2022年广东省广州荔湾区广雅中学高三第四次模拟考试数学试卷含解析

1、2021-2022 高考数学模拟试卷注意事项 105请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符作答选择题，必须用 2B答案作答非选择题，必须用 05 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效 52B一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知非零向量a ，b 满足|，则“ a 2ab 是“ab”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件解:已知i 4（）(1 i)2ABC2D某网店2019 年全年的月收支数据如图所示，则针对2019 年这一年的

2、收支情况，下列说法中错误的是（）A月收入的极差为60B7月份的利润最大C这12 个月利润的中位数与众数均为30D这一年的总利润超过400万元x2 y20,b0)FF，一条渐近线方程为lybx且与l 垂直的直线分a2b212a1P,Q，满足OP1OF 1OQ，则该双曲线的离心率为（）212A 10B3C 5D2设全集U RA 0 xBxAB（）A2,B2,C,2D 为实现国民经济新2015 （ 脱离贫困的户数占当年贫困户总数的比）为70% 2015 年开始，全面实施”政策后，扶贫效果明显提高， 2019 （参加该项目户数占 2019 年贫困户总数的比及该项目的脱贫见下表：实施项目种植业养殖业工厂

3、就业服务业参加用户比40%40%10%10%脱贫率95%95%90%90%那么2019年的年脱贫率是实精准扶贫政策前的年均脱贫率的（）A倍B倍C48倍D7 倍2835355若复数z 满足zi1i（i为虚数单位，则其共轭复数z 的虚部为（）ABiC1D12x x,x0,fx) x2 1,x，则f (f (1)（）A2B3C4D5a log23,b log47,c0.74，则实数a,b,c的大小关系为（）Aa b cBc a bCb a cDcba设数列是等差数列， a a a 6， 6.则这个数列的前7 项和等于（）n1357A12B21C24D361f(xe|x|sin2x的部分图象大致是（）

4、8ABCD已知复数z 满足z ii，(i 为虚数单位则z ()A 2B 3C2D3二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。已知两圆相交于两点Aa,3,B若两圆圆心都在直线xyb0上则ab的值是.在三棱锥ABCD中，已知BC CD BD 2AB 2AD=6 ，且平面ABD 平面BCD ，则三棱锥ABCD外接球的表面积为.若方程axx0,a1有两个不等实根，则实数a的取值范围是.抛物线y4x2的焦点F到准线l的距离为三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。2217（12分）已知矩阵M 的一个特征值为，求另一个特征值及其对应的一个特征向218（12分）在

5、a2，ab2，bc2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，求 ABC 的面积 的值（或最大值已知 ABC 的内角A，B ，C 所对的边分别为a，b，c，三边a，b，c与面积S 满足关系式： 4S b2 c2 a2 ，且，求 ABC 的面积的值（或最大值19（12分）已知点M(1,0), N(1,0)，若点P(x, y)满足|PM |PN 4.（）求点 P 的轨迹方程；（）过点Q(3,0) 的直线l与（）中曲线相交于B 两点，O为坐标原点， 求AOB 面积的最大值及此时线l 的方程.20（12分与烧开一壶水所用时间y的一组数据，且作了一定的数据处理（如下表，得到了散点图（如下图.xyw10i1

6、x x210ii1w w210ii1x x y y ii10i1w wy y ii1.4720.60.782.350.8119.316.2w 1ix2i，w 1 10 w .10ii1y abxy c类型？（不必说明理由）d y x 的回归方程x2yx的回归方程；若单位时间内煤气输出量t x 成正比，那么，利用第问求得的回归方程知x 为多少时，烧开一壶水最省煤气？附：对于一组数据v11,u , v2,u , v ,33,u , vn，其回归直线v 的斜率和截距的最小二乘法估计值分n uiv， v u，别为i n u2ii121（12分）设等比数列a 的前n项和为S ，若a 2S1(nN)nnn

7、1n（）求数列a 的通项公式；nan和an1之间插入n 个实数，使得这 n 2 个数依次组成公差为dn1 的前n 项和为T ，dnnTn 2 .22（10分）如图，平面四边形ABCD为直角梯形，AD/BC，ADC 90 ，AB AD 2BC 2，ABD绕着AD 翻折到PAD.M 为PC上一点，且PM MC，当平面DMB时，求实数 的值；当平面PAD与平面PBC所成的锐二面角大小为30时，求PC与平面ABCD所成角的正弦.参考答案125601、C【解析】根据向量的数量积运算，由向量的关系| a 2b 2a b | a b 0 a b ，可得选项.【详解】|a|=|2ab| a2 =2ab a2

