6正余弦定理及解三角形-高考全攻略备战2018年高考数学(文)考点一遍过含解析

1、学必求其心得，业必贵于专精考点16正、余弦定理及解三角形1正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形胸怀问题.2应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实责问题。一、正弦定理1正弦定理在ABC中，若角A，B，C对应的三边分别是a,b,c,则各边和它所对角的正弦的比相等，即abc。正弦=定理对随意三角形都成立2常有变形sinAasinCcsinBbcsinA,bsinCcsinB;,asinBbsinA,asinC（2)abcabacbcabcsinAsinBsinCsinAsinBsinAsinCsinBsinCsinA;sinBsinC

2、(3)a:b:csinA:sinB:sinC;学必求其心得，业必贵于专精abc（4)正弦定理的推行：sinA=sinB=sinC=2R，其中R为ABC的外接圆的半径.3解决的问题（1）已知两角和随意一边，求其他的边和角；(2)已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角4在ABC中，已知a，b和A时，三角形解的状况二、余弦定理1余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即a2b2c22bccosA,b2a2c22accosB，c2a2b22abcosC.学必求其心得，业必贵于专精2余弦定理的推论从余弦定理，能够获取它的推论：cosAb2c2a2,c

3、osBc2a2b2,cosCa2b2c2。2bc2ca2ab3解决的问题1）已知三边，求三个角;2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角4利用余弦定理解三角形的步骤三、解三角形的实质应用1三角形的面积公式设ABC的三边为a，b，c,对应的三个角分别为A，B，C,其面积为S。(1）S1ah(h为BC边上的高）；2（2）S1bcsinA1acsinB1absinC；222(3)S1r(abc)（r为三角形的内切圆半径）22三角形的高的公式hA=bsinC=csinB，hB=csinA=asinC，hC=asinB=bsinA3测量中的术语学必求其心得，业必贵于专精（1）仰角和俯角在视线和水平线

4、所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图）2)方向角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方向角为(如图)3）方向角相对于某一正方向的水平角。北偏东，即由指北方向顺时针旋转抵达目标方向（如图);北偏西，即由指北方向逆时针旋转抵达目标方向；南偏西等其他方向角近似（4)坡角与坡度学必求其心得，业必贵于专精坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图，角为坡角）；坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图，i为坡度）坡度又称为坡比4解三角形实质应用题的步骤考向一利用正、余弦定理解三角形利用正、余弦定理求边和角的方法:1)依照题目给出的条件（即边和角)作出相应的图形，

5、并在图形中标出有关的地点2）选择正弦定理或余弦定理或两者联合求出待解问题一般地，若是式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;若是碰到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特点都不显然时，则要考虑两个定理都有可能用到。学必求其心得，业必贵于专精3）在运算求解过程中注意三角恒等变换与三角形内角和定理的应用常有结论：(1）三角形的内角和定理：在ABC中，ABC，其变式有：ABC，ABC等222(2)三角形中的三角函数关系：sin(AB)sinC;cos(AB)cosCsinABcosC；cosABsinC2222；.典例1ABC的内角A,B，C的对边分别为a，b,c，若

6、cos45A=5，cosC=13，a1，则b=。【答案】2113典例2在ABC中，已知AB2，AC3,A60.（1）求BC的长；(2)求sin2C的值。【剖析】(1）由余弦定理知，BC2AB2AC22ABACcosA4922317，2学必求其心得，业必贵于专精因此BC7.（2）由正弦定理，知ABBC,因此sinCsinAsinCABsinA2sin6021.BC77因为ABBC，因此C为锐角，则cosC1sin2C1327.77因此sin2C2sinCcosC2212743.7771已知A、B、C为ABC的内角，tanA、tanB是对于x的方程x23pxp10(pR)的两个实根。（1）求C的大

7、小;（2）若AB3，AC6，求p的值。考向二三角形形状的判断利用正、余弦定理判断三角形形状的两种思路:1）“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转变为只含边的关系,经过因式分解、配方等得出边的相应关系，进而判断三角形的形状.2）“边化角：利用正弦、余弦定理把已知条件转变为只含内角的三角函数间的关系,经过三角恒等变换,得出内角间的关系，进而判断出三角形的形状，此时要注意应用ABC这个结论提示：在两种解法的等式变形中,一般两边不要约去公ABC学必求其心得，业必贵于专精因式，应移项提取公因式，免得造成漏解。典例3在ABC中，a，b，c分别为内角A，B,C的对边，且2asinA（2bc)sinB(2

