几何体外接球表面积及体积的求法有答案

1、几何体外接球表面积及体积的求法答案D【考点】由三视图求面积、体积.【专题】数形结合；转化法；空间位置关系与距离.【分析】根据三视图得出该几何体是圆柱，求出圆柱体的表面积和它外接球的表面积即可得出结论.【解答】解：根据三视图得，该几何体是底面半径为3,高为4的圆柱体，所以该圆柱体的表面积为S =2n X3z+2n X3X8=66n ；1根据球与圆柱的对称性，得它外接球的半径R满足(2R) 2=62+82=100,所以外接球的表面积为S2=4n R2=100n ；所以剩余几何体的表面积是S=S+S=66n +100n =166n .故选：D.【点评】本题考查了三视图的应用问题，也考查了利用三视图研

2、究直观图的性质，球与圆柱的接切关 系，球的表面积计算问题，是基础题目.D【考点】球的体积和表面积.【专题】计算题；空间位置关系与距离.【分析】由长方体的对角线公式，算出正四棱柱体对角线的长，从而得到球直径长，得球半径R=l,最后 根据球的体积公式，可算出此球的体积.【解答】解：.正四棱柱的底面边长为1,侧棱长为叮2,正四棱柱体对角线的长为冷j+l+2 =2又 正四棱柱的顶点在同一球面上，正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，得球半径R=1根据球的体积公式，得此球的体积为V為R3= n .故选：D.【点评】本题给出球内接正四棱柱的底面边长和侧棱长，求该球的体积，考查了正四棱柱的性质、长方 体对角线

3、公式和球的体积公式等知识，属于基础题.C【考点】球内接多面体；球的体积和表面积.【专题】空间位置关系与距离.【分析】先画出图形，正四棱锥外接球的球心在它的底面的中心，然后根据勾股定理列方程，解出球的 半径即可.【解答】解：如图，设正四棱锥底面的中心为E,过点A, B, C, D, S的球的球心为0,半径为R,则 在直角三角形 AE0 中，A0=R, AE=BD=4, 0E=SE - A0=8 - R2由 A02=AE2+0E2得 R2=42+ (8 - R) 2,解得 R=5球半径R=5,故选C.【点评】本题主要考查球，球的内接体问题，考查计算能力和空间想象能力，属于中档题.D考点：球的体积和

4、表面积.专题：计算题.14分析：由AB=BC=CA=2，求得 ABC的外接圆半径为r,再由R2-R) 2=,求得球的半径，再用面积求 解.解答：解：因为AB=BC=CA=2,所以 ABC的外接圆半径为r=14设球半径为R,则R2 -(R) 2=m 16所以R2=-S=4 n S=4 n R2=64兀故选D点评：本题主要考查球的球面面积，涉及到截面圆圆心与球心的连垂直于截面，这是求得相关量的关 键.C【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.【专题】计算题；空间位置关系与距离.【分析】根据题意作出图形，利用截面圆的性质即可求出00，进而求出底面ABC上的高SD,即可计算出 三棱锥的体积.【解答】解：根据题

5、意作出图形：设球心为0,过ABC三点的小圆的圆心为0，则00丄平面ABC,1 1延长C0交球于点D,则SD丄平面ABC.1吟=学OO1=?,.高 SD=2OO= ABC是边长为1的正三角形，SABC=1 v 26 V2VV 三棱锥s-abc=3 -436故选：c故选：c.【点评】本题考查棱锥的体积，考查球内接多面体，解题的关键是确定点S到面ABC的距离.C【考点】球的体积和表面积.【专题】空间位置关系与距离.【分析】将四面体补成长方体，通过求解长方体的对角线就是球的直径，然后求解外接球的表面积.【解答】解：由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个

6、以T可，T扁，祈为三边的三角形作为底面，且以分别x，y，z长、两两 垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x, y，z的长方体，并且x2+y2=29, x2+z2=34, y2+z2=37，则有（2R）2=X2+y2 + Z2=50 （R为球的半径），得R2=所以球的表面积为S=4n R2=50n .故选：C.【点评】本题考查几何体的外接球的表面积的求法，割补法的应用，判断外接球的直径是长方体的对角 线的长是解题的关键之一.B【考点】球的体积和表面积.【专题】计算题；空间位置关系与距离.【分析】三棱锥A-BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长