8、4a b 4b2=4a2 4a b b2 ，|ab|0，等价于ab 0 a b， 故选：C.【点睛】2、A【解析】根据复数的基本运算求解即可.【详解】44 2i .(1i)22ii2故选：A【点睛】本题主要考查了复数的基本运算,属于基础题. 3、D【解析】直接根据折线图依次判断每个选项得到答案.【详解】由图可知月收入的极差为90 30 60A 正确；1 12 20，30，20，10，30，30，60，40，30，30，50，30，7 月份的利润最高，故选项B 正确； 380 3030C D 错误.D .【点睛】4、A【解析】P x , ,Q x ,PQ b c，联立方程得到y y122ab3

9、，y y1 2a2b4，1122ab2 a2cb2 a2c2根据向量关系化简到b2 9a2 ，得到离心率.【详解】P x y ,Qx ，直线 PQ 的方程为 x b y c .11x b22ay a联立 整理得b4 a4y2 2ab3cy a2b4 0， x2 y21,a2b2则 y y1 2ab3 ,y y12a2b4.b2 a211b2 a2c2因为OP OF OQP为线段22121 2 y ，1y y 294a2b6b2 a2c24b212y y122b2 a2c2a2b4b2 a2，整理得b2 9a2 ，10故该双曲线的离心率e .10A .【点睛】5、C【解析】A 0 x B x A

10、 B 6、B【解析】设贫困户总数为a，利用表中数据可得脱贫率P2400 9502100 900，进而可求.0000【详解】设贫困户总数为a P 2 40 009500a 210 00a 90 00 94 0 ，094 0所以7000 47 .35472019 精准扶贫35 倍.故选：B【点睛】7、D【解析】由已知等式求出 z，再由共轭复数的概念求得 z ，即可得 z的虚部.【详解】1iii由 zi1i，z i1iz=-1+i 1D【点睛】8、A【解析】根据分段函数直接计算得到答案.【详解】2x x,x0,因为 f (x) x2 1,x 0,A .【点睛】f f (1) f (2) 22 2 2

11、.9、A【解析】将a 化成以4为底的对数，即可判断a,b的大小关系；由对数函数、指数函数的性质，可判断出b,c与1 的大小系，从而可判断三者的大小关.【详解】依题意，由对数函数的性质可得a log 3 log 9 b log 7 .244又因为c 0.74故选:A.【点睛】 0.70 1 log 4 log 7 b ，故a b c .44两个对数型的数字比较大小时，底数相 1,0比较大小.10、B【解析】根据等差数列的性质可得a ，由等差数列求和公式可得结果.3【详解】因为数列是等差数列， a a a 6，n135所以3a3 6 ，即a3 2，又a 6，7a a所以d 73 1，a 2d 0

12、，7313故S77(a a 172 21故选：B【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，性质，等差数列的和，属于中档题. 11、C【解析】判断函数的性质，和特殊值的正负，以及值域，逐一排除选项.【详解】f x f x， 函数是奇函数，排除 D ，x0, f x0 x, 时， f x 0 ，排除 ，2B2 2 x0,sin2x1e1 1 xx 0,1当2 时，8,e 2 8 8 x 0, f x0,1A ，22C C.【点睛】.12、A【解析】z ii1iz 2，故选 A.24520131【解析】ABxyb0ABx y b 0 .【详解】Aa,3BAB M a 12 ，2a12b0,2a 1b

13、 2 a b 1.故答案为： 1.【点睛】 3 1 1，ABa114【解析】3取 BD 的中点 F ，设等边三角形 BCD的中心为O ，连接 AF，CF，OA .根据等边三角形的性质可求得3BO CO DO 2 CF 2333，由等腰直角三角形的性质，得 AF BD ，根据面面垂直的性质得 AF 平面BCD ，AFOF，由勾股定理求得OA23，可得O为三棱锥A BCD外接球的球心，根据球体的表面积式可求得此外接球的表面.【详解】BCDBDF BCD的中心为O，3BC 6 BO CO DO 2 CF 233，OF ，3由已知可得ABD 是以 BD 为斜边的等腰直角三角形， AF BD ,333又

14、由已知可得平面 ABD 平面 BCD， AF 平面 BCD， AF OF ，33OF2 OF2 AF22，所以OAOBOC OD2，O 为三棱锥 A BCD 外接球的球心，外接球半3径R OC 2，3三棱锥ABCD外接球的表面积为4(23) 2 48.故答案为： 48【点睛】本题考查三棱锥的外接球的表面积，关键在于根据三棱锥的面的关系、棱的关系和长度求得外接球的球心的位置，球的半径，属于中档题.e15、1 a e1e【解析】ax xx0 xlnalnx0lnalnx .x令 f x lnx x 0f x 1 lnx .xx2当 x 0,e时， f x 0 ；当 x e, 时， f x 0 .f

