2019-2020年高中数学必修5不等式解法及应用

1、2019-2020年高中数学必修5不等式解法及应用一课标要求：1?不等关系经过详细情境，感觉在现实世界和平时生活中存在着大量的不等关系，认识不等式(组)的实质背景；2?元二次不等式经历从实质情境中抽象出一元二次不等式模型的过程；经过函数图像认识一元二次不等式与相应函数、方程的联系；会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，试一试设计求解的程序框图。3二元一次不等式组与简单线性规划问题从实质情境中抽象出二元一次不等式组；认识二元一次不等式的几何意义，能用平面地区表示二元一次不等式组；从实质情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。二.命题走向剖析近几年的高考试题，本将主要察看不等式

2、的解法，综合题多以与其他章节(如函数、数列等)交汇。从题型上来看，多以比较大小，解简单不等式以及线性规划等，解答题主要察看含参数的不等式的求解以及它在函数、导数、数列中的应用。展望xx年高考的命题趋势：1.联合指数、对数、三角函数的察看函数的性质，解不等式的试题常以填空题、解答题形式出现；2.以目前经济、社会、生活为背景与不等式综合的应用题仍是高考的热点，主要察看考生阅读以及剖析、解决问题的能力；3.在函数、不等式、数列、剖析几何、导数等知识网络的交汇点命题，特别注意与函数、导数综合命题这一变化趋势；4.对含参数的不等式，要加强分类讨论思想的复习，学会剖析惹起分类讨论的原因，合理分类，不重不漏

3、。三.要点精讲1.不等式的解法解不等式是求定义域、值域、参数的取值范围时的重要手段，与“等式变形”并列的“不等式的变形”，是研究数学的基本手段之一。高考试题中，对解不等式有较高的要求，近两年不等式知识占相当大的比率。(1)同解不等式(1)与f(x)F(x)g(x)F(x)同解；(2)与同解，与同解；(3)与f(x)g(x)0(g(x)=0同解)；2.一元一次不等式解一元一次不等式(组)及一元二次不等式(组)是解其他各样不等式的基础，必定熟练掌握，灵便应用。”0axabn分*(2)a=0情况分别解之。?)a0f(x)?g(x)0,0。5.简单的绝对值不等式绝对值不等式合用范围较广，向量、复数的模

4、、距离、极限的定义等都波及到绝对值不等式。高考试题中，对绝对值不等式从多方面察看。解绝对值不等式的常用方法：讨论法：讨论绝对值中的式于大于零仍是小于零，尔后去掉绝对值符号，转变为一般不等式；等价变形：解绝对值不等式常用以低等价变形：22|x|axaax0)，|x|ax2a2xa或x0)。一般地有：|f(x)|g(x)f(x)g(x)或f(x)g(x)。6.指数不等式(1)当a1时，f(x).g(x);(2)当0:a:1时,f(x)：g(x);7.对数不等式nimbn）logab,logab等,（a0，b0，logamlogba求的最大值和最小值。由题意，变量所知足的每个不等式都表示一个平面地区

5、，不等式组则表示这些平面地区的公共地区。由图知，原点不在公共地区内，当时，即点在直线：上，作一组平行于的直线:可知：当在的右上方时，直线上的点知足，即，而且，直线往右平移时，随之增大。由图象可知，当直线经过点时，对应的最大，当直线经过点时，对应的最小，所以，。1当时，；2当时，。8.线性规划(1)平面地区(2)相关见解一般地，二元一次不等式在平面直角坐标系中表示某一侧所有点组成的平面地区。我们把直线画成虚线以x-4y一-3表示地区不包括界线直线。当我们在坐标系中画不等式所表示的平面地区时，此地区应包括界线直线，则把直引例：设，式中变量知足条件线画成实线。3x+5y兰25，x1说明：由于直线同侧