8、cb）sinC。（1）求角A的大小；(2）若sinBsinC1,试判断的形状2）由得sin2Asin2Bsin2CsinBsinC.又sinBsinC1，故sinBsinC12.因为0B90,0C90，故BC.因此ABC是等腰钝角三角形2若ABC的三个内角知足sinAsinBsinC51113,则ABCA必然是锐角三角形B必然是直角三角形C必然是钝角三角形D可能是锐角三角形，也可学必求其心得，业必贵于专精能是钝角三角形考向三与面积、范围有关的问题1）求三角形面积的方法若三角形中已知一个角（角的大小,或该角的正、余弦值),联合题意求夹这个角的两边或该两边之积，套公式求解若已知三角形的三边,可先求

9、其一个角的余弦值，再求其正弦值，套公式求面积，总之，联合图形恰入选择面积公式是解题的重点2）三角形中，已知面积求边、角的方法三角形面积公式中含有两边及其夹角，故依照题目的特点，若求角,就追求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解；若求边，就追求与该边(或两边）有关系的角，利用面积公式列方程求解典例4ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b，c。已知sinA3cosA0，a=27，b=2。(1)求c;（2）设D为BC边上一点，且ADAC，求ABD的面积.【剖析】（1）由已知可得，因此2tanA3。A学必求其心得，业必贵于专精在ABC中，由余弦定理得284c24ccos23，即c22c240

10、.解得c6（舍去），c4。(2）由题设可得CAD,因此BADBACCAD.26故ABD面积与ACD面积的比值为1ABADsin1.261ACAD2又ABC的面积为142sinBAC23,因此ABD的面积为23.【名师点睛】在解决三角形问题中，面积公式最常用,因为公式中既有边又有角，简单和正弦定理、余弦定理联系起来.正、余弦定理在应用时，应注意灵便性,已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形拥有不唯一性，过去依照三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.典例5已知a，b，c分别是ABC的三个内角A，B，C的三条对边,且c2=a2+b2ab.1）求角C的大小

11、；2)求cosA+cosB的最大值。2)A+B+C=，C=3,B=23A，且A(0,23）.则cosAcosBcosAcos(23A)sin(6A)，学必求其心得，业必贵于专精A（250,3)，66，A故当A62时，cosA+cosB获取最大值,为1。3在ABC中，内角A,B，C所对边的边长分别是a，b，c，已知c2,C3（1)若ABC的面积等于3，求a，b;2）若sinB2sinA，求ABC的面积考向四三角形中的几何计算几何中的长度、角度的计算过去转变为三角形中边长和角的计算，这样就能够利用正、余弦定理解决问题。解决此类问题的重点是结构三角形，把已知和所求的量尽量放在同一个三角形中。典例6A

12、BC中，D是BC上的点，AD均分BAC，BD=2DC.(1）求sinsinBC；（2）若BAC60，求B.学必求其心得，业必贵于专精4如图，在ABC中,角A，B，C的对边分别为a，b，c，ab(sinCcosC).1)求角B的大小；2）若A2，D为ABC外一点,DB2，DC1,求四边形ABCD面积的最大值。考向五解三角形的实质应用解三角形应用题的两种状况：(1)实责问题经抽象归纳后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正B,C,D学必求其心得，业必贵于专精弦定理或余弦定理求解；（2)实责问题经抽象归纳后，已知量与未知量波及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形

13、，尔后渐渐求解其他三角形,有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组),解方程(组）得出所要求的解研究测量距离问题是高考取的常考内容，既有选择题、填空题，也有解答题，难度一般适中，属中档题.解题时要选用合适的协助测量点，结构三角形，将问题转变为求某个三角形的边长问题,进而利用正、余弦定理求解。典例7宇宙飞船返回舱顺利抵达地球后，为了实时将航天员救出，地面指挥中心在返回舱预计抵达的地区安排了同一条直线上的三个救援中心（记为）当返回舱距地面1万米的P点时（假定此后垂直下落,并在A点着陆），C救援中心测得返回舱位于其南偏东60方向，仰角为60，B救援中心测得返回舱位于其南偏西30方向，仰角为30，

