立方和与立方差公式

1、立方和与立方差公式立方和与立方差公式10/10立方和与立方差公式（5）（3x2-2y2）(9x4+6x2y2+4y4)=(3x2-2y2)(3x2)2+3x22y2+(2y2)2=(3x2)3-(2y2)3=27x6-8y6说明：1、注意对公式的理解和记忆（1）项数特色：两项乘三项积为二项，（2）符号特色：二项的因式若两项都为+，则三项的因式符号为+，-，+，积的符号与二项因式的符号同样，二项的因式符号若为+，-，则三项的因式符号为+，+，+，积的符号与二项因式的符号同样，即是说公式在各样条件都符合的状况下，所得的积是两数的立方和仍是两数的立方差，主要看乘积中第一个乘式是两数和，仍是两数差。2

2、、公式中的字母a、b仍代表随意数或代数式。第二阶梯例1利用乘法公式计算：(1)（x+3）(x-3)(x2+9)(2)(a+b)(a-b)(a2-b2)(3)(x-2)(x+2)(x4+4x2+16)(4)(a-b)(a2+ab+b2)(a6+a3b3+b6)提示：1）小题可两次使用平方差公式；2）小题先使用平方差公式，再使用完整平方公式；3）小题先使用平方差公式，再使用立方差公式4）小题两次使用立方差公式。参照答案：(1)(x+3)(x-3)(x2+9)=(x2-9)(x2+9)=(x2)2-92=x4-81(2)(a+b)(a-b)(a2-b2)=(a2-b2)(a2-b2)=(a2-b2)

3、2=(a2)2-2a2b2+(b2)2=a4-2a2b2+b4(3)(x-2)(x+2)(x4+4x2+16)=(x2-4)(x4+4x2+16)=(x2)3-43=x6-64(4)(a-b)(a2+ab+b2)(a6+a3b3+b6)=(a3-b3)(a6+a3b3+b6)=(a3)3-(b3)3=a9-b9说明：碰到多项式的乘法问题，第一应看看能否切合某个乘法公式，如有适合的公式使用可大大简化运算过程。例2运用乘法公式计算：(1)(a+b+c)(a-b-c)(2)(a-2b+3c)(a+2b-3c)(3)(x+2y+z)2(4)(2x-3y-4z)2提示：（1）（2）小题可利用平方差公式进

4、行计算；（3）（4）小题可利用完整平方公式进行计算。参照答案：(1)（a+b+c）(a-b-c)=a+(b+c)a-(b+c)=a2-(b+c)2=a2-(b2+2bc+c2)=a2-b2-2bc-c2(2)(a-2b+3c)(a+2b-3c)=a-(2b-3c)a+(2b-3c)=a2-(2b-3c)2=a2-(4b2-12bc+9c2)=a2-4b2-12bc-9c2(3)（x+2y+z）2=x+(2y+z)2=x2+2x(2y+z)+(2y+z)2=x2+4xy+2xz+4y2+4yz+z2(4)(2x-3y-4z)2=2x-(3y+4z)2=(2x)2-22x(3y+4z)+(13y+

5、4z)2=4x2-4x(3y+4z)+(19y2+24yz+16z2)=4x2-12xy-16xz+9y2+24yz+16z2说明：进行多项式乘法运算时，必定要认真认真地对题目进行察看研究，把不切合公式标准形式的题目加以调整。适合地增添括号，将有益于应用乘法公式，增添括号方式的不一样，可一题多解，如（4）小题还可增添括号为（2x-3y）-4z2，但得出的结果均同样。例3利用乘法公式计算：（1）（x+1）(x-1)(x2+x+1)(x2-x+1)（2）(a+b)(a-b)(a2+ab+b2)(a2-ab+b2)提示：1）小题前两个因式可利用平方差公式计算，后两个因式也可利用平方差公式计算，也能够

6、将第一个因式与第四个因式联合利用立方和公式，第二个因式与第三个因式联合利用立方差公式（2）小题近似。参照答案：1）解法一：22（x+1）(x-1)(x+x+1)(x-x+1)=(x2-1)(x2+1)2-x2=(x2-1)(x4+2x2+1-x2)=(x2-1)(x4+x2+1)=(x2-1)(x2)2+x2-1+12=(x2336)-1=x-1解法二：x+1）(x-1)(x2+x+1)(x2-x+1)=(x+1)(x2-x+1)(x-1)(x2+x+1)=（x3+1）(x3-1)(x3)2-12x6-12）解法一：（a+b）(a-b)(a2+ab+b2)(a2-ab+b2)=(a2-b2)(