7、为球的直径，然后解答即可.【解答】解：三棱锥A-BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体,它也外接于球，对角线的长为球的直径，d=il+4+9=Tl4，它的外接球半径是丄号外接球的表面积是4外接球的表面积是4n2=14n故选：B.【点评】本题考查球的表面积，考查学生空间想象能力，是基础题.B【考点】球内接多面体.【专题】计算题；方程思想；综合法；空间位置关系与距离.【分析】三棱锥A-BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长 为球的直径，然后解答即可.【解答】解：三棱锥A-BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为

8、球的直径，d=*l+4+9=jl4，它的外接球半径是晋，外接球的表面积是4n （ ）2=14n故选：B.【点评】本题考查球的表面积，考查学生空间想象能力，是基础题.D【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.【专题】计算题；空间位置关系与距离.【分析】设该球的半径为R,则AB=2R，2AC=taB七gX 2R，故AC=；方R，由于AB是球的直径，所以 ABC在大圆所在平面内且有AC丄BC,由此能求出球的体积.【解答】解：设该球的半径为R，则 AB=2R，2AC=Wab=TE X 2R，.AC=方 R，由于AB是球的直径，所以AABC在大圆所在平面内且有AC丄BC，在RtAABC中，由勾股定理，得：BC2

9、=AB2 - AC2=R2，1 ?所以RtAABC面积S乜XBCXAC又P0丄平面ABC，且PO=R，四面体P-ABC的体积为女即 T 3R3=9, R3=3： 3,所以：球的体积V二吗Xn R3= Xn3=4T3n .球dJ故选D.【点评】本题考查四面体的外接球的体积的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化空间问 题为平面问题.10.B【考点】球的体积和表面积；球内接多面体.【专题】计算题；空间位置关系与距离.【分析】以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图，则长方体的外接球同时也是三棱锥P-ABC外接球算出长方体的对角线即为球直径，结合球的表面积公式，可算出三棱锥P-A

10、BC外接球的体 积.【解答】解：以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图则长方体的外接球同时也是三棱锥P-ABC外接球.长方体的对角线长为2極，球直径为2方，半径只二迓，因此，三棱锥P - ABC外接球的体积是*n R3= n X（ 丫 3） 3=4: 3n故选：B.GE4h厂J士*p FD尸L【点评】本题给出三棱锥的三条侧棱两两垂直，求它的外接球的表面积，着重考查了长方体对角线公式 和球的表面积计算等知识，属于基础题.D考点：球的体积和表面积；球内接多面体.专题：空间位置关系与距离.分析：求出BC,利用正弦定理可得 ABC外接圆的半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出 三

11、棱锥的外接球表面积.解答： 解：.AC=2, AB=l,ZBAC=120,BC=；/+1 2沈 2XlXcml2Cr =汐三角形ABC的外接圆半径为三角形ABC的外接圆半径为r, 2r=sinl20TSA丄平面 ABC, SA=2,由于三角形OSA为等腰三角形， 则有该三棱锥的外接球的半径R=.卑,该三棱锥的外接球的表面积为S=4n R2=4n X（ 吏!）2V 33故选：D.点评：本题考查三棱锥的外接球表面积，考查直线和平面的位置关系，确定三棱锥的外接球的半径是关 键.12.A考点：球内接多面体；棱柱、棱锥、棱台的体积.专题：压轴题.分析：先确定点S到面ABC的距离，再求棱锥的体积即可.解答

12、：解：ABC是边长为1的正三角形， ABC的外接圆的半径丫二!3点0到面ABC的距离，SC为球0的直径.点S到面ABC的距离为関=与棱锥的体积为V-jsAABC x 2d=| X# X豎三故选A.点评：本题考查棱锥的体积，考查球内角多面体，解题的关键是确定点S到面ABC的距离.133【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.【专题】计算题；空间位置关系与距离.【分析】由于面SAB丄面ABC，所以点S在平面ABC上的射影H落在AB上，根据球体的对称性可知，当S 在“最高点”，也就是说H为AB中点时，SH最大，棱锥S-ABC的体积最大.【解答】解：由题意画出几何体的图形如图由于面SAB丄面ABC，所以点S在

13、平面ABC上的射影H落在AB上，根据球体的对称性可知，当S在“最 高点”，也就是说H为AB中点时，SH最大，棱锥S-ABC的体积最大.ABC是边长为2的正三角形，所以球的半径r=OCCH= 在RTS 中，陀0C爭.ZHS0=30。，求得 SH=0Scos30=l,体积vSh X体积vSh X普X22X1=故答案是空0【点评】本题考查锥体体积计算，根据几何体的结构特征确定出S位置是关键.考查空间想象能力、计 算能力.14.12n【考点】球的体积和表面积.【专题】计算题；空间位置关系与距离.【分析】利用平面a截球0的球面所得圆的半径为1,球心0到平面a的距离为求出球的半径， 然后求解球0的表面积.

