分类讨论的起因

1、例说数学解题中引起分类讨论的原因分类讨论的数学思想方法是中学数学的基本思想方法之一，它是数学教学中的重点、 难点，也是历年来高考的常考、必考内容.搞清引起分类讨论的原因，确定分类讨论的分 界点标准，是掌握好分类讨论这一数学思想方法的关键.本文试就引起分类讨论的原因， 通过分析、举例应用进行探讨，以便从中找到解决分类讨论问题的基本方法.1、由数学概念引起的分类讨论我们知道数学概念都是在一定范围内定义的，这一范围就是应用它的条件，如绝对值、 不等式、二次函数、指数、对数等概念，都有限制条件，凡是涉及到相关问题，当不能直 接解答时，一般都应以所定义的概念来进行分类讨论，并且讨论时要注意概念所受的限制

2、例1、(2005 浙江)已知函数fx)和g(x)的图象关于原点对称，且fx)=x2+2x.(I )求函数g(x)的解析式；解不等式 g(x)2fx) lx II；若h(x)=g(x)九fx) + l在1, 1上是增函数，求实数九的取值范围.解： 解答略g(x)= -x2 + 2x.(II)由g(x) f (x)-1 x-ll可得：2x2-1 x-ll 1时，2x2- x +1 0，此时不等式无解。1当 x 1 时，2x2 -x +1 0-1 x 2 1因此，原不等式的解集为-1, 2 (III) h(x) = -(1+X)x2 + 2(1九)x +1.因为二次项系数带有参数九，故需对九的取值进

3、行讨论。 当九=一1时，h(x) = 4x +1在-1,1上是增函数，.九=一1当九H1时，对称轴的方程为当九H1时，对称轴的方程为x =1-九1 +九(i)当九-1时,1-九1 +九-1，解得九-1时，后1时，解得-1 八0综上,九l,解关于x的不等式；f (x) st x2 (k +1)x + k(2)不等式即为,可化为 0.此时，由于参数K的取值没有具体确定，故需对它进行分类讨论。当 1 k 0解集为x g (1,2) u (2,+8);当k 2时,解集为x g (1,2) u (k,+8).3、由函数的性质、相关定理、公式的限制引起的分类讨论函数的性质、相关定理、公式的运用都是有条件的

4、，在不同的条件下有不同的结论， 或者在一定的限制条件下才成立如等比数列的求和公式、对数公式、二次函数在给定区 间上的最值问题等.例3、(2006 安徽)在等差数列a 中，a = 1，前n项和S满足条件 TOC o 1-5 h z n1nS4n + 2 2S n +1求数列aJ的通项公式；记b = a pan(p 0)，求数列b 的前n项和T。n nnn解：(I)(解答略)a = nn(II)由b = a pan，得b = npn。所以T = p + 2p2 + 3p3 + + (n 1)pni + npn，nnnn此时需要根据P的取值进行分类。n + 1当 p = 1 时，T =；n 2当 p

5、 丰 1 时，pT = p2 + 2p3 + 3p4 + (n 1)pn + npn+1，n(1一 P)(1一 P)T = p + p2 + p3 HF pn-1 + pn - npn+1np(1- pn)1-p- np n+1n+1亍 p = 1p(1- pn)-npn+1, p 丰 11-p4、由图形的不确定性引起的分类讨论数学图形问题中当已知条件不能确定图形的位置时，在求解或证明的过程中，常需根 据可能出现的图形位置进行分类讨论例4、在直角三角形ABC中，AB = (2,3), AC = (1, k )，求实数k的值.分析：由于直角顶点不确定，所以应对直角顶点加以讨论解：由 AB = (

6、2,3), AC = (1, k )得：BC = (-1, k - 3).当 ZA = 9Oo 时，AB - AC = 0，得 k = -3 ；当 ZB = 9Oo 时，AB - BC 二 0，得 k = ” ；当 ZC = 900 时，3 + J13AC - BC 二 0，得 k 二25、由参数的变化引起的分类讨论某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或者由于不同的参 数值要运用不同的求解或证明方法，如含参数的方程或不等式、直线的点斜式或斜截式方 程等，这时就需要进行分类讨论例5、设k为实常数，问方程(8 - k)x2 + (k - 4)y2 = (8 - k) -(k

7、- 4)表示的曲线是何种曲线？解：方程表示何种曲线主要取决于k的取值，可对k分以下三种情形讨论：当k = 4时，方程变为4 x 2 = 0即x = 0，表示直线；当k二8时，方程变为4y2二0即y二0，表示直线;x 2y2当k丰4且丰8时，方程变为口 + 口二1，又有以下五种情形讨论:当k 4时，方程表示双曲线;当4 k 6时，方程表示椭圆；当k 6时，方程表示圆；当 6 k 8时，方程表示双曲线.6、由实际问题的具体情况引起的分类讨论在遇到实际问题时，常应按实际问题的不同要求，选择恰当的解决方法，按要求分成 若干类加以解决，如排列组合问题、概率问题、应用问题中常遇到的分类计数、分步计数 问题

8、例6、某车间有10名工人，其中4人仅会车工，3人仅会钳工，另外3人车工钳工都 会，现需选出6人完成一项工作，需车工钳工各3人，问有多少种选派方案？分析：本题解法较多，可按“仅会车工”、“仅会钳工”、“车工钳工都会”等情况分类 来解.本题按“选出的钳工中所含全能工人的个数”来分类。解：选出的钳工中没有全能工人的选法有C3 - C3种；37选出的钳工中有1名全能工人的选法有C1 - C2 - C3种；336选出的钳工中有2名全能工人的选法有C1 - C2 - C3种；335选出的钳工中有3名全能工人的选法有C3 - C3种.34总共有309种选派方案.引起分类讨论的原因是多种多样的，但无论怎样，只

9、要我们明确，解决分类讨论问题 的要害，在于根据问题的实质确定分类的标准，标准确立合理了分类才能做到不重复、不 遗漏熟练掌握基础知识，做到融会贯通，是解决分类讨论问题的前提条件树立和运用 分类讨论的数学思想，恰当分类、逐步讨论，是解决分类讨论问题的基本模式只要我们 不断地积累方法、总结经验教训，克服分类讨论中的思想上的主观性、盲目性和畏惧心理， 树立分类讨论的意识，就一定能掌握好数学解题中分类讨论思想方法的运用.由数学概念引起的分类讨论：如绝对值定义、等比数列的前n项和公式等等；由数学运算要求引起的分类讨论：如偶次方根非负、对数中的底数和真数的要求、不等式两边同乘以实数对不等号方向的影响等等；由函数的性质、