误差理论与实验数据处理

1、误差理论与测量不确定度 一. 测量误差 1.基本概念 测量:通过实验来求被测对象的量值. 真值:一个量在被测时,该量本身所具有的真实大小。在一定的时空条件下,真值是一个客观存在的确定数值. 测量误差:测量结果与真值的差别. 原因:,测量器具不准确,测量手段不完善，测量环境不理想,人为因素等.1计量标准有三类： 1)真值A。:用理论来定义计量标准的真值，实际不存在. 例：电流的计量标准-安培。 定义:流过真空中相距1m的两条无限小圆截面的无限长平行导线而能在此两导线间产生2X10-7N/m相互作用力的恒定电流。 所以绝对真值是不可知的，只能通过科学技术的不断进步而无限地逼近。 2)指定值As:一

2、般由国家设立各种尽可能维持恒定不变的实物标准，以法令的形式指定以它所体现的量值作为计量单位的指定值。 例：如把铯原子两个超精细能级跃迁所对应的辐射的9192631770个周期的持续时间指定为1秒。2 3)实际值A:国家设立量值传递网,通过逐级比对将国家基准传递到日常使用的仪器、量具中去。每级对比中以上一级标准为近似真值,即实际值。如省级计量以国家级计量值做为实际值. 2.测量误差的定义 测量误差:测量结果与被测量真值之差。 按表示方法分为绝对误差和相对误差两种。 1）.绝对误差（真误差） x-测量值，A0-被测量的真值，实际中可用约定真值A来代替。约定真值可以是指定值、实际值、标称值和最佳估计

3、值（算术平均值）。这时误差可表示为：3 2）.相对误差 绝对误差的不足:不能确定反映测量的准确程度。 例：测二个频率: f1=1000Hz,f1=1Hz ; f2=1000000Hz,f2=10Hz. 虽然f1f2，但 f2 测量值更准确。 相对误差又叫相对真误差，它是绝对误差与被测量的真值之比. 相对误差=4 3.测量误差的分类 1).随机误差(偶然误差) 定义：在一定条件下对被测量进行多次测量时,以不可预知的随机方式变化的测量误差. 随机误差的大小等于实验结果减去重复条件下对同一被测量进行无限次测量的平均值。 产生随机误差的原因是,由多种原因同时作用，这些因素互不相关，没有规律。如：热骚动

4、、噪声、电磁场微变、人为感官的微变等.5 单次的测量,随机误差的大小和方向是不可预知的,但当测量次数够多时,其总体服从统计学规律,如果对测量产生随机误差的因素较多,且没有哪一个因素占绝对支配作用,则随机误差接近正态分布. 随机误差的特点: 1)有界性:误差的绝对值波动有一定的界限. 2)对称性:正负误差出现的几率几乎相同. 3)抵偿性:随机误差的算术平均值趋于零. 4)单峰性:误差只在某一区间出现的概率最大. 消除或减小随机误差的方法:进行多次测量,取测量统计平均值.6 2).系统误差 定义:在一定条件下对同一被测量进行多次测量时,保持恒定或以预知方式变化的测量误差. 重复条件下，对同一被测量

5、进行无限次测量，其测量结果的平均值减被测量真值的差值。 因为真值不能确定，且测量只能有限次重复进行，所以系统误差不能完全确定。系统误差产生的原因:1)仪器本身的缺陷;2)测量环境的变化;3)测量方法的近似;4)测量人员不正确的操作习惯. 消除或减小系统误差的方法:修正和测量方法上的改进(如零示法,替代法,异号法,微差法等).7累进性系差恒定系差复杂规律系差 周期性系差t08例:测量电阻器的阻值电流表外接法 电流表内接法实际 系统误差 测量 实际 系统误差 测量9 3).粗大误差 定义:明显超出在规定条件下预期的误差。 测量结果明显偏离真值，为粗大误差数据,即坏值，应剔除不用。 原因:读数错误、