14、D救援中心测得着陆点A位于其正东方向学必求其心得，业必贵于专精(1）求B,C两救援中心间的距离；（2）求D救援中心与着陆点A间的距离（2）因为sinACDsinACB3,因此cosACD1，1010又CAD30，因此sinADCsin(30ACD)331。210在ADC中，由正弦定理，得ACAD，则ADCsinACDsinADACsinACD93sinADC13故D救援中心与着陆点A间的距离为9133万米.5如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观察点从A点测得M点的仰角MAN60，C点的仰角CAB45以及MAC学必求其心得，业必贵于专精75；从C点测得MCA60.已知山高BC1

15、00m，则山高MN_m。考向六三角形中的综合问题1解三角形的应用中要注意与基本不等式的联合，以此观察三角形中有关边、角的范围问题。利用正弦定理、余弦定理与三角形的面积公式，成立如“ab,ab,a2b2”之间的等量关系与不等关系，经过基本不等式观察有关范围问题。2注意与三角函数的图象与性质的综合观察,将两者联合起来，既观察解三角形问题,也重视对三角函数的化简、计算及观察有关性质等.3正、余弦定理也可能联合平面向量及不等式观察面积的最值或求面积，此时注意应用平面向量的数量积或基本不等式进行求解。学必求其心得，业必贵于专精典例8在ABC中，已知C6，向量m(sinA,1),n(1,cosB)，且mn

16、.1）求A的值；（2）若点D在边BC上，且3BDBC，AD13，求ABC的面积【剖析】（1)由题意知mnsinAcosB0，又，C，ABC因此sinA5A)3cosA1sinA0，即sin(A0.cos(0，即sinA2)6265(2又0A，因此A6,),因此A0，即A。66366（2）设|BD|x，由3BDBC，得|BC|3x，由(1）知AC6，因此|BA|3x，B23。23xxcos2,解在ABD中，由余弦定理，得(13)2(3x)2x23得x1，因此ABBC3，因此1sinB133sin293.SBABC2342典例9ABC的内角A,B，C所对的边分别为，。abc(1）若a，b，c成等差

17、数列,证明：sinAsinC2sin（AC);（2）若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值学必求其心得，业必贵于专精2)因为a，b，c成等比数列，因此b2ac。由余弦定理得cosB错误!错误!错误!错误!，当且仅当ac时等号成立1因此cosB的最小值为2.6在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为1已知ABC的面积为315，bc2，cosA4（1）求a和sinC的值；、b、c。（2）求cos(2A6)的值.1若ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知2bsin2A3asinB,且c2b，则ba等于A2B3C2D3232在ABC中，若tanAtanB1，则该三角形必然是A锐角三角

18、形B钝角三角形C直角三角形D以上都有可能3ABC中，角A，B,C的对边分别是a,b,c。已知bc,a22b2(1sinA),则A=A3BCD4346学必求其心得，业必贵于专精4ABC中，AB2，BC10,cosA1，则AB边上的高等于4A315B3C315D34425在ABC中，D为BC边上一点，若ABD是等边三角形，且AC43，则ADC的面积的最大值为。6在平面四边形ABCD中,ABC75,BC2,则AB的取值范围是7如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上,行驶600m后抵达B处,测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30,则此山的高度C

19、D_m.8在ABC中，内角A，B,C所对的边分别为a，b，c，已知向量m(b,3a)，n(cosB,sinA)，且mn1）求角B的大小;2）若b2，ABC的面积为3，求ac的值学必求其心得，业必贵于专精9在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且3ccosA2b3acosC（1）求角C；（2)若A,ABC的面积为3,D为AB的中点，求sinBCD610以以下图,在ABC中,点D为BC边上一点，且BD1,E为AC的中点,AE3,cosB27,ADB2.2731)求AD的长；2)求ADE的面积。学必求其心得，业必贵于专精11在ABC中，A,B,C的对边分别为a,b,c，且acosC,bc

