二元函数的泰勒公式

1、 f(a,b)二0.x同法可证，f同法可证，f(a,b)二0.y方程组f方程组f(x,y)=0,xf(x,y)=0,y的解(坐标平面上某些点)称为函数f(x,y)的稳定点.定理3指出，可微函数f(x,y)的极值点一定是稳定点反之，稳定点不一定是极值点.例如，函数(双面抛物面)f(x,y)二x2-y2.广二2x,广=一2y.xy显然，点(0,0)是函数f(x,y)二x2-y2的稳定点.但点(0,0)并不是函数f(x,y)二x2-y2的极值点.极值点的充分条件定理4.设函数f(x,y)有稳定点P(a,b)，且在点P(a,b)的邻域G存在二阶连续偏导数.令A二f(a,b),B二f(a,b),C二f(

2、a,b).xxxyyyA=B2-AC.若Av0，则P(a,b)是函数f(x,y)的极值点：A0(或C0),P(a,b)是函数f(x,y)的极小点.Av0(或C0，则P(a,b)不是函数f(x,y)的极值点.注:当判别式A=0时，稳定点P(a,b)可能是函数f(x,y)的极值点，也可能不是函数f(x,y)的极值点例如，函数f(x,y)二(x2+y2)2,f(x,y)二-(x2+y2)2,f(x,y)二x2y.123不难验证，P(0,0)是每个函数唯一的稳定点，且在稳定点P(0,0)每个函数的判别式A=B2-AC=0.显然,稳定点P(0,0)是函数f(x,y)二(x2+y2)2的极小点;是函数f(

3、x,y)=-(x2+y2)2的极大点；却不是函数f(x,y)二x2y的极值点.23求可微函数f(x,y)的极值点的步骤：1)求偏导数，解方程组f1)求偏导数，解方程组f(x,y)=0,xf(x,y)=0,y求稳定点.设其中一个稳定点是P(a,b).2)求二阶偏导数，写出f(x,y)2-f(x,y)f(x,y).xyxxyy3)将稳定点P(a,b)的坐标代入上式，得判别式A=lf(a,b)12-f(a,b)f(a,b).xyxxyy再由A的符号，根据下表判定P(a,b)是否是极值点:A=B2-AC+0A(或C)+不是极值点不定P(a,b)是极小点是极大点例6.求函数z=x3+y3-3xy的极值.

4、解：解方程组f(x,y)二3x2-2y二0,xf(x,y)二3y2-3x二0.y解得两个稳定点(0，0)与(1，1).求二阶偏导数f(x,y)二6x,f(x,y)二-3,f(x,y)二6y.xxxyyyf(x,y)p-f(x,y)f(x,y)=9-36xy.xyxxyy在点(0,0),A=90,(0,0)不是函数的极值点.在点(1,1)A=-270,(1,1)是函数的极小点，极小值是(x3+y3-3xy)=1.(1,1)二元函数f(x，y)在实际问题中的最大、最小值一般来说，求函数f(x,y)在D的边界上的最大(小)值是很困难的但是，在很多实际问题，根据问题的实际意义，函数f(x,y)的最大(

5、小)值必在区域D(D可以是无界区域)内某点P取得，又函数f(x,y)在D内只有一个稳定点P，那么函数f（x,y）必在这个稳定点P取得最大（小）值.例7.用钢板制造容积为V的无盖长方形水箱，问怎样选择水箱的长、宽高才最省钢板.解：设水箱长、宽、咼分别是x,y,z.已知xyz=V，从而咼z=.水箱表面xy的面积V(11)s=xy+(2x+2y)=xy+2V+，xy1xy丿S的定义域D=(x,y)0 x+s,0y+s.这个问题就是求函数S在区域D内的最小值.解方程组0S“=y0S“=y+2VdxVas*ay-丄1Ix2丿一丄y2丿2V=y一=0,x2=x一空=0.y2在区域D内解得唯一稳定点（3迈V

6、,32V）.求二阶偏导数a2sa2s=4Vax2x3a2sdxdya2S=4Vay2y3(a2s)2a2sa2s416V2=1.、axQy丿ax2ay2x3y3在稳定点(3迈V,32V)，A=30，从而，稳定点(3迈V,3迈V)是S的极小点.因此，函数S在点（32v,3迈V）取最小值.当x=32V,y=迈V时,V32V32V3；2V32V2即无盖长方形水箱x=y=莎,z=耳，所需钢板最省.例8.在已知周长为2p的一切三角形中，求出面积为最大的三角形.8）解：设三角形的三个边长分别是x,y,z面积是申.8）9=p(px)(py)(pz).已知x+y+z=2p或z=2p-x-y，将它代入（8）式之

7、中，有9=p(p-x)(p-y)(x+y-p).因为三角形的每边是正数而且小于半周长p，所以9的定义域0 xp,0yp.已知9的稳定点与廿的稳定点相同.为计算方便,p92屮=(px)(py)(x+yp)p的稳定点.解方程组屮(x,y)=-(py)(x+yp)+(px)(py)x=(py)(2p2xy)=0.屮(x,y)=(px)(x+yp+(px)(py)y=(px)(2p2yx)=0.在区域D在区域D内有唯一稳定点.求二阶偏导数屮(x,y)=-2(p-x).yy屮(x,y)=2(py),屮(x,y)=2(x屮(x,y)=-2(p-x).yy屮(x,y)2-屮(x,y)屮(x,y)xyxxyy=4x2+4xy+4y2一8px