14、【解答】解：因为平面a截球0的球面所得圆的半径为1,球心0到平面a的距离为迈， 所以球的半径为：冷杰I =冃.所以球0的表面积为4n X3=12n .故答案为：12n .【点评】本题考查球的表面积的求法，考查空间想象能力、计算能力.115. 3【考点】球的体积和表面积.【专题】计算题.【分析】正方体的内切球的直径为正方体的棱长，外接球的直径为正方体的对角线长，设出正方体的棱 长，即可求出两个半径，求出两个球的面积之比.【解答】解：正方体的内切球的直径为，正方体的棱长，外接球的直径为，正方体的对角线长， 设正方体的棱长为：2a，所以内切球的半径为：a；外接球的直径为2Wa,半径为：I方a,4 7

15、Tr2 a . 2 1正方体的内切球与外接球的面积之比：=可.4 兀R3故答案为：.【点评】本题是基础题，考查正方体的外接球与内切球的面积之比，求出外接球的半径，是解决本题的 关键.16.16n【考点】球的体积和表面积.【专题】计算题；方程思想；数形结合法；立体几何.【分析】正四棱锥P-ABCD的五个顶点在同一球面上，则其外接球的球心在它的高PO上，记为O, 如 图.求出AO，00，解出球的半径，求出球的表面积.1 1【解答】解：正四棱锥P - ABCD的外接球的球心在它的高P0 上,记为 0, P0=A0=R，P0 =3，00 =3 - R，1 1在 RtAAO 0 中，A0 J，由勾股定理

16、 R2=3+（3-R）2 得 R=2，1 1 2球的表面积S=16n故答案为：16n .【点评】本题考查球的表面积，球的内接体问题，解答关键是确定出球心的位置，利用直角三角形列方 程式求解球的半径需具有良好空间形象能力、计算能力.17.36n【考点】球的体积和表面积.【专题】计算题.【分析】由题意推出MN丄平面SAC,即SB丄平面SAC,ZASB=ZBSC=ZASC=90 ,将此三棱锥补成正方 体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径，求出直径即可求出球的表面积.【解答】解：三棱锥S-ABC正棱锥，SB丄AC（对棱互相垂直）MN丄AC,又VMN丄AM而AMnAC=A,MN丄平面SA

17、C即SB丄平面SAC,AZASB=ZBSC=ZASC=90，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，.2R=2 匚 33,.R=3,.S=4n R2=4n （3） 2=36n ,故答案为：36n .【点评】本题是中档题，考查三棱锥的外接球的表面积，考查空间想象能力；三棱锥扩展为正方体，它 的对角线长就是外接球的直径，是解决本题的关键.18. 3 ； V5o【考点】球内接多面体.【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离.【分析】几何体是一个底面是顶角为120且底边长是2二弓，在等腰三角形的顶点处有一条垂直于底面 的侧棱，侧棱长是2,建立适当的坐标系，写出各个点的坐标和设出球心的坐

18、标，根据各个点到球心的距 离相等，点的球心的坐标，可得球的半径，做出体积.【解答】解：由三视图知：几何体为三棱锥，且一条侧棱与底面垂直，高为2，三棱锥的底面为等腰三角形，且三角形的底边长为2弓，底边上的高为1，.几何体的体积V气X1X2 以D为原点，DB为x轴，DA为y轴，建立空间直角坐标系，则 D （0，0，0），A （0，0，2），B （2，0，0），C （- 1, 込, 0）*.*（x - 2） 2+y2+Z2=X2+y2+Z2, X2+y2+ (z - 2) 2=X2+y2+Z2, (x+1) 2+ (y - T 3) 2+Z2=X2+y2+Z2,.x=1, y=、： 3, Z=1,球心的坐