数列基础知识归纳

1、必修 5 数列础知识归纳(1) 数列中的每个数都叫这个数列的项记作 a ，在数列第一个位置的项叫第 1 项或n首项 2 n 的项叫第 n 项也叫通项 a n123nn2a 的第 n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式nnnnnn(3) 不是每个数列都有通项公式例如，1，1.4，1.41，1.414，(4) 从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集 或它的有限子集的函数 fn，当自变量 n 从 1 开始依次取值时对应的一系列函数值 fff(3)，fnn3数列的分类：(1) 按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；(2) 按数列项与项之间的大小关系分

2、：单调数列递增数列、递减数列、常数列和摆动数列nna 或前几项公式n 1nnn123nnk1nn一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么即：a 为等比数列 a7等比数列的定义：2nnnnn一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么 这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比公比通常用字母q 表示q ，即：a 为等比数列 aannn等比数列()a =a q a 0，q 0)n1n11nmnmm+n =s +t，则 a + a =a +mnsmnstmmmmkkqmn3三个数成等比的设法： a/q，a，aq；四个数成

3、等比的错误设法： a/q ，a/q，aq，aq334a 为等差数列，则acnn5b b 是等比数列，则log b c 0 且 c 1) 是等差数列nn6公差为d的等差数列a 中，若d ，则a 是递增数列；若d = ，则a 是常数列；nnnnn(1) 当 a 0q 1 或 a 00 q 1 时为递增数列； (2) 当 a 1或 a ，11110 q 1时为递减数列；(3) 当 q 0时为摆动数列；(4) 当 q = 1 时为常数列8等差数列前 n 项和最值的求法：1n1nn 若已知 S ，可用二次函数最值的求法n *)；n 若已知 a ，则 S 取最值时n 的值n *)可如下确定：S 最大值n或

4、 S 最小nnnnn2累加法an + 1 a =c 型：a =a + a a ) + a a ) + + a a ) =a +c +cnnn12132n112+ +c n 2)n 1S3公式法：1nn1a aaa4累乘法(23n1n1112an12n5待定系数法：a = qa + b (q 0，q 1b 型，转化为a + x= a + 可以将其改写变形成如下形式：nnnq1q111 4nan1n1拆项求和法a = b c )：将一个数列拆成若干个简单数列(如等差数列、等比数nnnnn2并项求和法：将数列的相邻两项 (或若干项)并成一项(或一组)先求和，然后再求S nS 1 2 3 4 5 6

5、(2n1) (2n)22222222n3裂项相消法：将数列的每一项拆裂开成两项之差，即 a = fn + 1) fn，使得正负项能互相抵消，剩下首尾若干项用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂n111111()nnn111a b ab4错位相减法：将一个数列的每一项都作相同的变换，然后将得到的新数列错动一个位置与原数列的各项相减，这是仿照推导等比数列前n项和公式的方法对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n项和，常用错位相减法即错位相减法一般只要求解决下述数列的求和：若 a = b c ，其中b 是等差数列，c nnn是等比数列，则数列a 的求和运用错位相减法n记 S =b c +b c +b c + +b c ，则 qS =b c +b c + +b c +b c ，nnn5倒序相加法：将一个数列的倒数第k项k = ，2，3，n变为顺数第k项，然后将得到的新数列与原数列相加，这是仿照推导等差数列前 n 项和公式的方法注意：(1) “数列求和”是数列中的重要内容，在中学高考范围内，学习数列求和不需要学习任何理论，上面所述求和方法只是将一些常用的数式变换技巧运用于数列求和之中 1 + 2 + +n =1 nn + 1)； 1 + 2 + +n =1 nn + n + 1)； 1 + 2 + +2223326