创意平板折叠桌的数学模型数学建模B题92620850

1、创意平板折叠桌的数学模型摘要本文主要研究的是创意平板折叠桌的设计加工问题，对设计加工参数进行分析和优化并为公司开发设计折叠桌软件提供数学模型，为解决这些问题建立不同的数学模型并用MATLAB进行模型求解。针对问题一，本文建立了模型I动态变化及数学描述模型。利用解析几何求出每根桌腿由平铺状态到完全展开过程中转过的角度来描述折叠桌动态变化过程，并在此基础上用MATLAB解出设计加工参数:桌腿木条开槽长度K，三维空间桌脚边缘线。i针对问题二，本文建立模型口一一设计加工参数模型。采用多目标决策分析方法使产品达到稳固性好、加工方便、用材最少，所以开槽长度K和长方形平板面积S必须达到最小，对于任意给定的高

2、度H和圆形桌面直径R确定：决策变量：a（桌面最外侧木条的半长），（最外侧桌腿的竖直偏角），p（最外11侧折叠处到钢筋位置距离与最外侧桌腿的比值）目标函数:K（开槽总长度），S长方形木板面积用MATLAB求解出多组方案并确定目标函数最小的最优方案，列出设计加工参数。针对问题三，本文建立了模型皿一一软件设计模型。根据客户设定的高度、桌面边缘线形状大小为客户提供三种桌面形状：圆形桌面，圆弧和矩形组合桌面，“8”字形桌面。对于圆形桌面可参照模型II;对于组合桌面，可在模型II的基础上通过增大最外侧桌面木条的长度a来实现；对于“8”字形桌面则可将两个组合桌面的直线边进行对接，所以模型三的建立和求解便可在

3、模型口的基础上改动来实现。关键词：解析几何MATLAB多目标决策分析EXLINK问题重述某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板。桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度。桌子外形由直纹曲面构成，造型美观。试建立数学模型讨论下列问题：给定长方形平板尺寸为120cmX50cmX3cm,每根木条宽2.5cm,连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53cm。试建立模型描述此折叠桌的动态变化过程,在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数（例如

4、,桌腿木条开槽的长度等）和桌脚边缘线的数学描述。折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求,讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数，例如，平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。对于桌高70cm，桌面直径80cm的情形,确定最优设计加工参数。公司计划开发一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。团队的任务是帮助给出这一软件设计的数学模型，并根据所建立的模型给出几个自己设计的创意平板折叠桌。

5、给出相应的设计加工参数，画出至少8张动态变化过程的示意图。问题分析2.1问题一的分析问题一要求我们建立模型描述折叠桌的动态变化过程并给出设计加工参数，由于长方形平板尺寸和每根木条的宽度及钢筋的位置都为已知，所以只需假设最外侧桌面木条的半长，根据桌子的对称性研究桌子左边最外侧到中间的桌腿，利用空间几何建立数学模型，再用MATLAB对模型求解得出设计加工参数，用EXLINK导出每根桌腿转过的角度。2.2问题二的分析问题二要求我们做到产品稳固性好、加工方便、用材最少，对于已定的桌高和桌面直径确定最优设计加工参数。由问题一中折叠桌桌腿的几何关系建立多目标决策分析模型确定决策变量和目标函数，用MATLA

6、B确定最优设计加工参数。2.3问题三的分析问题三要求我们为折叠桌的设计软件提供数学模型，可根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线形状大小和桌脚边缘线的大致形状来给出所需平板的尺寸及加工参数，对此我们充分的利用问题二的模型来设计桌面边缘线的形状，使所建立的软件设计模型易于求解。模型的假设假设一：不考虑加工对长方形平板宽度带来的影响假设二：桌腿钢筋不会发生形变假设三：描述桌脚边缘线时桌脚为质点假设四：外侧桌腿和钢筋固定良好假设五：铰链不会发生形变且对设计加工参数无影响问题一模型的建立与求解4.1符号说明：符号符号说明L.i第i根桌腿腿长a第i根桌面木条的半长a第i根桌腿与竖直方向的夹角9第i根桌

7、腿动态变化转过的角度Hi第i根桌腿底部距地面的高度R桌面外接圆半径h钢筋位置距桌面高度mi第i根桌腿钢筋位置距桌腿折叠处竖直面距离b第一根桌腿底部距桌子竖直对称面的距离Ki第i根木条开槽长度4.2模型I的建立（数据单位均为cm）根据桌子的对称性只需研究桌子左边最外侧到中间的10根桌腿，设最外侧桌腿为第一根桌腿Li，其桌面木条的半长为巴，以第一根桌脚为原点建立空间直角坐标系（见图1）根据问题一所给尺寸计算出:第一根桌腿：腿长L=60-a11第一根桌腿底部距桌子竖直对称面的距离b二Htan+a11桌腿与竖直方向的夹角a=arccos-1120a1钢筋位置到桌子竖直对称面距离忙0-a1-502+a1