6、的所有点的坐标代入，获取实数符号都相同，所以只要在直线某一侧取一个特别点，从的正负即可判断表示直线哪一侧的平面地区。特别地，当时，过去把原点作为此特别点。在上述引例中，不等式组是一组对变量的拘束条件，这组拘束条件都是对于的一次不等式，所以又称为线性拘束条件。是要求最大值或最小值所波及的变量的剖析式，叫目标函数。又由于是的一次剖析式，所以又叫线性目标函数。一般地，求线性目标函数在线性拘束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。知足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形地区。其中可行解和分别使目标函数获取最大值和最小值，

7、它们都叫做这个问题的最优解。四典例剖析题型1简单不等式的求解问题例1.（XX京皖春，1）不等式组的解集是（）A.x|1vxv1B.x|0vx3C.x|0vxv1D.x|1vxv3答案：C2彳1Vxc1x0的解集为（）A.x|x3C.x|x3D.x|1x0,?x3.故原不等式的解集为x|x3。议论：简单的分式不等式的解法是高中数学中常用到的求范围问题工具，分式不等式的解题思路是：分式化整式（注意分母不为零）。题型2:简单的绝对值、波及指数、对数和三角的不等式的求解问题例3.（1）（xx全国，3）不等式（1+x）（1|x|）0的解集是（）A.x|0 xv1B.x|xv0且XM1C.x|1vxv1D

8、.x|xv1且xM1xa0（2）（1997全国，14）不等式组1|飞2+xA.x|0vxv2B.x|0vxv2.5C.x|0vxvD.x|0vxv3剖析：（1）答案：D;解法一：x0时，原不等式化为：（1+x）（1x）0，?（X+1）（x1）v0，?0(1+X)20,-XM1,-XV0.且X半1o综上，不等式的解集为XV1且X工一1o解法二：原不等式化为：或解得1VXV1,解得即XV1,原不等式的解集为XV1且X1o议论：该题表现了对讨论不等式与不等式组的转变及去绝对值的基本方法的要求。(2)答案：C解法一：当X2时，原不等式化为，去分母得(X+2)(3X)(X+3)(X2)，222即一X+X

9、+6X+X6，2X12V0，。注意x2，得2xx+6o即2x0注意OvxV2，得OvxV2o综上得OvxV,所以选C。解法二：特别值法取x=2,适合不等式，除去A;取x=2.5，不适合不等式，除去D;再取x=,不适合不等式，所以除去B;选Co议论：本题察看不等式的解法、直觉思想能力、估计能力。例4.(1)(1995全国理，16)不等式()32x的解集是_o(2)(xx全国文5,理4)在(0,2n)内，使sinxcosx成立的x取值范围为()A.(,)U(n,)B.(,n)C.(,)D.(,n)U(,)；2txc2,(3)(06山东理，3)设f(x)=jogt(x2-1),x2,则不等式f(x)

10、2的解集为()(A)(1,2)(3,)(B)(,)(C)(1,2)(,)(D)(1,2)剖析：(1)答案：x|2VxV4将不等式变形得22则一X+82x，进而x2x8V0,(x+2)(x4)V0,2Vxv4,所以不等式的解集是x|2VxV4.议论：本题察看指数不等式的解法；(2)答案：C解法一：作出在(0,2n)区间上正弦和余弦函数的图象，解出两交点的横坐标和，由图46可得C答案。解法二：在单位圆上作出一、三象限的对角线，由正弦线、余弦线知应选C.(如图47)(3)C;议论：特别不等式的求解，转变是一方面，借助于函数的性质和图象也是解决问题的有效手段题型3:含参数的不等式的求解问题例5.(1)