20、osB,ccosA成等差数列（1）求B的值;(2）求2sin2AcosAC的范围12如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径。一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B,尔后从B沿直线步行到C。现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C。假定缆车匀速直线运行的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA12,cosC3。135学必求其心得，业必贵于专精1）求索道AB的长；2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短?3）为使两位游客在C处互

21、相等待的时间不高出3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？1（2017新课标全国文科）ABC的内角A,B，C的对边分别为a，b，c已知sinBsinA(sinCcosC)0，a=2,c=2，则C=A12B6C4D32（2017新课标全国文科）ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b，c。已知C=60,b=6,c=3，则A=_.学必求其心得，业必贵于专精3（2016上海文科）已知ABC的三边长分别为3，5,7，则该三角形的外接圆半径等于_.4(2016新课标全国文科）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA4，cosC5,a=1，则513b=_。5(2017浙江）已知ABC，AB

22、=AC=4，BC=2点D为AB延伸线上一点，BD=2，连接CD，则BDC的面积是_，cosBDC=_6（2017山东文科）在ABC中,角A,B,C的对边分别为a，b，c,已知b=3,ABAC6,SABC3，求A和a.7（2017天津文科）在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c已知asinA4bsinB，ac5(a2b2c2)1）求cosA的值；2）求sin(2BA)的值学必求其心得，业必贵于专精变式拓展1【剖析】（1)由已知，方程x23pxp10的鉴别式为(3p)24(p1)3p24p40，因此或2p2。p由根与系数的关系，有tanAtanB3p,tanAtanB1p，于是1tan

23、AtanB1(1p)p0，进而tan(AB)tanAtanB3p，1tanAtanB3p因此tanCtan(AB)3,因此C60.学必求其心得，业必贵于专精3tan45tan301则tanAtan75tan(45+30)323，1tan45tan30313因此p1(tanAtanB)1(231)13。332【答案】C3【剖析】(1）因为c2，cosC1，因此由余弦定理2c2a2b22abcosC,得a2b2ab4，又ABC的面积等于3，3，因此13，整sinCabsinC理得ab4，2由abab4解得a2ab4b2(2）利用正弦定理，把sinB2sinA化为b2a，由a2b2ab4解得a23，

24、b43，b2a33又sinC31232，则ABC的面积S2absinC34【剖析】（1）在ABC中,由ab(sinCcosC),得sinAsinB(sinCcosC),即sin(BC)sinB(sinCcosC)，学必求其心得，业必贵于专精cosBsinCsinBsinC，又sinC0，cosBsinB，即tanB1，B(0,)B4。（2）在BCD中,BD2，DC1,BC21222212cosD54cosD.又A2，ABC为等腰直角三角形，则SABC1BC1BC1BC25cosD，2244又SBDC1DCsinDsinD，BD2S四边形ABCD554cosDsinD2sin(D)，44故当D3

25、4时，四边形ABCD的面积有最大值，最大值为52。45【答案】150在RtMNA中,MAN60，于是MNMAsinMAN10033150m，2即山高MN150m.学必求其心得，业必贵于专精【名师点睛】此题观察了正弦定理的实质运用,观察剖析能力，转变能力，空间想象能力，属于中等题.注意此题所给图形是空间图形.6【剖析】（1）在ABC中，由cosA1,得sinA15，44由SABC1bcsinA315得bc24,又bc2，2因此b6，c4.由余弦定理得a2b2c22bccosA，可得a8，由正弦定理得ac，sinAsinCcsinA41515因此4sinCa88.（2)cos(2Acos2Acos

26、sin2Asin32A1)sinAcosA)66(2cos6232(1)2115(1)1573。244416考点冲关1【答案】C【剖析】由题意知2bsin2A3asinB，联合正弦定理得4sinBsinAcosA3sinAsinB，即cosA3，又c2b，联合余弦定4理a2b2c22bccosA,得a2。选C。b2【答案】B【剖析】由已知条件，得学必求其心得，业必贵于专精sinAsinB1,即cos(AB)0,即cosC0,cosAcosBcosAcosBcosAcosB说明cosA，cosB，cosC中有且只有一个为负因此ABC必然是钝角三角形3【答案】C【名师点睛】此题主要观察余弦定理的应