8、钢筋位置距桌面高度h=25图21Ax.ArM1*mi+I1码-3根据图2和图3计算可以得出：第i根桌面木条的半长a252+a2-（25-2.5（i-1）1TOC o 1-5 h zi*1桌面外接圆半径R.;252+a21第i根桌腿腿长L=60-aii第i根桌腿钢筋位置距桌腿折叠处竖直面距离m二m-ai1i第i根桌腿的竖直夹角a=arctaniih第i根桌腿钢筋位置以上长度l=-1cosai第i根桌腿底部距地面的高度H二H-LcosaTOC o 1-5 h ziii第i根桌腿底部到桌子竖直对称面的距离S二a+LsinaiiiiX=b-Sii桌腿底部坐标Y=2.5iiZ=HJii为了得出每根木条的

9、开槽长度K.,利用第i根桌腿钢筋位置以上长度/减去桌子平Ii铺时候钢筋位置与折叠点的距离即：K=l（30a）iii4.3模型I的求解根据题中所给的图和木板的厚度，大致可以假设桌面最外侧木条半长a为3,用MATLAB编程进行求解，程序见附录通过EXLINK导出桌面与竖直方向夹角a,制出表格描述折叠桌动态变化的过程（见表1）桌腿第1根第2根第3根第4根桌腿与竖直方向夹a28.694412.147631063.175225706-3.250758279桌腿动态变化转过的角度961.305677.8523689486.8247742993.25075828第5根第6根第7根第8根第9根第10根-8.0

10、59088678-11.69189002-14.41203732-16.38860657-17.73218288-18.512622198.05908868101.69189104.4120373106.3886066107.7321829108.5126221表1用MATLAB画出桌脚边缘线（见图3），程序见附录二黨脚边奏註三至團那桌脚边缘线各点坐标参数如下表:X0.00003.78337.56039.605310.6861Y2.50005.00007.500010.000012.5000Z0.00002.39315.36578.171310.6166X11.205411.407011.44

11、4111.413511.3740Y15.000017.500020.000022.500025.0000Z12.648914.269415.497616.356116.8632表2用EXLINK导出设计加工参数：桌面外接圆半径R=-，由上表数据计算得当a=1或2时，方案无效。1441当桌面平铺时，钢筋必须在圆形桌面以外，即p-LR，可以得出pR，根据上表22L数据计算，当p511时为组合桌面。p=0.5，a=30。a5，依旧参照模型口11桌面木条根数n=第一根桌腿长度=冒，第一根桌腿钢筋位置距桌面的距离h=ph，桌宽d=第i根桌面木条的半长为ai第i根桌腿钢筋位置距桌腿折叠处竖直面距离m-v(

12、pl)2-h2-aTOC o 1-5 h zi1i第i根桌腿钢筋位置以上长度f=：h2+m2(Lp所以可求出第i根桌腿的槽长K二f-LP-a11I21丿(3).“8”字形桌面p=0.5，a=30a5，i1桌面木条的根数n=2d只需研究桌子一侧前1的桌腿2.54由于“8”字形桌面的桌子是由两个组合桌子链接起来的，所以设计加工研究参数即为组合桌面桌子参数。6.2模型III的求解针对圆弧和矩形组合桌面图6现要加工高H二60，=10R二90，用MATLAB和EXLINK解出设计加工参数如下:L=188.56，d二74.83第i根桌腿开槽长度:桌腿第1根第2根第3根第4根第5根第6根第7根开槽长度0.0

13、01.814.0110.3916.2919.4421.88第8根第9根第10根第11根第12根第13根第14根第15根23.7325.0726.0426.7427.2527.6427.9528.18开槽位置:桌腿第2根第3根第4根第5根第6根第7根第8根i19.9920.3520.7921.3522.0622.9824.19第9根第10根第11根第12根第13根第14根第15根25.7427.6729.9232.3532.8830.0730.22表7针对与“8”字形桌面现要加工高H二80,a=20R二80，用MATLAB和EXLINK解出设计加工参数如下:L二224.75，d二69.28第i根桌腿开槽长度:桌腿第1根第2根第3根第4根第5根第6根第7根开槽长度0.000.215.7312.6315.6418.1820.36第8根第9根第10根第11根第12根第13根第14根22.2623.8925.2726.4327.3828.1728.81表8开槽位置:桌腿第2根第3根第4根第5根第6根第7根第8根fi30.4031.3032.3533.5534.9236.4438.08第9根第10根第11根第12根第13根第14根39.8041.5543.3045.0142.9240.67表9由flash软件制作得“8”字形桌面动态示意图图8误差分析误差分析：7模型评价、改进、推广