结构力学矩阵位移法

1、结构力学矩阵位移法第1页，共28页，2022年，5月20日，18点58分，星期二主要内容1 基本概念2 局部坐标系下单元刚度矩阵 3 整体坐标系下单元刚度矩阵4 直接刚度法 5 引入边界条件的方法 6 等效结点荷载 7 直接刚度法的另一种形式先处理法 8 用先处理法计算矩形刚架 第2页，共28页，2022年，5月20日，18点58分，星期二10.5 引入边界条件的方法 上节中讨论了如何形成原始结构刚度矩阵K0和建立原始结构刚度方程K0 0= F 。要使该方程有确定的解，必须引入边界条件。下面讨论如何引入边界条件。 这是一种比较适用于手算的边界条件引入方法。其过程是通过互换行列的方法重新排列原始

2、刚度方程，使得待求结点位移分量位于方程中位移向量的前面，结点位移分量为已知的位于方程中位移向量的后面。 1、静力凝聚法 如在例1中1、4号结点的位移分量已知为0，2、3号结点的位移分量为待求量。调整前的原始结构刚度方程为 M2X2X3Y3Y2M3123图10-6 例1题图xy1234 第3页，共28页，2022年，5月20日，18点58分，星期二通过互换行列后调整后的原始结构刚度方程为 为了清楚起见。令： 代表自由结点上的荷载列向量，为已知值； 第4页，共28页，2022年，5月20日，18点58分，星期二代表位移分量为已知的约束结点力列向量，一般为待求量； 代表自由结点上的位移列向量，一般为

3、待求量； 代表约束结点上的位移列向量，为已知值。如例1中M2X2X3Y3Y2M3123图10-6 例1题图xy1234 则把调整后的原始刚度矩阵分块后可得 上式可得 对于例1 第5页，共28页，2022年，5月20日，18点58分，星期二 我们把引入边界条件后缩减的刚度矩阵K称为结构刚度矩阵。为简化书写常略去下标简记为K 。 仔细分析容易发现，在原始结构刚度矩阵K0中，把结点位移分量为已知的那些行列划掉，紧缩原始结构刚度矩阵，即可得结构刚度矩阵 K 。 紧缩后 第6页，共28页，2022年，5月20日，18点58分，星期二因为所以设F为作用于支座上的荷载向量P和约束反力向量R之和，即 则 若支

4、座上无荷载作用，则 对于复杂的结构，采用矩阵位移法分析时，需借助计算机工具进行分析计算。显然，静力凝聚法在计算机上不易实现，即使能够实现也很容易引起编码混乱。使得计算结果难于分析。计算机程序计算时常采用下面两种方法。 第7页，共28页，2022年，5月20日，18点58分，星期二 2、乘大数法 为了把位移分量已知的分量从原始结构刚度方程中去掉，可以采用乘大数法。设第r个位移分量已知，且ur=r ，原始结构刚度方程为（改写成分量的形式） 用一个充分大的数N 乘以上式中主对角线上的第r个元素Krr，并用N .Krr.代替荷载分量Fr , 则上式变为 第8页，共28页，2022年，5月20日，18点

5、58分，星期二 这就相当于把原来的第r个方程去掉。同时也不改变原始刚度矩阵的规模。对所有的边界条件重复上述工作。该方法与静力凝聚法相比，工作量大为减少。但应注意，大数N要根据机器的容量，适当选取，过大计算过程容易造成数据溢出，过小不能准确反映给定位移边界条件。 第9页，共28页，2022年，5月20日，18点58分，星期二 3、划零置1法 在所需去掉的第r个方程中，将Krr换成1，而将相应的行列的其它元素全部置0。然后用已知位移分量r代替荷载分量Fr。其它荷载分量需做如下调整:调整后原始结构刚度方程变为 这种方法引入边界条件后也不改变原始刚度矩阵的规模，其工作量比乘大数法稍大，但不会产生人为边

6、界条件误差。 第10页，共28页，2022年，5月20日，18点58分，星期二 4、先处理法 该方法是通过引入定位向量数组的方法，直接形成结构刚度矩阵，不产生原始结构刚度矩阵。后面将专门讨论。 一些大型的通用结构分析程序一般采用乘大数法或划零置1法种引入边界条件的方法。 直接刚度法计算过程总结如下结构离散化。将结点和单元编码；建立结构（整体）坐标系下的原始结点荷载列向量F0及与之对应的原始结点位移列向量0 。单元分析。计算结构坐标系下的单元刚度矩阵，并分块 组装原始结构刚度矩阵。将单元刚度矩阵中四个子块局部编码i、 j换成结点编码（1，2n），按换码后的下标“对号入座”累加到原始结构刚度矩阵相

7、应的位置中。 第11页，共28页，2022年，5月20日，18点58分，星期二引入边界条件。根据给定问题的边界条件，修改原始结构刚度矩阵（采用前述的方法之一），求出结点位移。应用整体坐标系下的单元刚度方程求出杆端力，再利用坐标变换，求出局部坐标系下的单元杆端力。作内力图，寻求危险截面或可能的危险截面。 计算支座反力。计算结果校核。 第12页，共28页，2022年，5月20日，18点58分，星期二例3计算图示桁架各杆的内力，设各杆的EA=常数。 ll10kN10kN图10-9 例3题图解：(1)结构离散化，6个单元，4个结点，整体坐标系如图示。 1234图（a）xy(2)建立结构的位移和结点力列

8、向量 其中， 第13页，共28页，2022年，5月20日，18点58分，星期二(3)单元分析 单元，i=1，j=2，=/2 单元，i=2，j=3，=0 单元，i=4，j=3，=/2 1234图（a）xy第14页，共28页，2022年，5月20日，18点58分，星期二1234图（a）xy单元，i=1，j=4，=0 单元，i=4，j=2，=3/4,单元，i=1，j=3，=/4 ,第15页，共28页，2022年，5月20日，18点58分，星期二1234图（a）xy注：后面的计算中取 (4)组装结构原始刚度矩阵 赋0加单元加单元加单元加单元第16页，共28页，2022年，5月20日，18点58分，星期

9、二1234图（a）xy加单元加单元代入数据展开得 第17页，共28页，2022年，5月20日，18点58分，星期二(5)引入边界条件 采用静力凝聚法，因结点1、4的位移为零，则 1234图（a）xy第18页，共28页，2022年，5月20日，18点58分，星期二1234图（a）xy(6)解方程组求结点位移及约束反力 结构刚度方程为K =F ，代入数据得 第19页，共28页，2022年，5月20日，18点58分，星期二解之得 求约束反力 因为F =K ，即 (7)求各杆的杆端力 第20页，共28页，2022年，5月20日，18点58分，星期二1234图（a）xy则 单元，i=1，j=2，=/2

10、第21页，共28页，2022年，5月20日，18点58分，星期二1234图（a）xy单元，i=2，j=3，=0 则 第22页，共28页，2022年，5月20日，18点58分，星期二1234图（a）xy单元，i=4，j=3，=/2 则 第23页，共28页，2022年，5月20日，18点58分，星期二1234图（a）xy单元，i=1，j=4，=0 则 第24页，共28页，2022年，5月20日，18点58分，星期二单元，i=4，j=2，=3/4,1234图（a）xy则 第25页，共28页，2022年，5月20日，18点58分，星期二1234图（a）xy单元，i=1，j=3，=/4 ,则 第26页，共28页，2022年，5月20日，18点58分，星期二各