7、a2+b2)2-(ab)2(a2-b2)(a4+2a2b2+b4-a2b2)(a2-b2)(a4+a2b2+b4)(a2)3-(b2)3a6-b6解法二：（a+b）(a-b)(a2+ab+b2)(a2-ab+b2)2222=（a+b）(a-ab+b)(a-b)(a+ab+b)(a3+b3)(a3-b3)(a3)2-(b3)2=a6-b6说明：进行整式乘法运算时，要注意察看题目的特色，统观全局，适合地采用所学的乘法公式或用乘法法例进行计算，以上两道小题的解法中，明显解法二先运用立方和，立方差公式，再运用平方差公式，这样做既简易又不易犯错。第三阶梯例1（1）化简化求值：（x+2）(x2-2x+4)

8、+(x-1)(x2+x+1)，此中（2）解方程：（2x+1）2-(x+1)(x-1)-3x(x-1)=0提示：用乘法公式进行化简参照答案：1）（x+2）(x2-2x+4)+(x-1)(x2+x+1)x3+8+x3-12x3+7当时，22）（2x+1）-(x+1)(x-1)-3x(x-1)=0解：4x2+4x+1）-(x2-1)-3x2+3x=04x2+4+1-x2+1-3x2+3x=07x=-2说明：在化简求值和解方程的过程中，假如碰到多项式的乘法，应先察看可否运用乘法公式，假如能运用，好多乘法便可直策应用公式写出结果，这充分简化了计算过程。例2已知a+b=3,ab=-8,求以下各式的值。（1

9、）a2+b2(2)a2-ab+b2(3)(a-b)2(4)a3+b3提示：由完整平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2,可知a2+b2=(a+b)2-2ab,利用已知条件可求出a2+b2的值，再分别代入（2），（3），（4），可求出（2），（3），（4）式的值。注意，第（4）小题应逆用立方和公式。参照答案：a2+b2=(a+b2)-2ab=32-2(-8)=9+16=25a2-ab+b2=a2+b2-ab=25-(-8)=25+8=33(3)(a-b)2=a2-2ab+b2=a2+b2-2ab=25-2(-8)=25+16=41(4)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)(a

10、2+b2-ab)=325-(-8)=333=99说明：灵巧运用公式变形和逆用公式，这些都是常用的解题技巧。例3若两个连续自然数的平方差是17，求这两个自然数的和提示：设一个自然数为x,另一个自然数为x+1，依据题意，列出方程，求出这两个自然数，进而求出它们的和参照答案：解：设这两个连续自然数是x,x+1依据题意得，(x+1)2-x2=17x2+2x+1-x2=172x+1=172x=16x=8x+1=8+1=9x+(x+1)=8+9=17答：这两个自然数的和是17。说明：解方程时还可逆用平方差公式(x+1)2-x2=（x+1+x）(x+1-x)=2x+1四、检测题A组选择题1以下各式能用平方差

11、公式进行计算的是（）（a+2）(-a-2)B.(-x-y)(y-x)C.D.(2x+y)(x-2y)2若16x2+mxy+81y2是一个完整平方式，则m的值为（）D.723a3-27b3的一个因式是（）+3ab+9b2+3ab+9b2+b2+b24若x+y=9,xy=16，则x2+y2=()填空题1、（3x+2y）=()=9x2-4y22、（-1+2a）(-1-2a)=()3、（+y）2=()4、x2+x+()=5、9x2-()+49y2=(3x-7y)26、(2a+3b)(4a2-6ab+9b2)=()7、()(m4-m2+1)=m6+18、a2+b2=(a+b)2-()9、(a+b)22=(a-b)+()10、(p2-q)()=p6-q3B组1、计算：(1)（x+2）(x-2)(x2+4)(2)(x-y+1)(x+y-1)2(3)(a+b+c)(4)(x+3)(x-3)(x2-3x+9)(x2+3x+9)(5)(6)20222、化简求值：3、解方程：4(x-3)2-(2x+1)2=(