2021-2022学年湖南省益阳市浪拔湖中学高三数学理月考试卷含解析

1、2021-2022学年湖南省益阳市浪拔湖中学高三数学理月考试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知R上可导函数的图象如图所示，则不等式的解集为(A). (B). (C). (D).参考答案：D2. 已知函数，（）那么下面命题中真命题的序号是 的最大值为 的最小值为 在上是减函数 在上是减函数A B C D参考答案：B3. 已知集合P=x|0，集合Q=x|x2+x20，则x是x的A.是充分条件但不是必要条件 B.是必要条件但是不充分条件 C.充要条件 D.既不是充分条件又不是必要条件参考答案：D4. 在的展开式中

2、，含项的系数为（ ）（A） ( B ) (C) (D) 参考答案：C 因为，所以项只能在展开式中，即为，系数为故选C5. 的外接圆圆心为,半径为2，,且,方向上的投影为 （ ） A B C D参考答案：C由得，所以四边形为平行四边形。又，所以三角形为正三角形，因为外接圆的半径为2，所以四边形为边长为2的菱形。所以，所以在的投影为，选C.6. 已知角的终边经过点，且，则的值为（ ）A.B. C.D.参考答案：A略7. 下列说法正确的是（）A命题“?x0R+，x02x00”的否定是“?xR，x2x0”B命题“若ab，则a2b2”的否命题是“若ab，则a2=b2”Cx11且x21的充要条件是x1+x

3、22Dp，q为两个命题，若pq为真且pq为假，则p，q两个命题中必有一个为真，一个为假参考答案：D【分析】A命题“?x0R+，x02x00”的否定是“?xR，x2x0”；B，命题“若ab，则a2b2”的否命题是“若a=b，则a2=b2”；C，当x1+x22时不能得到x11且x21；D，根据pq、pq的真值表可以判断【解答】解：对于A命题“?x0R+，x02x00”的否定是“?xR+，x2x0”，故错；对于B，命题“若ab，则a2b2”的否命题是“若a=b，则a2=b2”，故错；对于C，当x1+x22时不能得到x11且x21，故错；对于D，根据pq、pq的真值表可以判断，D正确故选：D【点评】本

4、题考查了命题真假的判定，涉及到命题的否定，命题的四种形式、充要条件的基础知识，属于中档题8. 已知，i为虚数单位，且，则的值为（ ） A B-1 C2008+2008i D参考答案：B略9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（）ABCD3参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图可知，几何体的直观图如图所示，平面AED平面BCDE，四棱锥ABCDE的高为1，四边形BCDE是边长为1的正方形，分别计算侧面积，即可得出结论【解答】解：由三视图可知，几何体的直观图如图所示，平面AED平面BCDE，四棱锥ABCDE的高为1，四边形BCDE是边长为1的正方形，

5、则SAED=，SABC=SADE=，SACD=，故选：B10. = （ ） A B C D参考答案：C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知，当时，参考答案：12. 设集合，则AB=参考答案：x|1x1略13. 设复数，若，则实数a的值为 参考答案：214. 若一个圆锥的母线与底面所成的角为，体积为125，则此圆锥的高为 参考答案：5【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【分析】设圆锥的高为h，则底面圆的半径为h，利用体积为125，建立方程，即可求出此圆锥的高【解答】解：设圆锥的高为h，则底面圆的半径为h，体积为125，=125，h=5故答案为：5【点评】本题考查圆锥

6、体积的计算，考查方程思想，比较基础15. 直线关于直线对称的直线方程是 参考答案：x+2y-3=016. 某高校进行自主招生面试时的程序如下：共设3道题，每道题答对给10分、答错倒扣5分（每道题都必须回答，但相互不影响）设某学生对每道题答对的概率都为，则该学生在面试时得分的期望值为 分参考答案：1517. 已知点，椭圆与直线交于点、，则的周长为_参考答案：8三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 为了调查学生星期天晚上学习时间利用问题，某校从2014-2015学年高二年级100名学生（其中走读生450名，住宿生550名）中，采用分层抽样的方法抽取n

7、名学生进行问卷调查，根据问卷取得了这n名同学每天晚上学习时间（单位：分钟）的数据，按照以下区间分为八组0，30），30，60）60，90）90，120）120，150）150，180）180，210）210，240），得到频率布直方图如图，已知抽取的学生中星期天晚上学习时间少于60分钟的人数为5人（1）求n的值并补全下列频率分布直方图；（2）如果把“学生晚上学习时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准，对抽取的n名学生，完成下列22列联表：利用时间充分利用时间不充分合计走读生301545住校生451055合计7525100据此资料，你是否认为学生“利用时间是否充分”与走读、住校有关？（3）若

8、在第组、第组共抽出2人调查影响有效利用时间的原因，求抽出的2人中第组第组各有1人的概率参考答案：考点：频率分布直方图；列举法计算基本事件数及事件发生的概率 专题：概率与统计分析：（1）由分层抽样及频率分布直方图的特点即可求得结果；（2）由分布直方图可完成表格，再将数据带入给定的公式即可；（3）先列出基本事件总数的情况，再挑出满足条件的情况即可解答：解：（1）设第i组的频率为Pi（i=1，2，8），由图可知：P1=，P2=，学习时间少于60分钟的频率为P1+P2=，由题意：n=5n=100，又P3=，P5=，P6=，P7=，P8=，P4=1（P1+P2+P3+P5+P6+P7+P8）=，第组的高

