利用基本不等式求最值的类型办法

1、利用基本不等式求最值的种类及方法利用基本不等式求最值的种类及方法4/4利用基本不等式求最值的种类及方法利用基本不等式求最值的种类及方法一、几个重要的基本不等式：a2b22ababa2b2(a、bR)，2当且仅当a=b时，“=号”成立；ab2ab2abab(、bR)，2a当且仅当a=b时，“=号”成立；a3b3c33abcabca3b3c3(、R)，3abc当且仅当a=b=c时,“=号”成立；3abc33abcabcabc(a、b、cR),当且仅当a=b=c时,“=号”成立.3注：注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；222熟悉一个重要的不等式链：ababab。1122

2、ab二、函数f()axb(、0)图象及性质xxaby(1)函数f(x)axba、b0图象如图：bx2abxaob2abb(2)函数f(x)axa、b0性质：ax值域：(,2ab2ab,)；3x1x111)21315，3222(x22当且仅当x112(x1)即x2时，“=”号成立，故此函数最小值是5。22(x1)2评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，要点在于构造条件，使其积为常数。平时要经过增加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。种类：求几个正数积的最大值。例2、求以下函数的最大值：yx2(32x)(0 x3)ysin2xcosx(0 x)322解析：0 x0，,32x23)

3、xx(32x)3yx2(32x)(0 xxx(32x)1，当且仅当x32x即x123时，“=”号成立，故此函数最大值是1。0 x2,sinx0,cosx0，则y0，欲求y的最大值，可先求y2的最大值。y24222212221sin2xsin2x2cos2x34sinxcosxsinxsinxcosx(sinxsinx2cosx)(3),222722x)tanx2，即xarctan2时“=”号成立，故当且仅当sinx2cosx(0223此函数最大值是。评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，要点在于构造条件，使其和为常数。平时要经过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构

4、造。种类：用均值不等式求最值等号不成立。单调递加区间：(,b，b,)；单调递减区间：(0,b，b,0).aaaa三、用均值不等式求最值的常有种类种类：求几个正数和的最小值。例1、求函数yx1(x1)的最小值。22(x1)解析：yx11)(x1)1x1x111(x1)2(x21(x1)24例3、若x、yR，求f(x)x(0 x1)的最小值。x解法一：（单调性法）由函数f(x)axb(a、b0)图象及性质知，当4xf(x)xx1,x2(0,1且0 x1x21，则是减函数。证明：任取xf(x1)f(x2)(x1x2)(44)(x1x2)4x2x1(x1x2)x1x2x1x2x(0,1时，函数x1x2

5、4，x1x22(x1)2(x1)222(x1)0 x1x21，x1x20,x1x240，则f(x1)f(x2)0f(x1)f(x2)，x1x2即f(x)x4x1f(x)x4上有最小值5。在上是减函数。故当时，在x(0,1x(0,1解法二：（配方法）因0 x1，则有f(x)x4(2x)24，xx易知当0 x1时，2x0且单调递减，则f(x)(2x)24在(0,1上也是减函数，xx即f(x)x4在(0,1上是减函数，当x1时，f(x)x4在(0,1上有最小值5。xx解法三：（拆分法）f(x)x4(0 x1)(x1)32x135，xxxx1当且仅当x1时“=号”成立，故此函数最小值是5。评析：求解此

6、类问题，要注意灵便采用方法，特别是单调性法拥有一般性，配方法及拆分法也是较为简洁合用得方法。种类：条件最值问题。例4、已知正数x、y满足811，求x2y的最小值。xy解法一：（利用均值不等式）x2y(81)(x2y)10 x16y102x16y18,xyyxyx811xy当且仅当即x12,y3时“=”号成立，故此函数最小值是18。x16yyx解法二：（消元法）由811得yx，由y0 x0又x0 x8，则xyxx88x2yx2xx2(x8)16x216(x8)16102(x8)161018。x8x8x8x8x8当且仅当x816即x12,此时y3时“=”号成立，故此函数最小值是18。x88sin2

7、xx8解法三：（三角换元法）令x则有sin2x12y1ycosxcos2x则：x2y828csc2x2sec2x8(1cot2x)2(1tan2x)108cot2x2tan2xsin2xcos2x10222，易求得x12,此时y3时“=”号成立，故最小值是18。(8cotx)(2tanx)18评析：此类问题是学生求解易错得一类题目，解法一学生宽泛有这样一种错误的求解方法：x2y(81)(x2y)281x2y8。原因就是等号成立的条件不一致。xyxy种类：利用均值不等式化归为其他不等式求解的问题。例5、已知正数x、y满足xyxy3，试求xy、xy的范围。解法一：由x0,y0，则xyxy3xy3x

