《二项式定理》教学设计

1、二项式定理教学设计一、教学目标1、知识与技能(1)能利用组合原理证明二项式定理；(2)理解并掌握二项式定理，并能简单应用。2、过程与方法：通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分 析、概括的能力，以及化归的意识与知识延伸的能力，体会从特殊到一 般的思维方式，并形成从特殊到一般的联系，然后证明，再应用的思想 意识。3、情感态度与价值观：培养学生探究意识，合作精神，体验二项式定理的创立到完善的 历程，体会数学语言的简洁和严谨，感受中国辉煌的数学史。二、教学重点、难点重点：探究并归纳用组合的知识分析(+勿3、(。十份4的展开式的形 成过程，并依次方法得到二项式定理难点：展开式中项的类

2、型的总结和项的系数确实定三、教学方法和教具：为了突出重点，突破难点，采取了转化的思想，将二项式展开过程转 化到熟悉的从袋中取球问题；启发引导解决问题；并采取分组合作探究 的形式分析解决问题，采用多媒体教学手段，形象演示取球过程。四、教学过程：（一）创设情景引入课题1、在课前任务单的基础上继续设问，（+。）5、（。+与6、m+份.能用多项 式乘法法那么展开吗？回答是肯定的，只不过随着次数的增大，运算量也 在增大，激发学生思考，有没有一个直接展开，便于应用的方法？从而 引出二项式定理有这样的功能。【设计意图】让学生体会多项式相乘的法那么有自身的局限性，仅仅掌握 这一法那么是不够的，激发学生继续学习

3、新的更简捷的方法的欲望。数学 的来源，一是来自数学外部现实社会的开展需要；二是来自数学内部的 矛盾，即数学本身的需要。这个问题将“多项式展开有哪些项”包含其 中，为后面的研究做好铺垫。2、微视频展示二项式定理的开展史【设计意图】学生的学习遵循“历史发生原理”，把二项式定理发现的 历史融入新课导入，既能引起学生的兴趣，符合新课程理念，还能提升 课堂品味。创设有效的数学情景能激发学生的学习兴趣，为学生提供良 好的学习气氛。（二）体验感知探究归纳（1）观察下面展开式（a + bp = （a + b）（a + b）（a + Z?）=/+3/ + 3砧2+。3把(。+匕)看作放有标着相应字母小球的小盒，

4、从每个括号内取一个字母 相当于从每个小盒内取一个小球。思考：每个小盒内取一个小球，并为 一组，有哪些类型？从组合的角度分析，取小球的类型就是展开式中项 的类型，每一类的取法种数就是相应项的系数。得到+ b)3 = Cy + C1a2b + C；ab2 + C3= 6/3 + 3a2b + 3abi + b同样的思路，用组合的知识，先分析项的规律，再分析项的系数，得到 (a + b)4 = (a + b)(a + h)(a + b)(a + b)=/ + 4a% + 6/ + 4ab3 + b4这样用组合的知识，我们得到了二项式的直接展开方法，把这种方法推 广到一般。【设计意图】有特殊到一般的归

5、纳总结，离不开大量特殊实例的观察。 只有将大量具体实例进行整体和局部多方面的分析，才能得到接近一般 性规律的结论。也只有对得出各种结论进行整合，才能让学生顺畅的抓 住展开过程的两个要点，即项的结构和项的系数，才能让学生有目的的 进一步进行探讨和分析。(三)知识建构形成定理利用组合的知识得到了(+与3,(十方)4快速展开的方法，用同样的理论 分析(a + b)n的展开：个-人-(4 + /?) =(Q+ /?)( + ) 1、项的结构特点问题：展开式中有哪些项？它们是如何得到的？ 根据特殊情况的分析，学生表达展开式中项的规律： 优,优一力,，一2,优-7/,.,，并说明从每个因式中取一个字母相乘

6、得到 展开式中的项。【设计意图】多项式乘法法那么是展开式的运算基础，用组合的知识解释 项的构成也基于多项式相乘的法那么，让学生的思维建立旧知识与新知识 的联系，为系数确实定做好铺垫。2、项的系数特点问题：展开式各项的系数是多少？各项的形成就是一个组合问题，而各项的系数，就是展开过程中该项出现的个数。学生根据组合的知识回答系数规律：【设计意图】本节课的难点就是利用多项式相乘的法那么和组合知识对展 开式中各项进行分析，该问题的提出，符合学生的思维开展规律，能准 确地检验学生对问题分析能力和解决方法的掌握，突出表达本节课的思 维方法。3、二项式定理问题：请写出（ +勿的展开式（a + by = C”

7、 + C 优一% + C；an-2b2 + . + C；优一万 + +G ND说明：（1）此等式就是二项式定理；（2）右边的展开式叫二项展开式；（3）高中阶段只研究乂的情况；（4）等式左边的q与匕用加号连接。【设计意图】明确二项式定理的内容以及二项展开式的定义。让学生了 解二项式定理的知识很广很深，激发学生的好奇心，感兴趣的同学可以 课下延伸知识。二项展开式的特征：（1）展开式共 项；（2）每一项的次数都是；字母。的次数由 到，次数按 排列；字母b的次数由到，次数按 排列。（3）端,以。；,.,.：叫做（4） ；能一方叫做二项展开式的，它也是展开式的第（5）定理中的、人可以用任意的数、字母、代

8、数式代换。【设计意图】训练学生提炼关键知识的能力。多方位多角度思考知识， 训练学生的发散思维能力。（四）巩固新知提升能力1、小试牛刀展开（ +/5 =【设计意图】通过模仿性的基础练习，照顾不同层次的学生，让不同层 次的学生都有体会成功的机会，使学生始终保持高昂的学习热情。应用 所学知识解决问题，检测学习效果，提升学生的数学应用意识2、典型例题和巩固练习例1:二项式（1-2x）5（1）求它的通项（2）求它的第四项（3）求它的第四项的二项式系数（4）求它的第四项的系数例2:求（x-）9展开式中含;的项,并说明它是展开式的第几项？ xx思考：（X-工）9展开式中有常数项吗？如果有请求出，如果没有请说

9、明 X理由。巩固练习：1、假设（p + /的展开式有12项，那么 =；2、（x + ,）4的展开式中第4项的二项式系数是；系数是； X3、（x-）4的展开式中第4项的二项式系数是；系数是；4、求（2 + 丁）8的展开式中含L项。 XX【设计意图】通过例题让学生熟悉二项展开式及其通项，区分二项式系 数和系数，培养学生的运算能力，培养学生分析问题解决问题的能力。 设计题目考察学生掌握知识的情况，各个题目设计的比拟有梯度，采取 小台阶大梯度的训练模式，符合学生的认知水平。（五）回顾反思归纳总结知识方s+ C：b：面:二项式与系数的区别思想方法：转化的思想，代换的思想，从特殊到一般的思想，类比思想。【设计意图】小结通过思维导图的形式展现知识点，便于学生归纳总结所学知识，帮助学生形成良好的记忆方法，为学生理解应用知识发挥作 用，还可以锻炼学生的概括能力。加深学生对本节课的认识，掌握基本 的思想方法。(六)课下作业思维延伸开展作业：课本31页习题1-3A6基础作业：课本31页习题1-3A4拓展作业：思考三项式系数与系数在什么情况下相同？什么情况下不同？(2)网上查阅二项式定理主要用于哪些