11、设不等式x2-2ax+a+2w0的解集为M若是M1,4,求实数a的取值范围？(2)解对于x的不等式1(a1)。剖析：该题实质上是二次函数的区间根问题，充分考虑二次方程、二次不等式、二次函数之间的内在联系是要点所在；数形联合的思想使题目更为光明。剖析：(1)M1，4有两种情况：其一是M=，此时AvO;其二是膳，此时=0或厶0,分三种情况计算a的取值范围。设f(x)=x22ax+a+2，有A=(2a)2-(4a+2)=4(a2a-2)当0时，av1或a2。设方程f(x)=0的两根X,X2，且X1X2，解得2vav，那么M=X1，X，M1，411时，原不等式与(x)(x2)0同解。由于，?原不等式的

12、解为(一X,)U(2,)。:-1或a2当av1时，原不等式与(x)(x2)v0同解。由于，若av0,解集为(，2);若a=0时，解集为；若0vav1,解集为(2,)。综上所述：当a1时解集为(一X,)U(2,+)；当0vav1时，解集为(2,)；当a=0时，解集为；当av0时，解集为(,2)。议论：察看二次不等式的解与系数的关系及集合与集合之间的关系。本题主要波及一元二次不等式根与系数的关系及集合与集合之间的关系，以及分类讨论的数学思想。M=是符a的不合题设条件的情况之一，出发点是集合之间的关系考虑可否全面，易遗漏；结构对于等式要全面、合理，易犯错。例6.(1)(06重庆理，15)设a0,nl

13、,函数f(x)=alg(x2-2n+1)有最大值.则不等式logn(x2-5x+7)0的解集为_;(2)(06重庆文，15)设，函数有最小值，则不等式的解集为_。剖析：(1)由于函数有最大值，则。所以原不等式可转变为，又由于x2_5x?7=(x-5)230恒成立，由解得；24(2)由于函数有最小值，故。原不等式化为，即。议论：含参数指数、对数不等式的办理原则是转变为一般的不等式，兼顾终究数的分类标准为两种情况，这也是分类的标准。题型4:线性规划问题”y+1启0例7.(1)(06安徽，10)若是实数知足条件y7_0，那么的最大值为()Ixy1空0A.B.C.D.yEx(2)(06天津理，3)设变

14、量、知足拘束条件0,表示的平面地区的x兰2面积是（）（A）（B）（C）（D）xy_4I（3）（06北京理，13）已知点P（x，y）的坐标知足条件y_x,点O为坐标原点，那y一1,么|PO|的最小值等于，最大值等于。3衫+a2y剖析：（1）拘束条件为pxpy兰C2，选c；x_0y-（2）A；（3）、议论：线性规划的应用题也是高考的热点，诸如求面积、距离、参数取值的问题经常出现。题型5:不等式的应用例9.（06湖南理，20）对1个单位质量的含污物体进行冲洗，冲洗前其干净度（含污物污物质量体的干净度定义为：1物质一）为，要求冲洗完后的干净度为。有两种方案可物体质量（含污物）供选择，方案甲：一次冲洗；

15、方案乙：分两次冲洗。该物体初次冲洗后受残留水等要素影响，其质量变为。设用单位质量的水初次冲洗后的干净度是，用单位质量的水第二次冲洗后的干净度是，其中是该物体初次冲洗后的干净度。（I）分别求出方案甲以实时方案乙的用水量，并比较哪一种方案用水量较少；（）若采用方案乙，当为某固定值时，怎样安排初次与第二次冲洗的用水量，使总用水量最小？并讨论取不相同数值时对最少总用水量多少的影响。剖析：（I）设方案甲与方案乙的用水量分别为x与乙由题设有=0.99,解得x=19。由得方案乙初次用水量为3,第二次用水量y知足方程：解得y=4,故z=4+3.即两种方案的用水量分别为19与4+3。由于当仁a乞3时,x-z=4

