等位置关系。四、平行关系设直线的方向向量分别为a,b ,平面。，乃的法向量分别为最贝U线线平行 I / m a /b a = kb ； U * 线面平行 / 6ZUJ_=0 而=0;匚 面面平行 a 8 = u / v u- kv. D注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行 包括线在面内，面面平行包括面面重合.包括线在面内，面面平行包括面面重合.设直线曲方向向量为a = 0，4，q),平而刷法向景为(昭由，&观I /I a o a 上 u = Qo qq + bb2 + cxc2 = 0;

6、五、垂直关系: 设直线/，如的方向向量分别为a,b ,平面a,夕 的法向量分别为a；,则线线垂直 /mo a b a-b = 0 ； 线面垂直 I _L a o a/uoa = ku； 面面垂直 q_LQ = _Lv = v = 0.亡巩固性训练11.设a,b分别是直线i，/的方向向量,根据下列条件，判断i ,i的位置关系 TOC o 1-5 h z 1 21 2a - (2，L2)，b = (6，一3，一6)【】.a - (1，2，-2)，b - (2,3,2)【】a - (0,0,1),b - (0,0，一3)2、 设u，V分别是平面a,p的法向量，根据下列条件，判断a,p的位置关系. T

7、OC o 1-5 h z u = (2,2,5), v = (6,-4,4)【】u = (1,2,-2), v = (2,4,4)【】=(2,-3,5), v =(-3,1,-4)】3、设平面a的法向量为(1,2,-2),平面。的法向量为(-2,-4,k),若a_L0则k= ；若 a / B 则 k=。4、已知，且/的方向向量为(2,m,1)，平面的法向量为(1，1 ,2)，则2m=.5、 若/的方向向量为(2,1,m),平面a的法向量为(1,、2)，且/上，贝Q2m=.6、用向量法证明定理：一条直线与一个平面内两条相交直线都垂直，则该直线与 此平面垂直。已知：直线m，n是平面 内的任意两条相交直线，且1 m, 1 ，求证：I La.六、夹角:设宜