和、差、积、商的导数

1、直接利用导数的运算法则求导例 求下列函数的导数：1 y x43x25x 6 ；2 yxtan x3 y ( x 1)( x 2)( x 3) ；4 yx 1.x1分析： 仔细观察和分析各函数的结构规律，紧扣求导运算法则，联系基本函数求导公式，不具备求导法则条件的可适当进行恒等变形，步步为营，使解决问题水到渠成解： 1 y( x43x25x6)(x4 )3(x2 )5x(6) 4x3 6 x 5.x sin x( x sin x) cos x x sin x (cos x)2 y ( x tan x)cos2 xcosx( s i nx c o sx) c o sx222x s i n xsi

2、nx c o sx x c o sx( xs i n x)c o 2sxc o 2sx1 s i n2xx c o 2sx22c o sx3解法一： y( x 1)( x2x s i n xsi n2 x2 2x .2 c o sx2) ( x 3) (x1)( x 2)( x 3)( x1) ( x2)(x 1)( x2) ( x3) ( x 1)( x 2)( x2x1)( x3)(x1)( x2)(2x3)( x3)( x1)(x2)3x212 x11.解法二：yx36x2116，xy321211.xx4解法一： yx 1( x 1) ( x 1) (x 1)( x 1)x1( x1)

3、2( x1)( x 1)22 .(x1)2( x 1)解法二： y12，x1y12(2 )( 2) (x 1) 2(x 1)x1x 1( x 1)22( x1)2 .说明： 理解和掌握求导法则和公式的结构规律是灵活进行求导运算的前提条件，运算过程出现失误， 原因是不能正确理解求导法则， 特别是商的求导法同 求导过程中符号判断不清，也是导致错误的因素从本题可以看出，深刻理解和掌握导数运算法则，再结合给定函数本身的特点， 才能准确有效地进行求导运算， 才能充分调动思维的积极性， 在解决新问题时举一反三，触类旁通，得心应手化简函数解析式在求解例求下列函数的导数1 yx5x7x9sin4 x4 x；x

4、； 2 y4cos43 y1x1x ； 4 ysin x (12 cos2x ).1x1x24分析： 对于比较复杂的函数，如果直接套用求导法则，会使问题求解过程繁琐冗长，且易出错可先对函数解析式进行合理的恒等变换，转化为易求导的结构形式再求导数解： 1 yx5x7x9x2x3x4 ，x y2x3x24x3 .sin2 xcos2 x22 sin 2 xx2 ycos244442x11c o sx31c o sx1 2 s i n122442y311 sin .4443 y(1x) 2(1x) 22(1x)42.1x1x1x1x y42)(4) (1x)4(1x)4(12(12 .1xx)x)4

5、 yxx1sin cos2sin x ，22y11 cos .22说明： 对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则求导时，不但要重视求导法则的应用， 而且要特别注意求导法则对求导的制约作用 在实施化简时， 首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误根据点和切线确定抛物线的系数例已知抛物线yax2bxc 通过点 P(1,1) ，且在点 Q (2, 1) 处与直线 yx3 相切，求实数a、b、c 的值分析： 解决问题，关键在于理解题意，转化、沟通条件与结论，将二者统一起来题中涉及三个未知参数，题设中有三个独立的条件，因此，通过解方程组来确定参数 a、b、c的值是可行的途径解： 曲线 y

6、ax2bxc 过 P(1,1) 点， ab c1y2axb ，y x 24ab 4ab1 又曲线过 Q (2, 1) 点， 4a2bc1联立解、得a 3,b11, c9.说明： 利用导数求切线斜率是行之有效的方法，它适用于任何可导函数，解题时要充分运用这一条件，才能使问题迎刃而解解答本题常见的失误是不注意运用点Q( 2, 1) 在曲线上这一关键的隐含条件利用导数求和例 利用导数求和1 Sn1 2x 3x2nxn 1, ( x 0, n N* )2S C12C 23C3nCn, (n N * )nnnnn分析： 问题分别可通过错位相减的方法及构造二项式定理的方法来解决转换思维角度，由求导公式(

7、xn )nxn 1 ，可联想到它们是另外一个和式的导数，因此可转化求和，利用导数运算可使问题解法更加简洁明快解： 1当 x1 时，Sn123n1 n(n1)当 x1 时，2x x 2x3xnx xn 1，1x两边都是关于x 的函数，求导得( x x2x3xn )x xn 1，1x即 Sn1 2x 3x2nxn 11 (n 1) x nnxn 1.(1x) 22 (1 x) n1 Cn1 x Cn2 x2Cnn xn两边都是关于x 的可导函数，求导得n(1x) n 1Cn12Cn2 x3Cn3 x 2nCnn xn 1 ，令 x1 ，得 n 2n 1Cn12Cn23Cn3nCnn ，即123nn1Sn