15、 x在（0，e）上递增，在（e， ）上递减.故0lna e1ee，即1 a e1 .ee16、【解析】111y 4x2 x2考点：抛物线的性质y,p ，即焦点F 到准线l 的距离为 .488三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、另一个特征值为1 ，对应的一个特征向量1【解析】根据特征多项式的一个零点为，可得a 1，再回代到方程f 0即可解出另一个特征值为 1，最后利用求2特征向量的一般步骤，可求出其对应的一个特征向量.【详解】M 的特征多项式为：f 122 a 1 a 4 ，3f 0的一个根，1a40a122M 2 f 0 即1 4 0 2 2 3 0 ，可

16、得另一个特征值为： 2 1，y设 1对应的一个特征向量为： y2则由 M ，得2x 2y 0 x y ，22x2y 0 x 1y 1，M 另一个特征值为1，对应的一个特征向量 1【点睛】本题考查了矩阵的特征值以及特征向量，需掌握特征多项式的计算形式，属于基础题. 18、见解析【解析】1b2 c2 a2若选择，结合三角形的面积公式，得4S4bcsinAb2 c2 a2 ，化简得到sinA2tan A 1，又 A 180A 45 ， cos A ，则a2b2 c2 a2 cosA4422b2 c2 2bc 4又 2bc 4 b2 c2 2bc ， bc 4 222S 1bcsinA 1422)22

17、222，当且仅当b c 2 1 ，2时等号成立2故 ABC的面积的最大值为21，此时b c 4221b2 c2 422若选择 b 2结合三角形的面积公式得4S 4bcsin A b2 c2 a2 化简得到sin A 2 cos A ，tan A 1，又 A 180A 45 ，则AB，此时 ABC为等腰直角三角形，S 1222.21若选择，b c 2，则结合三角形的面积公式，得4S 4bcsin Ab2 c2 a2 ，化简得到12sin A b2 c2 a2 cosAtanA1，又A180A45S 122sin4523223x2y219（）1（）AOB面积的最大值为，此时直线l 的方程为 x y

18、.3643336【解析】根据椭圆的定义求解轨迹方程；设出直线方程后，采用1|AB|d（dAB 的距离）.2【详解】（）由定义法可得，P 点的轨迹为椭圆且a4，c1.x2y2因此椭圆的方程为1 .43（）设直线l 的方程为 x ty x2y23与椭圆3 1 A(x y ，4311B(x ,y )，联立直线与椭圆的方程消去x 可得2 4)y2 6 30，22即 y y162 ，y y1 23.3t 2 4( y ( y y )2 4 y y121 2AOB 13| OQ | | y y( 6( 62 4)2 43 2 323323|322 2 462 1222 42 13t2 13t2 1令u，则

19、u1，上式可化为u2363u 3，3u6当且仅当u3，即t 633因此 AOB 面积的最大值为3时等号成立，63，此时直线l的方程为x y.633【点睛】常见的利用定义法求解曲线的轨迹方程问题：M(c,0), N(c,0)P(xy满足|PM |PN |2a2aP的轨迹是椭圆；M(c,0), N(c,0) P(x, y满足|PM |PN |2a且2aP 的轨迹是双曲线.20（1）y c 【解析】d （）y 5 20 ）x 2时，煤气用量最小.x2x2y cd更适合；x2yw yx的回归方程；.【详解】y cy c dwd 更适宜作烧水时间 y 关于开关旋钮旋转的弧度数 x 的回归方程类型；x21

20、0i1w wy y ii16.2 20 ，10 wii1w0.81 y 20.6 20 0.78 5，所以所求回归直线方程为： y 5 20 ；x2根据题意，设t kxk 0，则煤气用量 S yt 205kx20k 2 20k ，5kx 20k5kx 20kxx2 x当且仅当5kx 20k时，等号成立，x即 x 2 时，煤气用量最小.【点睛】此题考查根据题意求回归方程，利用线性回归方程的求法得解，结合基本不等式求最值.21（）ann1 （）详见解析.【解析】（）a 2S1a 2S2)，两式相减化简整理利用等比数列的通项公式即可得出n1nnn1（）由题设可得a【详解】n1a (n1)dn，可得d

21、1n1n 1aan1 n 1 2 ，利用错位相减法即可得出解（）因为a2S 1，故a2S1(n2)，两式相减可得，n1nnn1aa 2(S S)2a(n2)，故a3a(n 2)，n1nnn1nn1n因为ana2 3a1a2 2a11，所以1 2a11，a 1，所以a1 3n1 ；（）由题设可得an1 a (n 1)dn，所以d1n1n 1aan1n12 3n1 ，所以T134，n 12 3n1n2 n 12 3n1n2 3n11 13 n 1 ，3n32322 11n 1，3n23n1223n121223)n23n1 2 33n11所以Tn1123 15 2n 5 15 2 ，得证.883n18【点睛】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题3 1022（）2）.3 1020【解析】ACBDN ，连接MN，利用线面平行的性质定理可推导出PA/MN 例定理可求得 的值；AD中点O，连接OP、OB，过点P作l/AD，则l/BC，作PHOBH，连接CH，推导出OPl，OBl ，可得出BPO为平面PA