9、度为：h=，频率分布直方图如右图（2）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“走读生”有45人，利用时间不充分的有40人，从而22列联表如下：利用时间充分 利用时间不充分 总计 走读生30 15 45 住宿生45 10 55 总计75 25 100 将22列联表中的数据代入公式计算，得 K2=3.030，因为3.0303.841，所以没有理由认为学生“利用时间是否充分”与走读、住宿有关；（3）记第组2人为A1、A2，第组的3人为B1、B2、B2，则“从5人中抽取2人”所构成的基本事件空间=“A1A2、A1B1、A1B2、A1B3、A2B1、A2B2、A2B3、B1B2、B1B3、B2B3”

10、，共10个基本事件；记“抽取2人中第组、第组各有1人”记作事件A，则事件A所包含的基本事件有：A1B1、A1B2、A1B3、A2B1、A2B2、A2B3共6个基本事件，P（A）=，即抽出的2人中第组第组各有1人的概率为点评：本题考查频率分布直方图及概率的计算，做题时要认真审题，弄清题意，属基础题19. 如图，直棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=AB（）证明：BC1平面A1CD（）求二面角DA1CE的正弦值参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定【分析】（）通过证明BC1平行平面A1CD内的直线DF，利用直线与平面平行的判定定理证明

11、BC1平面A1CD（）证明DE平面A1DC，作出二面角DA1CE的平面角，然后求解二面角平面角的正弦值即可【解答】解：（）证明：连结AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点，又D是AB中点，连结DF，则BC1DF，因为DF?平面A1CD，BC1?平面A1CD，所以BC1平面A1CD（）因为直棱柱ABCA1B1C1，所以AA1CD，由已知AC=CB，D为AB的中点，所以CDAB，又AA1AB=A，于是，CD平面ABB1A1，设AB=2，则AA1=AC=CB=2，得ACB=90，CD=，A1D=，DE=，A1E=3故A1D2+DE2=A1E2，即DEA1D，所以DE平面A1DC，又A1C=2，过D

12、作DFA1C于F，DFE为二面角DA1CE的平面角，在A1DC中，DF=，EF=，所以二面角DA1CE的正弦值sinDFE=20. 本小题满分12分，（）小问5分，（）小问7分）已知椭圆的中心为原点，长轴在轴上，上顶点为，左、右焦点分别为，线段 的中点分别为，且是面积为4的直角三角形。（）求该椭圆的离心率和标准方程；（）过作直线交椭圆于，求的面积参考答案：（）+=1（）21. （13分）设函数f（x）=x2alnx（aR），g（x）=x2（a+1）x（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当a0时，讨论函数f（x）与g（x）的图象的交点个数参考答案：【考点】函数单调性的判断与证明【分析】（1）求

13、出函数的导数，通过讨论a的范围，判断函数的单调区间即可；（2）令F（x）=f（x）g（x），问题转化为求函数F（x）的零点个数，通过讨论a的范围，求出函数F（x）的单调性，从而判断函数F（x）的零点个数即f（x），g（x）的交点即可【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+），f（x）=，当a0时，f（x）0，所以 f（x）的增区间是（0，+），无减区间；当a0时，f（x）=；当0 x时，f（x）0，函数f（x）单调递减；当x时，f（x）0，函数f（x）单调递增综上，当a0时，函数f（x）的增区间是（0，+），无减区间；当a0时，f（x）的增区间是，减区间是（2）令F（x）=f（x）g（

14、x）=，问题等价于求函数F（x）的零点个数当a=0时，F（x）=+x，x0，F（x）有唯一零点；当a0时，F（x）=当a=1时，F（x）0，当且仅当x=1时取等号，所以F（x）为减函数注意到F（1）=0，F（4）=ln40，所以F（x）在（1，4）内有唯一零点；当a1时，当0 x1，或xa时，F（x）0；1xa时，F（x）0所以F（x）在（0，1）和（a，+）上单调递减，在（1，a）上单调递增注意到F（1）=a+，所以F（x）在（1，2a+2）内有唯一零点；当0a1时，0 xa，或x1时，F（x）0；ax1时，F（x）0所以F（x）在（0，a）和（1，+）上单调递减，在（a，1）上单调递增注意

15、到F（1）=a+，所以F（x）在（1，2a+2）内有唯一零点综上，F（x）有唯一零点，即函数f（x）与g（x）的图象有且仅有一个交点【点评】本题考查了函数的单调性、零点问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题22. 某市高二年级学生进行数学竞赛，竞赛分为初赛和决赛，规定成绩在110分及110分以上的学生进入决赛，110分以下的学生则被淘汰，现随机抽取500名学生的初赛成绩按30，50），50，70），70，90），90，110），110，130），130，150做成频率副本直方图，如图所示：（假设成绩在频率分布直方图中各段是均匀分布的）（1）求这500名学生中进入决赛的人数

16、，及进入决赛学生的平均分（结果保留一位小数）；（2）用频率估计概率，在全市进入决赛的学生中选取三人，其中成绩在130，150的学生数为X，试写出X的分布列，并求出X的数学期望及方差参考答案：【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列【分析】（1）由题意和频率分布直方图列出方程，求出a，由此能求出这500名学生中进入决赛的人数，及进入决赛学生的平均分（2）成绩在130分以上的学生数X是一个随机变量，其可能取值为0，1，2，3，XB（3，），由此能求出X的分布列、数学期望及方差【解答】解：（1）由题意和频率分布直方图，得：4+0.0128+0.0112+0.0056+0.0040+a，解得a=0.0020，这500名学生中进入决赛的人数为：（0.0040+0.0020）50020=60，进入决赛学生的平均分为：400.005620+600.012820+800.014420+1