8、y2xy，即(xy)22xy30解得xy1(舍)或xy3，当且仅当xy且xyxy3即xy3时取“=”号，故xy的取值范围是9,)。又xy3xy(xy)2(xy)24(xy)120 xy2(舍)或xy6，2当且仅当xy且xyxy3即xy3时取“=”号，故xy的取值范围是6,)。解法二：由x0,y0，xyxy3(x1)yx3知x1，则：yx3，由y0 x30 x1，x1x1则：xyxx3x23x(x1)25(x1)4(x1)452(x1)459，x1x1x1x1x1当且仅当x1x4(x0)即x3，并求得y3时取“=”号，故xy的取值范围是9,)。1x3xx14x41(x1)4426，xyxx1x1

9、x1x22(x1)11x当且仅当x1x4(x0)即x3，并求得y3时取“=”号，故xy的取值范围是9,)。1评析：解法一拥有宽泛性，而且简洁合用，易于掌握，解法二要求掌握构造的技巧。四、均值不等式易错例析：例1.求函数yx4x9的最值。x错解：yx4x9x213x3613x36132x3625xxxx当且仅当x36即x6时取等号。所以当x6时，y的最小值为25，此函数没有最大值。x解析：上述解题过程中应用了均值不等式，却忽略了应用均值不等式求最值时的条件以致错误。因为函数yx4x9的定义域为，00，所以须对x的正负加以分类谈论。x正解：1）当x0时，y13x363625132xxx当且仅当x3

10、6即x6时取等号。所以当x6时，ymin25x2）当x0时，x0，36x36236120，xxxx当且仅当x36，即x6时取等号，所以当x6时，ymax13121.x9例2.当x0时，求y4x的最小值。x2错解：因为x0，y4x924x96x22xx所以当且仅当4x9即x39时，ymin62318。x24x解析：用均值不等式求“和”或“积”的最值时，必定分别满足“积为定值”或“和为定值”，而上述解法中4x与9的积不是定值，以致错误。2正解：因为x0，y4x993933362x2x32x2xx2x2x2当且仅当2x9，即x336时等号成立，所以当x336时，ymin3336。x222例3.求yx

11、25(xR)的最小值。x24错解：因为yx25x24142x24x142，所以ymin2x24x22解析：忽略了取最小值时须x2414成立的条件，而此式化解得x23，无解，所x2以原函数y取不到最小值2。正解：令tx24t2，则yt1(t2)t又因为t1时，yt1是递加的。所以当t2，即x0时，ymin5。t2例4.已知x,yR141，求uxy的最小值.且yx错解：144xy4,uxy2xy8,u的最小值为8.1yxyx解析：解题时两次运用均值不等式，但取等号条件分别为14y，而这两个式子不能够同x和xy时成立，故取不到最小值8.正解：u(xy)(14)54xy549xyyx当且仅当4xy即x

12、3,y6时等号成立.u的最小值为9.yx综上所述，应用均值不等式求最值要注意：一要正：各项或各因式必定为正数；二可定：必定满足“和为定值”或“积为定值”，要凑出“和为定值”或“积为定值”的式子构造，若是找不出“定值”的条件用这个定理，求最值就会出错；三能等：要保证等号确能成立，若是等号不能够成立，那么求出的仍不是最值。技巧一：凑项例1：已知x54x1的最大值。，求函数y244x5解：因4x50，所以第一要“调整”符号，又(4x2)1不是常数，所以对4x2要进行4x5拆、凑项，x5,54x0，y4x2154x13231，44x554x当且仅当54x1，即x1时，上式等号成立，故当x1时，ymax

13、1。4x5技巧二：凑系数例2.当时，求yx(82x)的最大值。解析：由知，利用基本不等式求最值，必定和为定值或积为定值，注意到2x(82x)8为定值，故只需将yx(82x)凑上一个系数即可。当，即x2时取等号当x2时，yx(82x)的最大值为8。技巧三：分别例3.求yx27x10(x1)的值域。x1解：本题看似无法运用基本不等式，不如将分子配方凑出含有（x1）的项，再将其分别。当,即时,y2（x1)4（当且仅当x1时取“”号）。59x1技巧四：换元解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x1，化简原式在分别求最值。(A)22(B)2(C)2(D)13、已知以下不等式：x332x(x

14、R)；a5b5a3b2a2b22(ab1).其中正确的个数是()(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个4、设a,bR，则以下不等式中不成立的是()(A)(a114(B)a2b22ab(C)ab1b)()ababab5、设a,bR且2ab1,S2ab4a2b2的最大值是(a2b3(a,bR)；22ab(D)abab)当,即t=时,y2t459（当t=2即x1时取“”号）。t技巧五：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数f(x)xa的单调性。x例：求函数x25y的值域。x24解：令x24t(t2)，则yx25x241t1(t2)x24x24t因t0,t11，但t1解得t1不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。tt因为yt11,单调递加，所以在其子区间2,为单调递加函数，故y5在区间。t25所以，所求函数的值域为,。2技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。2：已知x0,y0191，求xy的最小值。，且yx解：x0,y19，xyxy19y9x10610160,1xyxyxyy9x191，可得x4,y12时，xymin16