6、测量方法错误、测量仪器有缺陷。 对存在粗大误差数据的处理方法是将其剔除. 判断是否为粗大误差数据的判断准则有:莱特准则,肖维纳准则,格拉布斯准则等.10 测量数据分布:正态分布,平均分布,三角函数分布等. 正态分布:当测量过程受到多个因素的影响,并且没有任何因素占绝对决定作用时,进行大量等精度测量时,测得值在期望值上出现的概率最大,随着与期望值的偏差增大,出现的概率急剧减小,其分布规律如图.测得值分布-正态分布 随机误差分布-正态分布概率分布函数11 格拉布斯准则: 具体方法： 1)求被测量值 的算术平均值 和标准差 ; 2)求绝对值最大的偏差 ,即 ; 3)选定错判概率 ,根据测量次数和置信

7、率从表0.4.1中查出格拉布斯准则的 值; 4）若 ，则 为坏值; 5）剔除粗大误差数据后,应用同样方法再检测是否还存在坏数据.12格拉布斯准则 数值表13 例:下列一组数据（单位：s），请用格拉布斯准则判别T8是否为异常值，要求置信率为99，简要写出判断依据。 T1=20.42 T2=20.42 T3=20.40 T4=20.43 T5=20.42 T6=20.42 T7=20.39 T8=20.29 T9=20.40 T10=20.4114 置信率为99时即a=0.01， 查表得 g(10,0.01)=2.41，T8为异常值 15 粗差判别准则应用注意事项: 这些判别准则都是正态分布为前提

8、，偏离正态分布时，可靠性受影响；测量次数少时也不太可靠。 若有多个可疑数据，应一一剔除，每次剔除后，要重新计算，再判别，直到无坏值。 一组测量数据中，可疑数据应极少，否则是不正常的，剔除数据要慎重，要分析异常数据，找出原因。16精密度高但系统误差大正确度高但随机误差大精确(正确)度高系统误差和随机误差都小测量误差对测量结果的影响17二. 测量不确定度 不确定度:测量误差的数字指标，表示由于测量误差的存在而对被测量不能肯定的程度。 即不确定度给出了测量结果的波动范围. 完整的实验结果应包括测量结果和不确定度。 测量值=最佳估计值 不确定度18 A类标准不确定度：按统计方法计算的不确定度标准不 B

9、类标准不确定度：以其他方法或其他信息估计确定度 出的不确定度,如查表. 合成标准 不确定度：若干个A、B类不确定度分量的合成 -完整的标准不确定度 扩展不确定度:由某个较大的置信概率所给出的不确定度， 一般等于合成标准不确定度的k（k与置信度有关）倍。19 3.测量数据 有效数字的处理 1.有效数字 误差的存在造成测量值或由测量数据计算出来的算术平均值是近似值. 数据的末位是近似位,它包含的绝对误差不大于末位单位值的0.5倍. 如最小刻度为1伏的电压表测量U=12V, 实际值在11.512.4范围. 有效数字:数据从左边第一个不为零的数起,到右面最后一个数字止. 例如: 3.1416 五位有效

10、数字 8700 四位有效数字 0.087 二位有效数字 0.807 三位有效数字 有效数字反映了测量的准确度,例如: 20.8 表示结果准确到十分位,绝对误差不大于0.05 20.80 表示结果准确到百分位,绝对误差不大于0.00520 2.多余数字的舍入规则和有效数位的确定 小于5舍,大于5入,等于5时取偶 例:测量结果的有效位数可根据电表的最大误差来判断.电表的误差造成测量结果个位数值不可靠达到个位的0.5倍没有达到个位的0.5倍可靠一般,习惯上将测量记录值的末位与绝对误差对齐.量程100V,最小刻度1V,测量值84.3V84.3V21 3.有效数字的运算规则 正确反映精确度. 1)加法运算:以小数点后位数最少的数为准(整数则保留到效位数最少者的最低位)，其余各数均舍入至比该数多一位,运算结果应与有效位数最少的数据位数相同. 例: 2643.0+987.7+4.187+0.2354=? 2643.0+987.7+4.19+0.24=3635.13=3635.1 1256+982+1.368=? 1256+982+1.368=1256+982+1=2239 56102+129=? 56102+129= 56102+110222 2)乘除运算:以有效数字位数最少的那一