27、用、同角三角函数的基本关系，是高考常考知识内容.此题难度较小，解答此类问题，重视边角的互相变换是重点，此题能较好地观察考生剖析问题、解决问题的能力及基本计算能力等.4【答案】A【剖析】设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AB边上的高为h，因为c2,a10，因此104b222b1，化简得b2b60,4解得b3。又sinA151151315.应选A。4，因此由223422h，得h45【答案】43【剖析】如图。学必求其心得，业必贵于专精在ACD中,cosADCAD2DC2AC2AD2DC2481，2ADDC2ADDC2整理得AD2DC248ADDC2ADDC，ADDC16，当且仅当AD=DC时取

28、等号，ADC的面积S1ADDCsinADC343，2ADDC4ADC的面积的最大值为436【答案】（62，62）ABBCsin2sin(105)2sin(75)2(sin75coscos75sin)，sinsinsinsin又6262,因此AB62262sin75,cos75由75可得3075,则3tan23，105753学必求其心得，业必贵于专精因此62AB627【答案】1006【剖析】依题意，BAC30,ABC105，在ABC中，由ABCBACACB180,得ACB45，因为AB600m，因此由正弦定理可得BC,即BC3002m。sin45sin30在RtBCD中，因为CBD30，BC30

29、02m,因此tan30CDCD，BC3002因此CD1006m。（2)由三角形的面积公式SABC1acsinB，得31ac3，222解得ac4，由余弦定理b2a2c22accosB，得4a2c22ac1(ac)23ac(ac)212，2故ac4学必求其心得，业必贵于专精9【剖析】（1）由3ccosA2b3acosC，得2bcosC3ccosAacosC，由正弦定理可得2sinBcosC3sinCcosAsinAcosC3sinAC3sinB,因为，因此3，因为，因此sinB0cosC20CC6（2）因为为等腰三角形,且顶角2A6，因此ABCB3，故SABC1a2sinB3a23，因此a2，24

30、在DBC中，由余弦定理得CD2DB2BC22DBBCcosB7,所以CD7，在DBC中，由正弦定理可得CDDB，即sinBsinBCD7sin1，因此sinBCD213BCD14210【解析】（1）在ABD中,cosB27,B(0,),sinB1cos2B1(27)221777，sinBADsin(BADB)21(1)27321,72721421ADBDBDsinB1由正弦定理，得AD72.sinBsinBADsinBAD21142）由（1)知AD2，依题意得AC2AE3。在ACD中，由余弦定理得AC2AD2DC2学必求其心得，业必贵于专精2ADDCcosADC，即94DC222DCcos，即

31、DC22DC50，3解得DC16（负值舍去）。故SADC1ADDCsinADC12(16)3332，2222进而SADE1SADC332.24（2)因为B，因此AC2.332sin2Acos(AC)1cos2Acos(2A2)31cos2A1cos2A3sin2A13sin2A3cos2A222213sin(2A).3因为0A2,3,32A3因此3sin(2A1，2)3因此2sin2AcosAC的范围是1,132学必求其心得，业必贵于专精因此索道AB的长为1040m。（2)假定乙出发t分钟后，甲、乙两游客的距离为d,此时，甲行走了(100+50t）m，乙距离A处130tm，所以由余弦定理得d2

32、(10050t)2(130t)22130t(10050t)12200(37t270t50)，13因为01040，即0t8，因此当t35min时，甲、乙两t13037游客距离最短。即乙出发3537分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短。BCAC（3）由正弦定理sinAsinB，得BCACsinA12605500(m)sinB631365乙从B出发时，甲已走了50(281）550（m)，还需走710m才能抵达C。设乙步行的速度为vm/min,由题意得500710，解33v50得125062543,v学必求其心得，业必贵于专精因此为使两位游客在C处互相等待的时间不高出3分钟，乙步行的速度应控制在范围内12

33、50,625(单位：m/min)4314直通高考1【答案】B【剖析】由题意sin(AC)sinA(sinCcosC)0得sinAcosCcosAsinCsinAsinCsinAcosC0,即sinC(sinAcosA)2sinCsin(A34)0，因此A4由正弦定理ac得22，即sinC1，sinAsinCsin3sinC24因为ca，因此CA,【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要成心识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息一般地，若是式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；若是式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特点都不显然时，则要考虑两个定理都有可能用到2【