16、（4-a）?0,即xz故方案乙的用水量较少。于是+=15(1-c)100a(1-c)-a-1（II）设初次与第二次冲洗的用水量分别为与，近似（I）得，（*），当为定值时*5（爲心当且仅当时等号成立。11此时c=1（不合题意,舍去）或c=1（0.8,0.99）,10、5a10、5a将代入（*）式得2.5a-1a-1,25a-a.故时总用水量最少，此时第一次与第二次用水量分别为:,最少总用水量是?当仁a3时,T（a）二厶?-10，故T（）是增函数（也能够用二次函数的单一性判断）。这说明，随着的值的最少总用水量，最少总用水量最少总用水量。议论：经过实质情况成立函数关系式求解不等式问题成为高考的亮点，

17、解题的要点是成立函数模型，经过函数的性质特别是单一性成立不等关系求得结果。例10.（xx全国文24、理22）如图61，为办理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体积淀箱，污水从A孔流入，经积淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米,高度为b米.已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积ab成反比.现有制箱资料60平方米.问当a、b各为多少米时，经积淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计）？解法一：设y为流出的水中杂质的质量分数，则y=,其中k0为比率系数，依题意，即所求的a、b值使y值最小。依照题设，有4b+2ab+2a=60（a0，b0），kkk于是y2ab30a

18、-a22a-a32-64a26434-（a2）a+2k34-2（a2）64a218得b=（0vav30，当a+2=W取等号，y达到最小值。这时a=6，a=10（舍去）将a=6代入式得b=3，故当a为6米，b为3米时，经积淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。解法二：依题意，即所求的a、b值使ab最大。由题设知4b+2ab+2a=60（a0，b0），即a+2b+ab=30（a0，b0）。?/a+2b2?+ab30，当且仅当a=2b时，上式取等号.由a0，b0，解得0vab18即当a=2b时，ab获取最大值，其最大值为18。?2b2=18.解得b=3，a=6。故当a为6米，b为3米时，经积淀后流出的

19、水中该杂质的质量分数最小。议论：本题察看综合应用所学数学知识、思想和方法解决实责问题的能力，察看函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识，察看利用均值不等式求最值的方法、阅读理解能力、建模能力。五.思想总结1?在复习不等式的解法时，加强等价转变思想的训练与复习解不等式的过程是一个等价转变的过程，经过等价转变可简化不等式(组)，以迅速、准确求解。加强分类讨论思想的复习.在解不等式或证不等式的过程中，如含参数等问题，一般要对参数进行分类讨论复习时，学生要学会剖析惹起分类讨论的原因，合理的分类，做到不重不漏。加强函数与方程思想在不等式中的应用训练。不等式、函数、方程三者密不可以分，互相联系、互

20、相转变?如求参数的取值范围问题，函数与方程思想是解决这类问题的重要方法在不等式的证明中，加加强归思想的复习，证不等式的过程是一个把已知条件向要证结论的一个转变过程，既可察看学生的基础知识，又可察看学生剖析问题和解决问题的能力，正由于证不等式是高考察看学生代数推理能力的重要素材，复习时应惹起我们的足够重视。2.加强不等式的应用突出不等式的知识在解决实责问题中的应用价值，借助不等式来察看学生的应企图识。高考取除独自察看不等式的试题外，常在一些函数、数列、立体几何、剖析几何和实质应用问题的试题中波及不等式的知识，加强不等式应用能力，是提高解综合题能力的要点?所以，在复习时应加强这方面训练，提高应企图

21、识，总结不等式的应用规律，才能提高解决问题的能力。如在实责问题应用中，主要有结构不等式求解或结构函数求函数的最值等方法，求最值时要注意等号成立的条件，预防不用要的错误。3.突出要点综合察看在知识与方法的交汇点处设计命题，在不等式问题中包括着丰富的函数思想，不等式又为研究函数供应了重要的工具，不等式与函数既是知识的联合点，又是数学知识与数学方法的交汇点，所以在历年高考题中向来是重中之重。在全面察看函数与不等式基础知识的同时，将不等式的要点知识以及其他知识有机联合，进行综合察看，重申知识的综合和知识的内在联系，加大数学思想方法的察看力度，是高考对不等式察看的又一新特点。2019-2020年高中数学必修5二元一次不