三重积分重积分习题(供参考)

1、 o-,20pv10,r2x5.的投影为yoz平面上第一象限内的1/4个圆，因此有，:I2于TOC o 1-5 h z(y2+z2)dv二山(y2+z2)dv=山p2pdpddx4J；dof10p3dp52dx4,4,=00_10p2250兀兀J10(5-)p3dp=202=3.小结(1)当被积函数关于某坐标平面对称，同时被积函数是相应变量的奇或偶函数时应首先将所给积分化简，其原则为关于平面Z=0对称，f(x,y,z)关于z是奇函数时，积分、，、川f(x,y，z)dvc，、c、为零;f(x,y,z)关于z是偶函数时，所求积分为2，其中为被z=0所分的上半个子区域，其余类同.(2)对柱面坐标，清

2、楚这是把积分区域投影到哪个平面时就做的相应的柱面坐标变换，如本题，由于我们把投影到yoz平面，就有y=Pcos,z=Psin,x=x.类似地，对球面坐标也应做相应理解，即穿过的坐标轴如果不是z轴而是x轴或y轴也应做相应变化球面坐标公式x=rsincos,y=rsin*sin,也应做相应变化z=rcosfflf(fflf(z)dv4.证明当f(z)连续时，巴f(Z)(1-Z2)dZ并用此公式计算(z3+z2+z+1)dz的值，其中:x2+y2+z2-1分析积分区域见图3,题目要求把三重积分化成只剩下对z的定积分，我们可以把它看作对该三重积分先计算一个关于x,y的二重积分再计算对z的定积分.显然这

3、种计算方法和我们前边的计算方法是不同的，前边的计算方法(如例1,2)是先将投影到坐标平面xoy上得投影区域D,计算时先对z积分再计算在D上的二重积分，比如练习题1在直角坐标即采用“穿线法”，本题欲先计算一个二重积分再计算定积分，应采用为“先二后一”法亦称“切片法”即先将投影到z轴上得线段-1,1.在(-1,1)上任意点z作一垂直于z轴的平面截得一平面区域Dz，在每个Dz上作对x,y的二重积分，然后再把这些积分值累加起来，既再对z从-1到1积分.匚1，既在轴上的投影为线段解由的表面方程为x2+y2+z2二1匚1，既在轴上的投影为线段D：z：5兀=81,1，在Ch内任取一点z，过z作垂直于z轴的平

4、面截得一平面区域X2+y2-1-Z2.于是Dz的面积为_ZD：z：5兀=8JUf(z)dz=fdzfff(z)dxdy=ff(z)dzJJdxdy=nff(z)(1-z2)dz1DZ1DZ1fff(z3+z2+z+1)du=kf(z3+z2+z+1)(1-z2)dz当f(z)=z3+z2+z+1时，有=1小结“切片法”适用于被积函数为某变量的一元函数，而垂直于相应坐标轴的平面截所得截面面积易求也示)出时的情形.一般的，若被积函数为x的一元函数f时，作垂直于x轴的平面；被积函数为(y)时，作垂直于y轴的截面；被积函数为少)时，作垂直于z轴的截面.5.求底圆半径相等的两个直交圆柱面x2+y2=R2

5、及x2+z2=R2所围立体的表面积.分析该两圆柱面直交时所围立体处在八个卦限内.其表面为8x2个面积相等的曲面，我们只经计算其中一个曲面面积即可.要注意计算曲面面积时，要找其在坐标面内的投影区域.要注意向哪个坐标面作投影要依据曲面方程而定解为计算该住体的表面积.我们只须计算图4阴影部分的面积S1再乘以16即可.该曲面的方程为z=UR2-x2.它在xoy面上的投影为D=-X,y)D=-X,y)x2+y20,y0Qz=x&VR2-x2于是=dxdydxRJ-X2=00=dy=R2=dxdydxRJ-X2=00=dy=R2VR2-x2S=dR2-X2DCR2-故S=16S1=16R2.确定选用何种坐

6、标，一般要从积分区域与被积函数两方面考虑，通常可参阅下表采用坐积分区域的特点被积函数的特点球面坐球，或球被圆锥面所截得的球锥体(采用坐积分区域的特点被积函数的特点球面坐球，或球被圆锥面所截得的球锥体(特殊情f(x2+y2+z2)或被积函数况下为半球体)，或两同心球面所围的立体柱面坐及被圆锥面所截得的主体.不适用球面坐标，但积分区域在坐标面上含有因式X柱面坐及被圆锥面所截得的主体.不适用球面坐标，但积分区域在坐标面上含有因式X2+y2+z2f(x2+y2),f(x2+y2+z2)的投影适用于极坐标者或被积函数含因式X2+y2直角坐标6.设均匀柱体密度为P，占有闭区域=:X,y,z)X2+y2R2,0zh)处的单位质量的质点的引力分析用公式求引力时，要注意利用当P三常数时.以及立体对坐标面的对称性，来简化计算.解。是一位于xoy面上方的圆柱体，它关于xoz面yoz面都是对称的，因此有FX=FY=0FzJJJGPzFzJJJGPz-adu2+y2+(za)2_gopJ(z-a)dz了dofPdP=-2兀GpJ(ha)2+R2-Jr2+a2+h=-2故引力为F=,0,-2兀GpJ(h-a)2+R2Jr2+a2+F=小结在计